[obm-l] duvida PA
Numa PA com (2n +1) termos, a soma dos n primeiros é igual a 50 e a soma dos n últimos é 140. Sabendo que a razão desta PA é um número inteiro entre 2 e 3, calcule an.
Re: [obm-l] duvida PA
Marcus,
Do enunciado, temos:
50 = (a1 + an)n/2
140 = (a1 + a{2n+1})(2n+1)/2 - 50 - a{n+1}
Logo:
(a1 + an)n = 100
(a1 + a{2n+1})(2n+1) = 380 + 2a{n+1}
Usando o termo geral da PA: an = a1 + (n-1)r
Assim:
(a1 + a1 + (n-1)r)n = 100
(a1 + a1 + (2n)r)(2n+1) = 380 + 2(a1 + nr)
Abrindo tudo, temos:
2a1*n + n^2r - nr = 100
2a1*(2n+1) + 2nr(2n+1) = 380 + 2a1 + 2nr
Assim:
2a1*n + n^2r - nr = 100
4n(a1) + 4n^2r = 380
Dividindo a segunda por 4, temos:
2(a1)n + n^2r - nr = 100
n(a1) + n^2r = 95
Subtraindo as duas equacoes, temos:
(a1)n - nr = 5
(a1)n = 5 + nr
Substituindo nas duas anteriores, temos:
10 + nr + n^2r = 100 nr(n+1) = 90
5 + nr + n^2r = 95 nr(n+1) = 90 [opz, hehehe.. igual]
Vamos analisar agora:
n(n+1)r = 90
Analisando os fatores primos de 90 = 2*5*3*3.
Precisamos do produto de 2 numeros consecutivos...
Temos: 2 e 3, ou, 5 e 6, ou, 9 e 10
Para 2 e 3, teríamos: n=2 e r=15 (não pode ser, visto o enunciado)
Para 5 e 6, teríamos: n=5 e r=3 (opa, parece ser este)
Para 9 e 10, teríamos: n=9 e r=1 (não pode ser, visto o enunciado)
Portanto: n=5 e r=3
Assim, como (a1)n = nr + 5, temos: a1 = (nr+5)/n = (5*3 + 5)/5 = 4
Logo: an = a1 + (n-1)r. an = 4 + 3(n-1)
Como temos 2n+1 termos, nossa sequencia é: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28,
31, 34
Veja: 4+7+10+13+16 = 50, e, 22+25+28+31+34 = 140
abraços,
Salhab
2010/6/5 Marcus Aurelio marcusaureli...@globo.com
Numa PA com (2n +1) termos, a soma dos n primeiros é igual a 50 e a soma
dos n últimos é 140. Sabendo que a razão desta PA é um número inteiro entre
2 e 3, calcule an.
[obm-l] dúvida sobre lema de teoria dos números.
Tem-se o lema: Se e entao quando , sao primos entre si. Por exemplo, m=4 n=5 a=20 4|20= está correto 5|20=também está correto 4.5|20= está correto, pois 20|20 Agora, se eu tenho: m=4 n=10 a=20 4|20= já vimos 10|20= está correto, pois 20/10=2 Agora, temos o seguinte: 4.10=40 Então 4.10|20? 40|20? 40 divide 20? Há alguma falha no lema ou há alguma falha minha? _ ACESSE O MESSENGER DO SEU CELULAR AGORA MESMO. CLIQUE E VEJA AQUI UM PASSO A PASSO. http://celular.windowslive.com.br/messenger.asp?produto=Messengerutm_source=Live_Hotmailutm_medium=Taglineutm_content=ACESSEOMES83utm_campaign=MobileServices
[obm-l] Re: [obm-l] dúvida sobre lema de teoria dos número s.
