Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Olá Luís! Gostaria de receber o pdf também. Obrigado! On 4/24/08, Luís Lopes [EMAIL PROTECTED] wrote: Sauda,c~oes, Primeiramente gostaria de me dirigir ao Nicolau. Não sei o que acontece mas recebo normalmente as mensagens da lista pelo email [EMAIL PROTECTED]. Entretanto, todas as mensagens que tento mandar para a lista voltam, (usando o [EMAIL PROTECTED]), como se houvesse um filtro bloqueando tal usuário. Você saberia me dizer o que está acontecendo? Oi Artur, outros interessados na mensagem deste assunto, O professor Rousseau me mandou um pdf com a solução (bem difícil) deste limite. Posso mandá-lo para os que quiserem vê-la. []'s Luís From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Date: Tue, 8 Apr 2008 17:41:45 -0300 Subject: RES: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Achei um link sobre este limite. Estou tentando entender http://www.whim.org/nebula/math/gammaratio.html Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Henrique
Re: [obm-l] Funções Help !!
Olá Kleber! On 4/24/08, Kleber Bastos [EMAIL PROTECTED] wrote: Estou com dúvida na seguinte questão : (a) Mostre que se X é um conjunto finito então uma função f: X -- X é injetiva se somente se é sobrejetiva. Como X é um conjunto finito ele possui um número de elementos n, onde n está no conjunto dos naturais, e como uma função é sobrejetiva quando sua imagem é igual ao contradomínio, temos nesse caso que X seria a imagem e o próprio contradomínio. Assim, sendo f uma função sobrejetiva e uma aplicação de X a X, todo elemento de X está relacionado a apenas um único elemento do conjunto X (por definição de função), fazendo desse modo todo elemento de X fazer parte da imagem uma única vez, ou seja, a função é injetiva, onde função injetiva seria cada elemento do domínio, conjunto X, se relacionar com um elemento que não está relacionado a nenhum outro do contradomínio. (b) O resultado do item anterior também é válido se X é um conjunto infinito ? JUstifique sua resposta. Como o conjunto é infinito pode-se ter 2 elementos distintos do domínio se relacionando com o mesmo elemento da imagem e ainda assim a função ser sobrejetiva com a imagem igual ao contradomínio, já que existem infinitos elementos no conjunto. Portanto, acredito que para um conjunto infinito a função f não seria injetiva embora seja sobrejetiva. -- Kleber B. Bastos -- Henrique
[obm-l] equação
Amigos da lista , me dê um idéia para essa equação: 2181a1a59ab195dd3341a5c7802bbd4efacbba7e.gif
Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Olá Luís! Gostaria de receber o pdf também. Obrigado! Fernando Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Luís! Gostaria de receber o pdf também. Obrigado! On 4/24/08, Luís Lopes [EMAIL PROTECTED] wrote: Sauda,c~oes, Primeiramente gostaria de me dirigir ao Nicolau. Não sei o que acontece mas recebo normalmente as mensagens da lista pelo email [EMAIL PROTECTED]. Entretanto, todas as mensagens que tento mandar para a lista voltam, (usando o [EMAIL PROTECTED]), como se houvesse um filtro bloqueando tal usuário. Você saberia me dizer o que está acontecendo? Oi Artur, outros interessados na mensagem deste assunto, O professor Rousseau me mandou um pdf com a solução (bem difícil) deste limite. Posso mandá-lo para os que quiserem vê-la. []'s Luís From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Date: Tue, 8 Apr 2008 17:41:45 -0300 Subject: RES: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Achei um link sobre este limite. Estou tentando entender http://www.whim.org/nebula/math/gammaratio.html Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Henrique - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: [obm-l] PROBLEMA DO CAVALO
Olá Maurizio! Parece que esse problema não é tão trivial não. Dá uma olhada nessa página abaixo com a descrição de uma solução. http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/burro/burro.htm Abraços! On Wed, Apr 23, 2008 at 7:20 PM, MauZ [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá a todos, Um cavalo come muito e fica preso numa cerca circular de raior r. Para ele comer toda a grama daonde fica em 2 dias ele foi preso por uma corda em um ponto da circunferencia da cerca e comeu toda a grama que pode alcançar, no segundo dia foi solto e comeu a outra metade. (metade no primeiro dia e metade no segundo dia). Qual o tamanho da corda que o prende? Agradeço! Maurizio -- Henrique
[obm-l] Funções
To resolvendo uma prova. E me deparei com o item c que diz:
(c) Caracterize o conjunto { n e N / y(n) = {n} } ?
