[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Demonstração de somatório
Não estou decorando fórmulas, encontrei as duas fórmulas fechadas para os somatórios utilizando o binômio cúbico, se bem que o 4 multiplicado é muito mais simples. Obrigado pela demonstração anterior. 2011/3/3 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Henrique, pessoalmente eu acho o meu método (não sei se você já recebeu), mais fácil do que ficar decorando fórmulas, mas se você quiser fazer do seu jeito, tente para n par e n ímpar 2 casos distintos, e além disso o n' da segunda expressão serian/2 ou (n-1)/2, já que a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 é a soma até 2n, repare que: 2² + 4² +... +(2n)² = 4.(1² + 2² +...+n²) = 4 (n) (n+1)(2n +1)/6 = 2(n)(n+1(2n+1)/3 []'s João Date: Thu, 3 Mar 2011 14:01:59 -0300 Subject: [obm-l] Demonstração de somatório From: henrique.re...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada? 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1) Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2 + ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ..., mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo: Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2) n: 1, soma: 1^2 n: 2, soma: 1^2 + 2^2 n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2 ... Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3) n: 1, soma: 2^2 n: 2, soma: 2^2 + 4^2 n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2 ... Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em (1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e (3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2 + 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] A Rainha ataca novamente
Encontrei esse link: http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/withoff.shtml A descrição que você deu parece não estar correta, pois colocar a rainha no canto inferior esquerdo é o objetivo do jogo. A posição inicial dela é qualquer posição arbitrária na linha mais acima ou na coluna mais a direita do tabuleiro. 2011/3/4 Victor Hugo Rodrigues victorhcr.victorh...@gmail.com: Pessoal da lista, passaram-me um problema há um tempo, mas desconheço a origem e a solução dele, se alguém sabe, poderia postá-la? Lá vai ele: Em um tabuleiro mxn, um rainha é posta no canto inferior esquerdo (corner) e se movimenta de acordo com suas regras no xadrez sendo que duas pessoas a movem alternadamente. Ganha quem chegar primeiro ao canto superior direito. Quem tem a estratégia vencedora? Victor Hugo C. Rodrigues -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] A Rainha ataca novamente
Olá Victor Realmente o problema desse modo não tem solução, somente estrategias para ganhar, como o jogo da velha. Imagine um tabuleiro mxn, em que a casa superior direita é pintada de violeta. Se em algum momento do jogo a peça for colocada na linha superior, na coluna mais a direira ou na diagonal da casa violeta (casas prateadas) o próximo jogador está com o jogo ganho. Mas note que de qualquer casa não prateada a rainha pode ir para outra casa não prateada em qualquer jogada. Portanto não existe estratégia o jogo. []'s João Date: Fri, 4 Mar 2011 01:41:58 -0300 Subject: [obm-l] A Rainha ataca novamente From: victorhcr.victorh...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Pessoal da lista, passaram-me um problema há um tempo, mas desconheço a origem e a solução dele, se alguém sabe, poderia postá-la? Lá vai ele: Em um tabuleiro mxn, um rainha é posta no canto inferior esquerdo (corner) e se movimenta de acordo com suas regras no xadrez sendo que duas pessoas a movem alternadamente. Ganha quem chegar primeiro ao canto superior direito. Quem tem a estratégia vencedora? Victor Hugo C. Rodrigues
[obm-l] Demonstração de somatório
Como pode ser demonstrada a igualdade abaixo? 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n+1)! - 1 -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração de somatório
Olá Então , nessa última perceba que k.(k!)= (k+1)!-k! aplique a soma de ambos os lados a soma no segundo termo é telescópica ( os termos vão se anulando) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: Demonstração de somatório
Acho que encontrei: 4! - 3! + 3! - 2! + 2! - 1! + 1! - 0! = 4.3! - 3! + 3.2! - 2! + 2.1! - 1! + 1.0! - 0! = (4-1).3! + (3-1).2! + (2-1).1! + (1-1).0! = 3.3! + 2.2! + 1.1! = 4! - 1 2011/3/4 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com: Como pode ser demonstrada a igualdade abaixo? 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n+1)! - 1 -- Henrique -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: Demonstração de somatório
Nem precisa tanta coisa por indução somando (n+1).(n+1)! (n+1).(n+1)! + (n+1)! - 1 = (n+2)! - 1 (n+2).(n+1)! - 1 = (n+2)! - 1 (n+2)! - 1 = (n+2)! - 1, verdadeiro Date: Fri, 4 Mar 2011 16:44:10 -0300 Subject: [obm-l] Re: Demonstração de somatório From: henrique.re...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Acho que encontrei: 4! - 3! + 3! - 2! + 2! - 1! + 1! - 0! = 4.3! - 3! + 3.2! - 2! + 2.1! - 1! + 1.0! - 0! = (4-1).3! + (3-1).2! + (2-1).1! + (1-1).0! = 3.3! + 2.2! + 1.1! = 4! - 1 2011/3/4 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com: Como pode ser demonstrada a igualdade abaixo? 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n+1)! - 1 -- Henrique -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] interior
sei que se U é ab U=int U. (interior de U). Sei também que U está contido no fecho de U. = int U = U está contido no int (fecho de U). Agora pra mostrar que int (fecho de U) está contido em U não parece ser verdade. Alguém consegue algum contra exemplo tal que, sabendo U aberto tenhamos U diferente de int (fecho de U).