As hipóteses do lema são: (1) m|a (2) n|a (3) (m, n) = 1 -- isto é, m e n são primos entre si A tese é: (m*n) | a Vc aplicou o lema inicialmente para o caso m = 4, n = 5, a = 20. Neste caso as 3 hipóteses estão satisfeitas, então vale a tese: 4*5 | 20. Depois, vc tentou aplicar o lema para o caso m = 4, n = 10, a = 20. Neste caso, a 3a. hipótese não é válida, então vc não pode aplicar o lema. Se as hipóteses de uma proposição não estão satisfeitas, sua tese não tem significado nenhum. A falha não está no lema. Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +55 11 9961-7732 http://brunoreis.com http://brunoreis.com/tech (en) http://brunoreis.com/blog (pt) GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2010/6/5 Lucas Hagemaister lucashagemais...@msn.com Tem-se o lema: *Se [image: m|a] e [image: n|a] entao [image: mn|a] quando [image: m], [image: n] sao primos entre si.* Por exemplo, m=4 n=5 a=20 4|20= está correto 5|20=também está correto 4.5|20= está correto, pois 20|20 Agora, se eu tenho: m=4 n=10 a=20 4|20= já vimos 10|20= está correto, pois 20/10=2 Agora, temos o seguinte: 4.10=40 Então 4.10|20? 40|20? 40 divide 20? Há alguma falha no lema ou há alguma falha minha? -- GUARDE GRATUITAMENTE SEUS ARQUIVOS NA WEB. CLIQUE AQUI E VEJA UM PASSO A PASSO.http://www.windowslive.com.br/public/tip.aspx/view/38?product=5ocid=Hotmail:Live:Hotmail:Tagline:1x1:GUARDEGRAT79:-
[obm-l] Re: [obm-l] dúvida sobre lema de teoria dos número s.
Lucas, veja que 4 e 10 nao sao primos entre si, visto que mdc(4, 10) = 2. Logo, o lema não se aplica. abraços, Salhab 2010/6/5 Lucas Hagemaister lucashagemais...@msn.com Tem-se o lema: *Se [image: m|a] e [image: n|a] entao [image: mn|a] quando [image: m], [image: n] sao primos entre si.* Por exemplo, m=4 n=5 a=20 4|20= está correto 5|20=também está correto 4.5|20= está correto, pois 20|20 Agora, se eu tenho: m=4 n=10 a=20 4|20= já vimos 10|20= está correto, pois 20/10=2 Agora, temos o seguinte: 4.10=40 Então 4.10|20? 40|20? 40 divide 20? Há alguma falha no lema ou há alguma falha minha? -- GUARDE GRATUITAMENTE SEUS ARQUIVOS NA WEB. CLIQUE AQUI E VEJA UM PASSO A PASSO.http://www.windowslive.com.br/public/tip.aspx/view/38?product=5ocid=Hotmail:Live:Hotmail:Tagline:1x1:GUARDEGRAT79:-
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] dúvida sobre lem a de teoria dos núme ros.
Hum... Entendi. Obrigado! O que mais ou menos o lema quer dizer é o seguinte: Sempre que termos m|a e n|a, onde mn|a, m e n serão primos entre si. O que eu fiz foi o contrário(ali no caso do 4 e 10): Sempre que termos m e n primos entre si, onde m|a e n|a, mn|a. Como vimos, no caso do 4 e 10 isso não ocorre. From: bfr...@gmail.com Date: Sat, 5 Jun 2010 13:46:07 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] dúvida sobre lema de teoria dos números. To: obm-l@mat.puc-rio.br As hipóteses do lema são: (1) m|a (2) n|a (3) (m, n) = 1 -- isto é, m e n são primos entre si A tese é: (m*n) | a Vc aplicou o lema inicialmente para o caso m = 4, n = 5, a = 20. Neste caso as 3 hipóteses estão satisfeitas, então vale a tese: 4*5 | 20. Depois, vc tentou aplicar o lema para o caso m = 4, n = 10, a = 20. Neste caso, a 3a. hipótese não é válida, então vc não pode aplicar o lema. Se as hipóteses de uma proposição não estão satisfeitas, sua tese não tem significado nenhum. A falha não está no lema. Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +55 11 9961-7732 http://brunoreis.com http://brunoreis.com/tech (en) http://brunoreis.com/blog (pt) GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2010/6/5 Lucas Hagemaister lucashagemais...@msn.com Tem-se o lema: Se e entao quando , sao primos entre si. Por exemplo, m=4 n=5 a=20 4|20= está correto 5|20=também está correto 4.5|20= está correto, pois 20|20 Agora, se eu tenho: m=4 n=10 a=20 4|20= já vimos 10|20= está correto, pois 20/10=2 Agora, temos o seguinte: 4.10=40 Então 4.10|20? 40|20? 40 divide 20? Há alguma falha no lema ou há alguma falha minha? GUARDE GRATUITAMENTE SEUS ARQUIVOS NA WEB. CLIQUE AQUI E VEJA UM PASSO A PASSO. _ ACESSE O MESSENGER DO SEU CELULAR AGORA MESMO. CLIQUE E VEJA AQUI UM PASSO A PASSO. http://celular.windowslive.com.br/messenger.asp?produto=Messengerutm_source=Live_Hotmailutm_medium=Taglineutm_content=ACESSEOMES83utm_campaign=MobileServices
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] dúvida sobre le ma de teoria dos números.