Não estou entendendo o que seria caracterizar . . ? E com isso não esotu
conseguindo fazer a letra d que diz :
(d) Determine os conjuntos y^-1(vazio), y^-1({2}), e y^-1({4}) ?
Agradeço se alguém ajudar ...
--
Kleber B. Bastos
Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Pode mandar uma cópia pra mim tbm? A. Citando Fernando Reis [EMAIL PROTECTED]: Olá Luís! Gostaria de receber o pdf também. Obrigado! Fernando Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Luís! Gostaria de receber o pdf também. Obrigado! On 4/24/08, Luís Lopes [EMAIL PROTECTED] wrote: Sauda,c~oes, Primeiramente gostaria de me dirigir ao Nicolau. Não sei o que acontece mas recebo normalmente as mensagens da lista pelo email [EMAIL PROTECTED]. Entretanto, todas as mensagens que tento mandar para a lista voltam, (usando o [EMAIL PROTECTED]), como se houvesse um filtro bloqueando tal usuário. Você saberia me dizer o que está acontecendo? Oi Artur, outros interessados na mensagem deste assunto, O professor Rousseau me mandou um pdf com a solução (bem difícil) deste limite. Posso mandá-lo para os que quiserem vê-la. []'s Luís From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Date: Tue, 8 Apr 2008 17:41:45 -0300 Subject: RES: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Achei um link sobre este limite. Estou tentando entender http://www.whim.org/nebula/math/gammaratio.html Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Henrique - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! -- Arlane Manoel S Silva Departamento de Matemática Instituto de Matemática e Estatística-USP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] PROBLEMA DO CAVALO
Oi Maurício. Acho que estava enganado quanto ao resultado que dei. Errei nas contas. Desculpas. Tenho uma nova solução elementar. Dê uma olhada. http://www.linux.ime.usp.br/~arlane/elet.pdf inté, Citando MauZ [EMAIL PROTECTED]: Boa noite Arlane, Eu pensei um pouco sobre o problema e tudo que você disse eu pensei, o dificil pra mim foi realmente fazer as contas... Eu pensei também da seguinte forma: pego um semi circulo e fixo o seu ponto P numa extremidade, como se o corte fosse feito no diametro que contem P. Ai eu fiz um segmento dividindo o semicirculo em 2, como se fosse 1/4 do cirtuclo total. Ao traçar o arco de raio R ele cruza esse segmento. Criando 2 secções pequenas, chamo de R1 e R2, essas duas partes devem ser iguais... Mas mesmo assim eu travei. não consegui fazer os calculos Obrigado, aguardo sua ajuda!!! 2008/4/24 Arlane Manoel S Silva [EMAIL PROTECTED]: Considere a circunferência de raio r e seja P pertencente a esta circunferência, o ponto onde está amarrada a tal corda de comprimento R, o qual devemos calcular. Agora considere a cirncuferencia de raio R centrada no ponto P. Então, a área entre as duas circunferências deve ser pi.r^2/2 pelo enunciado. Assim, basta determinar tal área em função de R e r. Caso não consiga verificar os detalhes é só pedir que faço com cuidado. Resolvendo para R, concluimos que R=r.sqrt(pi/2 + 1) (se tiver errada nas contas!) inté, Citando MauZ [EMAIL PROTECTED]: Olá a todos, Um cavalo come muito e fica preso numa cerca circular de raior r. Para ele comer toda a grama daonde fica em 2 dias ele foi preso por uma corda em um ponto da circunferencia da cerca e comeu toda a grama que pode alcançar, no segundo dia foi solto e comeu a outra metade. (metade no primeiro dia e metade no segundo dia). Qual o tamanho da corda que o prende? Agradeço! Maurizio -- Arlane Manoel S Silva Departamento de Matemática Instituto de Matemática e Estatística-USP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Arlane Manoel S Silva Departamento de Matemática Instituto de Matemática e Estatística-USP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Exercicios de Analise 7
Ola Pessoal !