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: Demonstração de somatório
Olá Henrique Então pode ser feito assim mesmo como você percebeu, os termos vão se anulando essa técnica de soma telescópica talvez seja a mais importante para demonstração\ dedução ( não indutiva) de fórmula para somatórios em geral vale o seguinte Soma telescópica somatório ( de k=1 até n) de g (k+1) - g ( k )= g(n+1)-g(1) daí aplicando isso sai direto ( não acho é tanta coisa) de k.(k!)= (k+1)!-k! aplicando a soma somatório ( de k=1 até n) de k.(k! ) = somatório ( de k=1 até n) (k+1)!-k! = (n+1)!-1 por soma telescópica. Abraço = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Fwd: [obm-l] A Rainha ataca novamente
Mas obrigado pela resposta, achei o que queria. -- Mensagem encaminhada -- De: Victor Hugo Rodrigues victorhcr.victorh...@gmail.com Data: 4 de março de 2011 23:03 Assunto: Fwd: [obm-l] A Rainha ataca novamente Para: obm-l@mat.puc-rio.br Desculpem-me, a rainha só pode andar pra cima e pra direita. -- Forwarded message -- From: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Date: 2011/3/4 Subject: RE: [obm-l] A Rainha ataca novamente To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá Victor Realmente o problema desse modo não tem solução, somente estrategias para ganhar, como o jogo da velha. Imagine um tabuleiro mxn, em que a casa superior direita é pintada de violeta. Se em algum momento do jogo a peça for colocada na linha superior, na coluna mais a direira ou na diagonal da casa violeta (casas prateadas) o próximo jogador está com o jogo ganho. Mas note que de qualquer casa não prateada a rainha pode ir para outra casa não prateada em qualquer jogada. Portanto não existe estratégia o jogo. []'s João -- Date: Fri, 4 Mar 2011 01:41:58 -0300 Subject: [obm-l] A Rainha ataca novamente From: victorhcr.victorh...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Pessoal da lista, passaram-me um problema há um tempo, mas desconheço a origem e a solução dele, se alguém sabe, poderia postá-la? Lá vai ele: Em um tabuleiro mxn, um rainha é posta no canto inferior esquerdo (corner) e se movimenta de acordo com suas regras no xadrez sendo que duas pessoas a movem alternadamente. Ganha quem chegar primeiro ao canto superior direito. Quem tem a estratégia vencedora? Victor Hugo C. Rodrigues
Fwd: [obm-l] A Rainha ataca novamente
Desculpem-me, a rainha só pode andar pra cima e pra direita. -- Forwarded message -- From: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Date: 2011/3/4 Subject: RE: [obm-l] A Rainha ataca novamente To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá Victor Realmente o problema desse modo não tem solução, somente estrategias para ganhar, como o jogo da velha. Imagine um tabuleiro mxn, em que a casa superior direita é pintada de violeta. Se em algum momento do jogo a peça for colocada na linha superior, na coluna mais a direira ou na diagonal da casa violeta (casas prateadas) o próximo jogador está com o jogo ganho. Mas note que de qualquer casa não prateada a rainha pode ir para outra casa não prateada em qualquer jogada. Portanto não existe estratégia o jogo. []'s João -- Date: Fri, 4 Mar 2011 01:41:58 -0300 Subject: [obm-l] A Rainha ataca novamente From: victorhcr.victorh...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Pessoal da lista, passaram-me um problema há um tempo, mas desconheço a origem e a solução dele, se alguém sabe, poderia postá-la? Lá vai ele: Em um tabuleiro mxn, um rainha é posta no canto inferior esquerdo (corner) e se movimenta de acordo com suas regras no xadrez sendo que duas pessoas a movem alternadamente. Ganha quem chegar primeiro ao canto superior direito. Quem tem a estratégia vencedora? Victor Hugo C. Rodrigues
Re: [obm-l] A Rainha ataca novamente
Me desculpem, a rainha só pode andar para cima e para o lado direito. 2011/3/4 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Olá Victor Realmente o problema desse modo não tem solução, somente estrategias para ganhar, como o jogo da velha. Imagine um tabuleiro mxn, em que a casa superior direita é pintada de violeta. Se em algum momento do jogo a peça for colocada na linha superior, na coluna mais a direira ou na diagonal da casa violeta (casas prateadas) o próximo jogador está com o jogo ganho. Mas note que de qualquer casa não prateada a rainha pode ir para outra casa não prateada em qualquer jogada. Portanto não existe estratégia o jogo. []'s João -- Date: Fri, 4 Mar 2011 01:41:58 -0300 Subject: [obm-l] A Rainha ataca novamente From: victorhcr.victorh...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Pessoal da lista, passaram-me um problema há um tempo, mas desconheço a origem e a solução dele, se alguém sabe, poderia postá-la? Lá vai ele: Em um tabuleiro mxn, um rainha é posta no canto inferior esquerdo (corner) e se movimenta de acordo com suas regras no xadrez sendo que duas pessoas a movem alternadamente. Ganha quem chegar primeiro ao canto superior direito. Quem tem a estratégia vencedora? Victor Hugo C. Rodrigues