2010/6/5 Lucas Hagemaister lucashagemais...@msn.com Hum... Entendi. Obrigado! O que mais ou menos o lema quer dizer é o seguinte: Sempre que termos m|a e n|a, onde mn|a, m e n serão primos entre si. Tivermos, para não assassinar o português. E não, cuidado com a ordem das implicações. A e B = C não quer dizer que A e C = B Veja bem, podemos ter 20 | 100 5 | 100 20*5 | 100 mas 20 e 5 não são primos entre si. Muito cuidado com a ordem das coisas... Que nem aquela do todo corvo é preto, ora, minha ovelha é preta, logo minha ovelha é um corvo. O que eu fiz foi o contrário(ali no caso do 4 e 10): O que você fez foi usar a conclusão de um teorema sem verificar as hipóteses... Por exemplo, todo ser vivo é mortal, logo os computadores são mortais. Repare que falta o conectivo ora, os computadores são seres vivos. (que, por sinal, me parece falsa...) Sempre que termos m e n primos entre si, onde m|a e n|a, mn|a. Como vimos, no caso do 4 e 10 isso não ocorre. Justamente, o problema do caso do 4 e do 10 que faz falhar o teorema, é que 4 e 10 não são primos entre si, e daí sobram fatores primos, que são contados duas vezes. Uma sugestão para entender o teorema de Gauss: tente demonstrar sem essa hipótese. Veja o que falha. Tente corrigir essa primeira demonstração, sem usar Bézout. A idéia é simplesmente partir da observação bom, 3 | x e 2 | x = 6 | x, e tentar generalizar essa demonstração (que é meio fácil) para o caso em que 2 e 3 são números quaisquer. Depois de um certo tempo, acho que vem naturalmente a hipótese certa que falta adicionar ao teorema (que os números são primos entre si). Mas o grande problema é que agora é praticamente impossível de generalizar a demonstração que você deu no caso 2,3 = 6. E essa é uma das partes interessantes (e difíceis) da matemática: quando você começa a tentar entender mais profundamente alguma coisa, e depois de um monte de esforço consegue chegar num enunciado que você acredita suficientemente (ou seja, você esgotou a sua fonte de contra-exemplos para a situação em questão, e os evitou nas hipóteses, que capturam a essência do que deve fazer funcionar), você descobre que falta alguma coisa mais forte para demonstrar. Você podia ter começado com números primos somente (e nesse caso eu acho que tem uma prova bem simples), mas agora, você precisa usar algo muito mais sofisticado. E é exatamente entendendo a sofisticação que você introduz (Bézout é crucial, mesmo, para demonstrar, e você vê exatamente como ele faz tudo funcionar), que você terá entendido o porquê de duas coisas. A primeira, porque o teorema é verdade, dito assim. E a segunda, mais importante ainda, é porque as hipóteses do teorema são essas aí, e não outras. E uma outra sugestão. Se você estiver com uma dúvida, escreva sempre as hipóteses *antes* da conclusão. Escreva [ Se A, B, C e D, Então X ]. Ajuda a evitar erros, e simplifica também bastante na hora de escrever a contrapositiva, a negação, ... Escrever enunciados de forma contorcida pode ser mais elegante poeticamente, mas é mais ou menos como usar numerais romanos para fazer multiplicações. Você conseguirá, mas o algoritmo é muito menos eficiente do que o dos algarismos arábicos. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