Seguem mais algumas solucoes para exercicios de analise. E importante
reiterar o seguinte :
1) As solucoes sao exclusivamente minhas, feitas ao longo da semana
nos (poucos) momentos de lazer. Assim, qualquer erro encontrado e unica
e exclusivamente minha culpa
2) O espirito que preside esta publicacao e o mesmo do projeto
DEBIAN/ GNU Linux, vale dizer, qualquer pessoal esta desta ja autorizada
a copiar, transmitir, aperfeiçoar e ensinar livremente, sem onus ou
obstaculo algum
3) As questoes estao propostas no Livro :
Curso de Analise - Volume 1
Projeto Euclides - IMPA
Autor : Elon Lages Lima
11 edicao - 2 impressao
4) E muito importante que voce reflita sobre as questoes, tentando resolve-las
sozinho(a), antes de ver as minhas solucoes.
5) Devido as limitacoes de alguns browsers, escreverei sempre sem acentos.
INICIO
( EXERCICIO 4.20)
Em primeiro lugar, e facil ver que sendo X1=1 e Xn+1 =1 + (1/Xn) entao
Xn = 1 para todo
N. Agora, sejam P = | Xn+2 - Xn+1 | e Q = | Xn+1 - Xn |. Trocando o Xn+2 por
1+(1/Xn+1) e, a seguir, trocando todos os Xn+1 em P e Q por 1+(1/Xn)
chegaremos a :
P = | ( (Xn)^2 - Xn - 1 ) | / | ( (Xn)^2 + Xn ) | e Q = | ( -(Xn)^2 +
Xn + 1 ) | / | Xn |
Fazendo K = | ( (Xn)^2 - Xn - 1 ) | , fica claro que :
P = K / | ( (Xn)^2 + Xn ) | e Q = K / | Xn |. Como Xn = 1 entao
podemos retirar os
modulos dos denominadores. Teremos :
P = K / ( (Xn)^2 + Xn ) e Q = K / Xn
A inequacao X^2 + X = 2X e sempre verdadeira para todo X = 1. Como
todos os termos
da sequencia (Xn) sao tais que Xn = 1 entao todos os seus termos satisfazem a
inequacao, isto e :
(Xn)^2 + Xn = 2*Xn = 1/ ( (Xn)^2 + Xn ) = K/ (2*Xn) = K/ ( (Xn)^2
+ Xn ) = 1/ (2*Xn)
= P = (1/2)*Q.
Portanto : | Xn+2 - Xn+1 | = (1/2)* | Xn+1 - Xn |, conforme nos
pediram para verificar.
Pelo item B do exercicio anterior ( EXERCICIO 4.19 ) a ultima
desigualdade implica que
(Xn) tem variacao limitada. Pelo item A do mesmo exercicio segue que
existe o LIM Xn.
Assim, seja M = LIM Xn.
Como toda sequencia convergente e de Cauchy, fazendo Yn=(Xn)-(Xn-1) temos que
LIMYn=0. Por outro lado, Xn-1 = 1/( (Xn) - 1 ). Logo :
LIM Xn = LIM ( 1/( (Xn) - 1 ) = M = 1/(M-1) =
M =(1 + raiz_2(5) ) / 2 ou M =(1 - raiz_2(5) ) / 2
A raiz negativa nao serve pois sendo Xn = 1 para todo N entao M=LIM
Xn = 1. Logo :
M = LIM Xn = (1 + raiz_2(5)) / 2
( EXERCICIO 4.21 )
Como X1 = 1 e Xn = 1 + raiz_2(Xn-1), onde raiz_2(Xn-1) 0 entao e
claro que Xn = 1
para todo N. Isto estabelece uma cota inferior para a sequencia. Para
exibir uma cota
superior, seja L = ( 3 + raiz_2(5) ) /2. Entao :
Se, para algum N 1, Xn L = ((Xn) - 1)^2 L = Xn-1 L pois ((Xn)
- 1)^2 =Xn-1
Assim, Xn L = Xn-1 L. Evidentemente que uma consequencia obvia
desta implicacao
e que Xn-1 L = Xn-2 L = ... = X1 L ... ABSURDO ! pois ja
sabemos que X1 = 1
L. Assim, para nenhum N 1 pode ocorrer que Xn L, vale dizer, Xn =
L para todo N.
Isto estabelece uma cota superior para a sequencia. Temos portanto :
1 = Xn = L, para todo N, onde L=( 3 + raiz_2(5) ) /2 = (Xn) e limitada.
Como as solucoes da inequacao X = (X - 1)^2 e o intervalo fechado [
(1/L) , L] e, alem
disso, (1/L) 1, entao todos os valores da sequencia atendem a
inequacao, ou seja :
Xn = ((Xn) - 1)^2 = Xn = Xn-1 = (Xn) e monotona nao-decrescente
Assim, (Xn) e monotona e limitada = (Xn) e convergente.
