Olá Luiz e demais colegasdesta lista ... OBM-L,
1) Quem provou que os números transcendentes são infinitos ?
Cantor demonstrou diretamente que os *NÚMEROS ALGÉBRICOS* são enumeraveis. Como
ele também havia demonstrado que os números reais não são enumeráveis, os reais
não-algébricos, vale dizer, os NÚMEROS TRANSCENDENTES, não podem ser
enumeráveis ( se fossem enumeráveis, os números reais, sendo a união disjunta
de algébricos e transcendentes, seria enumerável ... ). Portanto, pode-se dizer
que Cantor *DEMONSTROU INDIRETAMENTE* que existem infinitos números
transcendentes.
Note que o conceito de número transcendente é caracterizado indiretamente, pois
dizemos que um número é transcendente quandoele não é algébrico, isto é, nos
tomamos o conceito bem estabelecido ( um número é algébrico quando ele é
solução de umaequação algébrica com coeficientes inteiros ) de número algébrico
para falar sôbre os transcendentes. Este procedimento, em Matemática, é
tipicamente uma suave confissão de ignorância e desconhecimento ... Em verdade,
criamos uma *sacola* e passamosa proceder assim : o que não é algébrico nós
jogamos aqui. A verdade é que sabemos muito pouco sôbre estes números. Essa
ignorância,inclusive, pode estar ligada a hipótese do contínuo, pois, quem sabe
se neste ninho de gatos que são os numeros transcendentes não se escondeaquele
famoso e tão procurado conjunto não-enumerável com cardinalidade inferior a dos
reais ?
Os números transcendentes é uma terra de ninguém.
2) Como descobrir se um número real r é transcendente ? Demosntrando que r não
é algébrico. Existem uns pouquíssimos e pobríssimos resultadosque servem para
caracterizar algumas familias de transcendentes. Por exemplo :
TEOREMA DE GELFOND : Se A é um número algébrico não-nulo e diferente de 1 e B é
um irracional, então A^B é transcendente.Do teorema acima concluimos, por
exemplo, que raiz_2(2)^raiz_2(2) é transcendente ( raiz_2(2) = raiz quadrada
de dois ). São também transcendentes:N^raiz2(2), onde N é um natural maior que
1.
OBS : O resultado acima responde a uma das famosas perguntas elaboradas pelo
Hilbert
TEOREMA DE LINDEMAN : e^A é transcendente para todo A algébrico não nulo ( e=
2,7 ... = número de Euler = base dos logaritmos naturias )
NUMEROS DE LIOUVILLE : Todo número A tal que para todo natural N existem p e q
inteiros tais que modulo(A - (p/q) ) 1/(q^N) Um exemplo classico de numero
de Liouville e :
A= (1/10) + (1/(10^2)) + (1/(10^6)) + ... + (1/(10^(N!))) + ...
Deve existir mais resultados parciais que não me ocorrem agora.
Nem todo todo número transcendente é número de Liouville, ou , melhor ainda,
nenhuma das familias de numeros caracterizáveis pelos resultados acimaexaure
todos os numeros trancendentes. É também importante destacar que o conceito de
NUMERO TRANSCENDENTE esta atrelado ao conceito de númeroalgébrico, que, por sua
vez, esta associado ao conceito de polinomio com coeficientes inteiros. Ora,
existem diversos outros exemplos de corpos alem dosracionais e reais( e entre
eles, por exemplo, A+B*raiz2(2), onde A e B são racionais, formam um corpo
entre Q e R ). Portanto, é possivel extender o conceito de número
transcendente para outros corpos, podendo-se falar em NUMERO TRANSCENDENTE
SOBRE O CORPO TAL.
Em minha opinião, este imbricamento entre os conceitos de transcendente e
algébrico, em que pese nos ter permitido ver pela primeira vez os
transcendentes,é um obstaculo a ser vencido para uma melhor compreensão da
eventual *estrutura* e *beleza* que há neste universo ( dos transcendentes )
dominio ... Talvezo estudo do que há nos transcendentes relativos a outros
corpos ( incluindo uma olhada especial nos finitos ) poderia lançar alguma luz
aqui. O que é certoé que a conceituação atual é pobre para abordar tais números
e há muito o que descobrir aqui.
Note que ha muito outros conceitos ( por exemplo, número computável , conjunto
magro, medida de um conjunto ) que podem ser aplicados a estas classesde
números ( as classes caracterizadas pelos resultados acima ). Eu me lembro, por
exemplo, que alguem ja associou a ideia de conjunto magroao conjunto dos
números de Liouville ( acho que é que numeros de Liouville é complementar de um
conjunto magro ou algo proximo disso )
Um Abraço a TodosPSR,62210100A15
Date: Thu, 21 Oct 2010 10:16:53 -0200
Subject: [obm-l] Números Transcendentes + Combinatória
From: rodrigue...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Olá, pessoal!!!
Tudo bem???
Estou querendo saber quem provou que os números transcendentes são
infinitos. Além disso, como descobrir, dentro dos reais, um número
transcendente? É possível gerá-los?
Outra coisa, estou com dificuldades num problema muito simples de
combinatória: Quantos anagramas da palavra ESCOLA apresentam as
vogais ou as consoantes juntas? Fiz pelo complementar mas acho que
está errado...
Alguém pode me ajudar???
Um abração para todos.
Luiz
