Ola Pessoal !
Seguem mais tres solucoes. Coloquei apenas 3 porque duas delas tem
diversos itens e fica
cansativo escrever. Reitero tres coisas :
1) As solucoes sao exclusivamente minhas, feitas ao longo da semana
nos (poucos) momentos
de lazer. Assim, qualquer erro encontrado e unica e exclusivamente culpa minha
2) O espirito que preside esta publicacao e o mesmo do projeto DEBIAN
/ GNU Linux, vale
dizer, qualquer pessoal esta desta ja autorizada a copiar, transmitir
, aperfeiçoar e ensinar
livremente, sem onus ou obstaculo algum
3) As questoes estao propostas no Livro :
Curso de Analise - Volume 1
Projeto Euclides - IMPA
Autor : Elon Lages Lima
11 edicao - 2 impressao
O que foi, torna a ser. O que, perde existencia.
O palpavel e nada : o nada assume essencia !
( Fausto, de Goethe )
Read Fausto Here :
http://www.ebooksbrasil.org/eLibris/faustogoethe.html
INICIO
( EXERCICIO 4.17)
Sejam dadas duas sequencias xn e yn, limitadas. Entao definimos : Xn =
{ xn, xn+1, ... } e
Yn = {yn, yn+1, ... }. Alem disso, adotaremos :
an = INF Xn, An = SUP Xn, bn = INF Yn e Bn = SUP Yn
zn = xn + yn, wn =xn*yn, Zn = {zn, zn+1, ... } e Wn={wn, wn+1, ... }
raiz_N(P) = raiz N-esima de P
ITEM A
Dado E 0.
Como LIM SUP xn = LIM An = INF {An} = A entao A+(E/2) nao pode ser uma
cota inferior
de {An}, pois A+(E/2) A e A, sendo o infimo, e a maior das cotas
inferiores. Segue que
existe N0 tal que An0 A + (E/2). Mas An0=SUP{xn0, xn0+1, ... }.
Assim, n N0 = xn
A + (E/2).
Igualmente, como LIM SUP yn = LIM Bn = INF {Bn} = B entao B + (E/2)
não pode ser cota
inferior de Bn, pois B+(E/2) B e B, sendo infimo, e a maior das
cotas inferiores. Segue
que existe N1 tal que Bn1 B+(E/2). Mas Bn1=SUP{yn1, yn1+1, ...}.
Assim, n N1 = yn
B+(E/2)
Tomando N2=max{ N1, N0} teremos que n N2 = xn+yn A+B+E. Eu afirmo que este
resultado estabelece que LIM SUP(xn + yn) = A+B ...
Com efeito, se supormos que C=LIM SUP(xn + Yn)=INF SUP {Zn } A+B basta
tomarmos um real positivo E tal que A + B + E C que, pelo que vimos, havera um
correspondente N2 tal que n N2 implicara xn+yn A+B+E, vale dizer :
nN2, SUP {Zn}
= A+B+E C=INF SUP{Zn} ... ABSURDO !
Nao podendo ser LIM SUP(xn + yn) A+B segue que LIM SUP(xn + yn) = A+B, como
queriamos demonstrar.
***
Como LIM INF xn = LIM an = SUP { an } = a, a – (E/2) nao pode ser uma
cota superior de
{ an }, pois a-(E/2) a e a, sendo supremo, e a menor das cotas
superiores. Segue que
existe N0 tal que an0 a-(E/2). Mas an0=INF{xn0, xn0+1, ... }. Assim,
nN0 = xna-
(E/2).
Igualmente, como LIM INF yn = LIM bn = SUP { bn } = b, b – (E/2) nao
pode ser uma cota
superior de { bn }, pois b-(E/2) b e b, sendo supremo, e a menor
das cotas superiores.
Segue que existe N1 tal que bn1 b-(E/2). Mas bn1=INF{yn1, xn1+1, ...
}. Assim, nN1
= ynb-(E/2)
Tomando N2=max{N1,N0} teremos que n N2 = xn+yn a+b - E Eu afirmo que este
resultado estabelece que LIM INF(xn+yn) = a+b ...
Com efeito, se supormos que c=LIM INF(xn + Yn)=SUP INF {Zn } a+b
basta tomarmos
um real positivo E tal que c a + b - E que, pelo que vimos, havera
um correspondente
N2 tal que n N2 implicara xn+yn a+b-E, vale dizer : nN2, INF{Zn}
= a+b-E c=SUP
INF {Zn} ... ABSURDO !
Assim, não podendo ser LIM INF(xn+yn) a+b segue que LIM INF(xn+yn)
= a+b, como
queriamos demonstrar.
DESIGUALDADES ESTRITAS ( Item A ) :
Sejam xn=(-1)^N e yn= -xn. Temos que LIM SUP xn=LIM SUP yn = 1, LIM INF xn = LIM
INF yn = -1 e LIM SUP(xn+yn)=LIM INF(xn+yn)= 0. Logo :
0 = LIM SUP (xn+yn) LIM SUP xn + LIM SUP yn = 2 .
0 = LIM INF (xn+yn) LIM INF xn + LIM INF yn = -2
***
ITEM B
Seja -Xn = { -xn, -xn+1, ... }. Afirmamos que :
SUP -Xn = -INF Xn
INF -Xn = -SUP Xn
Com efeito, SUP Xn = xp, para todo p = n = - SUP Xn = - xp, para
todo p = n =
-SUP Xn e cota inferior de -Xn. E facil ver que trata-se da maior cota
inferior, pois, se
existisse um M -SUP Xn tal que M = -xp, para todo p =n entao teriamos
imediatamente que -M SUP Xn e -M = xp, para todo p = n = -M e uma
cota superior
de Xn menor que SUP Xn ... ABSURDO ! Assim, - SUP Xn e a maior cota
inferior de -Xn,
isto e, -SUP Xn = INF -Xn, como afirmamos.
Igualmente, temos que INF Xn = xp, para todo p =n = -INF Xn = -xp,
para todo p=n
= -INF Xn e cota superior de -Xn. E igualmente facil ver que trata-se
da menor cota
superior, pois, se supormos que existe um N -INF Xn tal que N =
-xp, para todo p =n,
entao teriamos imediatamente que -N INF Xn e -N = xp, para todo p
= n = N e uma
cota inferior de Xn maior que INF Xn ... ABSURDO ! Assim, -INF Xn e a menor cota
superior de -Xn, isto e, -INF Xn = SUP -Xn, como afirmamos.
Agora, variando n, olhamos para SUP Xn, INF Xn, SUP -Xn e INF -Xn
como conjuntos,
seguira :
SUP -Xn = -INF Xn = INF SUP -Xn = INF{-INF Xn} = LIM SUP (-xn) =
-SUP INF xn =
LIM SUP -xn = - LIM INF xn = LIM SUP -xn = -a
INF -Xn = - SUP Xn = SUP INF -Xn= SUP{-SUP Xn} = LIM INF -xn = -INF SUP xn =
LIM INF -xn = - LIM SUP xn = LIM INF -xn = -A
Como queriamos demonstrar.
***
ITEM C
Aqui estaremos supondo que