Seja M=LIM Xn. Como toda sequencia convergente e de Cauchy, fazendo
Yn=(Xn)-(Xn-1)
temos que LIM Yn = 0. Por outro lado, Xn-1=((Xn) - 1)^2, logo :
LIM Xn = LIM ((Xn) - 1)^2 = LIM Xn = (LIM Xn - 1)^2 = M = (M - 1)^2 =
M = L ou M=1/L. M=1/L nao serve pois sendo 1/L 1 = Xn = LIM Xn = 1 1/L
Logo, LIM Xn = L = ( 3 + raiz_2(5) ) /2
( EXERCICIO 4.22 )
1) A condicao e necessaria
Seja A 0 e B = { Todos os N tais que -A = Xn = A }. Eu afirmo que
B e finito.
Com efeito, se B fosse infinito, digamos, B= { N1 N2 ... Ni
... }, entao teriamos uma
subsequencia (Yn) de (Xn), Yi = Xni, que em si seria uma sequencia
limitada e portanto
admitiria ao menos uma subsequencia convergindo para LIM SUP Yi. Como esta
subsequencia convergente seria tambem uma subsequencia de (Xn), pois
todo Yi e um
Xni, entao (Xn) teria ao menos uma subsequencia convergente, o que contraria a
hipotese. Assim, B e finito, como afirmamos.
Seja N0=max B. Entao, para todo n N0 = Xn -A ou Xn A = |Xn| A
O A que escolhemos e generico, o argumento valendo para todo A 0.
Entao podemos
afirmar que para todo A 0 existe N0 tal que n N0 = |Xn| A. Isto
estabelece que LIM
|Xn| = +INF, como queriamos demonstrar.
2) A condicao e suficiente
Dado um r real qualquer. Escolhendo um real E 0 qualquer, definimos
um conjunto A
pondo : A = max{ |r -E| , |r+E| }. Claramente que A 0. Alem disso :
A = |r+E| = r+E = A = r + E
A = |r-E| = -A = -| r - E|. Como | r-E|=| E-r| = E-r = -|r-E| =
r - E = -A = r-E
Como LIM | Xn | = +INF entao existe N0 tal que n N0 = |Xn| A, ou
seja, para todo
nN0 implica que Xn -A ou Xn A. Pelo que vimos, para todo nN0
implica Xn r-E ou
Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Sauda,c~oes, Respondendo ao Rogerio Ponce mandei para muitos outros em BCC o arquivo pdf com a solução do limite. Quem pediu o arquivo e não recebeu favor escrever novamente. Boa leitura. []'s Luís = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Olá Luís, também gostaria da solução! obrigado, abraços, Salhab On Fri, Apr 25, 2008 at 2:07 PM, Luís Lopes [EMAIL PROTECTED] wrote: Sauda,c~oes, Respondendo ao Rogerio Ponce mandei para muitos outros em BCC o arquivo pdf com a solução do limite. Quem pediu o arquivo e não recebeu favor escrever novamente. Boa leitura. []'s Luís = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Oi Luís, Eu também gostaria de receber!! Obrigado, João Luís - Original Message - From: Luís Lopes [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, April 25, 2008 2:07 PM Subject: Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Sauda,c~oes, Respondendo ao Rogerio Ponce mandei para muitos outros em BCC o arquivo pdf com a solução do limite. Quem pediu o arquivo e não recebeu favor escrever novamente. Boa leitura. []'s Luís = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] PROBLEMA DO CAVALO
Obrigado! Adorei os links 2008/4/25 Arlane Manoel S Silva [EMAIL PROTECTED]: Oi Maurício. Acho que estava enganado quanto ao resultado que dei. Errei nas contas. Desculpas. Tenho uma nova solução elementar. Dê uma olhada. http://www.linux.ime.usp.br/~arlane/elet.pdfhttp://www.linux.ime.usp.br/%7Earlane/elet.pdf inté, Citando MauZ [EMAIL PROTECTED]: Boa noite Arlane, Eu pensei um pouco sobre o problema e tudo que você disse eu pensei, o dificil pra mim foi realmente fazer as contas... Eu pensei também da seguinte forma: pego um semi circulo e fixo o seu ponto P numa extremidade, como se o corte fosse feito no diametro que contem P. Ai eu fiz um segmento dividindo o semicirculo em 2, como se fosse 1/4 do cirtuclo total. Ao traçar o arco de raio R ele cruza esse segmento. Criando 2 secções pequenas, chamo de R1 e R2, essas duas partes devem ser iguais... Mas mesmo assim eu travei. não consegui fazer os calculos Obrigado, aguardo sua ajuda!!! 2008/4/24 Arlane Manoel S Silva [EMAIL PROTECTED]: Considere a circunferência de raio r e seja P pertencente a esta circunferência, o ponto onde está amarrada a tal corda de comprimento R, o qual devemos calcular. Agora considere a cirncuferencia de raio R centrada no ponto P. Então, a área entre as duas circunferências deve ser pi.r^2/2 pelo enunciado. Assim, basta determinar tal área em função de R e r. Caso não consiga verificar os detalhes é só pedir que faço com cuidado. Resolvendo para R, concluimos que R=r.sqrt(pi/2 + 1) (se tiver errada nas contas!) inté, Citando MauZ [EMAIL PROTECTED]: Olá a todos, Um cavalo come muito e fica preso numa cerca circular de raior r. Para ele comer toda a grama daonde fica em 2 dias ele foi preso por uma corda em um ponto da circunferencia da cerca e comeu toda a grama que pode alcançar, no segundo dia foi solto e comeu a outra metade. (metade no primeiro dia e metade no segundo dia). Qual o tamanho da corda que o prende? Agradeço! Maurizio -- Arlane Manoel S Silva Departamento de Matemática Instituto de Matemática e Estatística-USP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Arlane Manoel S Silva Departamento de Matemática Instituto de Matemática e Estatística-USP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Olimpédia
Caros(as) amigos(as) da OBM, Visite a Olimpédia no endereço: http://erdos.ime.usp.br A *Olimpédia* é uma wiki dedicada à Matemática Olímpica. Cordialmente, -- Secretaria da Olimpíada Brasileira de Matemática Estrada Dona Castorina, 110 Jd. Botânico, Rio de Janeiro - RJ, 22460-320, Brasil Tel: 55-21-25295077 Fax:55-21-25295023 e-mail: [EMAIL PROTECTED] web site: www.obm.org.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Envolvente
vc que achar uma curva que e perpendicular a outra logo as tangentes em cada ponto serao perpendiculares, y1´=-1´/y2´ y1=y2 2008/4/24 Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED]: Olá Saulo! Desculpe, mas não entendi suas igualdades. Você poderia explicar com mais detalhes? Abraços! On 4/21/08, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote: curva envolvente e a que tangencia uma outra curva em todos os seus pontos. A curva envolvente de uma cicunferencia e um conjunto de retas tangentes em cada ponto da circunferencia. x^2+y^2=R^2 2x+2y´y=0 y´=-1/y´ y´/y=1/x lny=lnx+lnk y=kx conjunto de retas. 2008/4/21 Marcelo Rodrigues [EMAIL PROTECTED]: Olá pessoal da lista boa tarde. Estou fazendo uma pesquisa sobre envolvente, curva envolvente. Se alguém puder postar algumas definições exemplos ou mesmo sites agradeço muito. Um abração, Marcelo. -- Henrique
Re: [obm-l] Envolvente
Olá Saulo! y1 e y2 seriam o quê? Funções? A igualdade seria y1' = 1/y2' e não y1' = 1'/y2' certo? Essa igualdade é a relação entre os coeficientes angulares de retas perpendicalures. E por que y1 = y2? Mas minha dúvida é como você obteve 2x + 2y'y = 0 partindo da equação da circunferência, como foram feitos os cálculos de derivadas. E as próximas igualdades que seguem, como foram obtidas? Desculpe perguntar novamente mas achei confuso. Abraços! 2008/4/25 saulo nilson [EMAIL PROTECTED]: vc que achar uma curva que e perpendicular a outra logo as tangentes em cada ponto serao perpendiculares, y1´=-1´/y2´ y1=y2 2008/4/24 Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED]: Olá Saulo! Desculpe, mas não entendi suas igualdades. Você poderia explicar com mais detalhes? Abraços! On 4/21/08, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote: curva envolvente e a que tangencia uma outra curva em todos os seus pontos. A curva envolvente de uma cicunferencia e um conjunto de retas tangentes em cada ponto da circunferencia. x^2+y^2=R^2 2x+2y´y=0 y´=-1/y´ y´/y=1/x lny=lnx+lnk y=kx conjunto de retas. 2008/4/21 Marcelo Rodrigues [EMAIL PROTECTED]: Olá pessoal da lista boa tarde. Estou fazendo uma pesquisa sobre envolvente, curva envolvente. Se alguém puder postar algumas definições exemplos ou mesmo sites agradeço muito. Um abração, Marcelo. -- Henrique -- Henrique
Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Ola' pessoal,
(repassando o material que o Luis Lopes me mandou...)
Vou utilizar as seguintes convencoes para Somatorio, Integral e Limite:
Sum{k:1,n}{k} = n*(n+1)/2
Int{0,a}{t*dt} = a**2/2
Lim{n-oo}{1/n} = 0
Assim, o problema e' provar que
Lim{n-oo}{ e**-n * Sum{k:0,n}{n**k/k!} } = 1/2
Por integracao elementar, sabemos que, para r=1,
1/r! * Int{0,L}{ t**r * e**-t * dt } =
-1/r! * L**r * e**-L +
1/(r-1)! * Int{0,L}{ t**(r-1) * e**-t * dt }
Repare que a 2a parcela pode ser novamente desmembrada,
de forma que o termo em r seja sucessivamente reduzido,
formando uma serie de integrais.
Repare tambem que (este aqui correspondera' ao ultimo termo desta serie)
Int{0,L}{ e**-t * dt } = 1 - e**-L
Assim, podemos reescrever aquela expressao da seguinte forma:
1/r! * Int{0,L}{ t**r * e**-t * dt } =
1 - e**-L * Sum{k:0,r}{ L**k / k! }
Fazendo r=L=n obtemos (repare que e' a expressao que queremos avaliar)
e**-n * Sum{k:0,n}{n**k/k!} =
1 - 1/n! * Int{0,n}{ t**n * e**-t * dt }
Para calular essa integral, substituimos t=n*(1+u), conseguindo:
Int{0,n}{ t**n * e**-t * dt} =
Int{-1,0}{ e**[n*(log n + log(1+u) - (1+u))] * n * du } =
n * (n/e)**n * Int{-1,0}{ e**[n * (log(1+u) - u)] * du }
Aplicando o metodo de Laplace (argumentos assintoticos) sobre a ultima
integral, vemos que
Int{-1,0}{ e**[n * (log(1+u) - u)] * du } ~
Int{-oo,0}{ e**[-n * u**2 / 2 ] * du } =
sqrt(2*pi/n) / 2
Logo,
Int{0,n}{ t**n * e**-t * dt} ~
(n/e)**n * sqrt(2*pi*n) / 2 =
n!/2 (Stirling)
Portanto,
Lim{n-oo}{ e**-n * Sum{k:0,n}{n**k/k!} } =
1 - 1/n! * n!/2 = 1/2
CQD
[]'s
Rogerio Ponce
PS: Sugiro a leitura de
http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_steepest_descent
2008/4/2 Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]:
Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias soluções,
mas não deu certo.
Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma integral, mas não
consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é aplicar o
teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1. Também não
consegui ver como.
Alguem tem alguma sugestao?
Abracos
Artur
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] equação
A ideia fundamental eh notar que a espressao do lado esquerdo eh NO MINIMO
1/64, e isto soh ocorre quando tanx=1. Vejamos como mostrar isto
SOLUCAO I (COM CALCULO II):
Considere o problema de minimizar f(x,y)=x^14+y^14 sujeito aa restricao
x^2+y^2=1. Use Lagrange, o minimo satisfaz:
14x^13=2kx
14y^13=2ky
(ou 2x=2y=0, o que claramente nao serve)
Casos:
i) Se x=0, entao y=+-1, entao f=1.
ii) Se y=0, entao x=+-1, entao f=1.
ii) Se x,y0 entao 14x^12=14y^12=2k; assim, x=+-y, isto eh, x e y sao ambos
+-raiz(2)/2, e f(x,y)=1/64.
Assim, o minimo de f(x,y) eh 1/64, que soh ocorre quando x=+-raiz(2)/2 e
y=+-raiz(2)/2.
Mas x=sint, y=cost satisfaz a restricao! Assim, a expressao do lado esquerdo
eh sempre maior ou igual a 1/64, e a igualdade soh ocorre quando
sinx=+-raiz2/2 e cosx=+-raiz2/2. Assim, x=kpi/2+pi/4 eh a solucao da sua
equacao, k inteiro.
SOLUCAO II (COM CALCULO I):
Seja f(x)=(sinx)^14+(cosx)^14. Vamos encontrar o minimo de f(x), digamos, no
intervalo [0,2pi], que eh um periodo de f. Note que
f`(x)=14sinxcosx((sinx)^12-(cosx)^12). Fazendo f'(x)=0, temos 3 casos:
i) sinx=0 implica f(x)=1
ii) cosx=0 implica f(x)=1
iii) (sinx)^12=(cosx)^12 implica tanx=+-1, entao sinx e cosx sao +-
raiz(2)/2, entao f(x)=1/64.
Como f tem de ter um minimo no intervalo fechado [0,2pi], ele eh 1/64, que
soh ocorre em x=pi/4,3pi/4, 5pi/4 r 7pi/4. Como f eh periodica, este minimo
soh poderah ocorrer nos pontos que correspondem a estes (modulo um periodo).
Assim, as unicas solucoes sao x=kpi/2+pi/4, k inteiro.
SOLUCAO III (SEM CALCULO, MAS COM MUITO BRACO):
i) Pode ser cosx=0? Entao seria sinx=1, o que nao dah certo.
ii) Entao divida tudo por (cosx)^14. Usarei t=(tanx)^2 para economizar bits:
(tanx)^14 + 1 = (secx)^14 / 64
64(t^7 + 1) = (t+1)^7
Abre tudo (coragem e binomio de Newton!):
63t^7-7t^6-21t^5-35t^4-35t^3-21t^2-7t+63=0
Note que t=1 eh raiz, e dupla. Elimine-a via Briot-Ruffini (coragem!):
(t-1)^2.(63t^5+119t^4+154t^3+154t^2+119t+63)=0
Soh que o polinomio da direita nao tem raizes positivas nem zero (se
tivesse, como eh que aquele bando de numero positivo somado dava zero?). Por
outro lado, soh interessam as raizes positivas (lembra que t eh a tangente
AO QUADRADO; t negativo nao dah solucao alguma!). Entao soh pode ser t=1,
tanx=+-1, e entao x=kpi/2+pi/4 com k inteiro.
---///---
Tenho certeza que ha outra solucao sem calculo (eu jah vi este problema em
algum lugar, acho ateh que caiu em alguma prova quando eu estava na Turma
IME/ITA, e eu acho que resolvi do jeito III, e todo mundo ficou embasbacado
com a completa **feiura** da minha solucao bracal).
Abraco bracal,
Ralph
On Thu, Nov 1, 2001 at 12:12 AM, Pedro [EMAIL PROTECTED] wrote:
Amigos da lista , me dê um idéia para essa equação:
--
[image: sin^{14}{x} + cos^{14}{x} = \frac {1}{64}]
2181a1a59ab195dd3341a5c7802bbd4efacbba7e.gif
Re: [obm-l] equa��o
Hm, eu imaginei outra solução.
Pel desigualdade das médias potenciais, a média de
ordem 7 é maior ou igual à média de ordem 1 (a média
aritmética). Nesse caso, as médias são de sen^2 x e
cos^2 x.
((sen^14 x + cos^14 x)/2)^{1/7}
= (sen^2 x + cos^2 x)/2 = 1/2
= sen^14 x + cos^14 x = 2(1/2)^7 = 1/64
Isto quer dizer que se sen^14 x + cos^14 x = 1/64
ocorre a igualdade na desigualdade das médias
potenciais, o que só pode ocorrer quando sen^2 x =
cos^2 x.
Eu acho que sai usando a desigualdade de Bernoulli,
mas não consegui uma demonstração agora.
[]'s
Shine
Be a better friend, newshound, and
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http://mobile.yahoo.com/;_ylt=Ahu06i62sR8HDtDypao8Wcj9tAcJ
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Teorema de Ripz - de novo
Eu já postei aqui n lista esta pergunta, m creio que nem todo mundo leu, então lá vai: Alguém conhece o enunciado teorema de Ripz (Elyahu Ripz) sobre a ação de grupos finitos ? Dizem que este teorema é muito importante em topologia, mas nõ encontro o enunciado dele em livro algum, talvez esteja com outro nome, mas realmente não sei. Quem puder me dar uma luz, agradeço. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
