[obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto - ERRATA
Ooopa... escrever dormindo nao e' facil... Corrigindo o final, temos: As brancas podem ser divididas de binom( 11 , 3 ) = 165 formas diferentes. As pretas podem ser divididas de binom( 13 , 3 ) = 286 formas diferentes. E as azuis podem ser divididas de binom( 18 , 3 ) = 816 formas diferentes. Logo, ha' 165*286*816 formas diferentes de se distribuir todas bolas entre 4 pessoas. []'s Rogerio Ponce PS: Paulo, de fato aparece o termo binom(11,3), e estamos considerando bolas brancas iguais entre si. Repare que estamos contando o numero de distribuicoes diferentes de bolas brancas entre 4 pessoas. --- Em 25 de maio de 2011 05:19, Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com escreveu: Ola' Paulo e colegas da lista, o problema e' encontrar a quantidade de divisoes de 8 bolas brancas, 10 pretas e 15 azuis entre 4 pessoas. Para isso, basta multiplicarmos a quantidade de formas de se dividir as bolas de cada cor entre as pessoas. Para as brancas, por exemplo, equivale a encontrarmos o numero de solucoes nao negativas da equacao: X1 + X2 + X3 + X4 = 8 e assim por diante. Lembrando que o numero de solucoes nao negativas de X1+...+Xn = p e' binom(n-1+p,n-1), obtemos o seguinte: As brancas podem ser divididas de binom( 10 , 2 ) = 45 formas diferentes. As pretas podem ser divididas de binom( 12 , 2 ) = 66 formas diferentes. E as azuis podem ser divididas de binom( 17 , 2 ) = 136 formas diferentes. Logo, ha' 45*66*136 formas diferentes de se distribuir todas bolas entre 4 pessoas. []'s Rogerio Ponce Em 25 de maio de 2011 00:38, Paulo Santa Rita paulosantar...@hotmail.comescreveu: Oi Willy e Rogerio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Não consigo entender o raciocínio de vocês. Vejam se é isso que vocês estão falando : Uma das duas pessoas ( digamos, o José ) pode receber 1) 0,1,2, ..., 8 bolas brancas. Seja A o conjunto dessas possibilidades 2) 0,1,2,...,10 bolas pretas. Seja B o conjunto dessas possibilidades 3) 0,1,2,...,15 bolas azuis. Seja C o conjunto dessas possibilidades A cardinalidade do produto cartesianos AxBxC encerra o total das possíveis maneiras de José receber as bolas. O restante é a parte da outra pessoa, digamos, da Maria. Assim, uma 3-upla (0,1,4) significa que Jose recebeu 1 bola preta e 4 azuis, ficando a Maria, portanto, com (8-0,10-1,15-4)=(8,9,11), ou seja, com 8 brancas, 9 pretas e 11 azuis. Se esse é o raciocínio, então ele está certo. NESTE CASO PARTICULAR ! Com mais pessoas - se entendi o que vocês disseram - o simples uso de combinações não resolve. Por exemplo, ao tomar Binom(11,3), estaremos considerando conjuntos identicos de 3 bolas brancas como se fossem distintos ... Confirmem se eu realmente entendi como vocês pensaram. Um abração PSR,425051100A1 -- Date: Tue, 24 May 2011 18:29:40 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto From: wgapetre...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2011/5/23 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com Ola' Paulo e colegas da lista, minha sugestao e' calcular de quantas formas podemos dividir as bolas de cada cor ( -- #solucoes nao negativas), e multiplicar tudo no final. []'s Rogerio Ponce Isso me parece ser a maneira mais simples Existem 9 maneiras de se dividir 8 bolas identicas entre duas pessoas (e C(11,3) de dividir entre 4 pessoas). Faz a mesma coisa para as demais e depois multiplica. Obtemos 9*11*16, para 2 pessoas e obtemos C(11,3)*C(18,3)*C(13,3) para as 4 pessoas.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Ola' Paulo e colegas da lista, o problema e' encontrar a quantidade de divisoes de 8 bolas brancas, 10 pretas e 15 azuis entre 4 pessoas. Para isso, basta multiplicarmos a quantidade de formas de se dividir as bolas de cada cor entre as pessoas. Para as brancas, por exemplo, equivale a encontrarmos o numero de solucoes nao negativas da equacao: X1 + X2 + X3 + X4 = 8 e assim por diante. Lembrando que o numero de solucoes nao negativas de X1+...+Xn = p e' binom(n-1+p,n-1), obtemos o seguinte: As brancas podem ser divididas de binom( 10 , 2 ) = 45 formas diferentes. As pretas podem ser divididas de binom( 12 , 2 ) = 66 formas diferentes. E as azuis podem ser divididas de binom( 17 , 2 ) = 136 formas diferentes. Logo, ha' 45*66*136 formas diferentes de se distribuir todas bolas entre 4 pessoas. []'s Rogerio Ponce Em 25 de maio de 2011 00:38, Paulo Santa Rita paulosantar...@hotmail.comescreveu: Oi Willy e Rogerio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Não consigo entender o raciocínio de vocês. Vejam se é isso que vocês estão falando : Uma das duas pessoas ( digamos, o José ) pode receber 1) 0,1,2, ..., 8 bolas brancas. Seja A o conjunto dessas possibilidades 2) 0,1,2,...,10 bolas pretas. Seja B o conjunto dessas possibilidades 3) 0,1,2,...,15 bolas azuis. Seja C o conjunto dessas possibilidades A cardinalidade do produto cartesianos AxBxC encerra o total das possíveis maneiras de José receber as bolas. O restante é a parte da outra pessoa, digamos, da Maria. Assim, uma 3-upla (0,1,4) significa que Jose recebeu 1 bola preta e 4 azuis, ficando a Maria, portanto, com (8-0,10-1,15-4)=(8,9,11), ou seja, com 8 brancas, 9 pretas e 11 azuis. Se esse é o raciocínio, então ele está certo. NESTE CASO PARTICULAR ! Com mais pessoas - se entendi o que vocês disseram - o simples uso de combinações não resolve. Por exemplo, ao tomar Binom(11,3), estaremos considerando conjuntos identicos de 3 bolas brancas como se fossem distintos ... Confirmem se eu realmente entendi como vocês pensaram. Um abração PSR,425051100A1 -- Date: Tue, 24 May 2011 18:29:40 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto From: wgapetre...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2011/5/23 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com Ola' Paulo e colegas da lista, minha sugestao e' calcular de quantas formas podemos dividir as bolas de cada cor ( -- #solucoes nao negativas), e multiplicar tudo no final. []'s Rogerio Ponce Isso me parece ser a maneira mais simples Existem 9 maneiras de se dividir 8 bolas identicas entre duas pessoas (e C(11,3) de dividir entre 4 pessoas). Faz a mesma coisa para as demais e depois multiplica. Obtemos 9*11*16, para 2 pessoas e obtemos C(11,3)*C(18,3)*C(13,3) para as 4 pessoas.
[obm-l] Combinatória
Determinar a quantidade de sequências de n termos cujos termos pertencem ao
conjunto {0,1,2} que possuem um número ímpar de zeros.Alguem poderia ajudar?
[obm-l] Pontuação mínima em campeonato
Como calcular o mínimo de pontos para uma equipe estar livre do rebaixamento (independente de qualquer critério de desempate)em um campeonato de 20 times em que os quatro últimos colocados são rebaixados?Cada time enfrenta seus 19 adversários,jogando 2 vezes com cada um deles e a vitória vale 3 pontos,o empate vale 1 ponto e a derrota,zero. É muito complicado?
[obm-l] RE: [obm-l] FW: Pontuação mínima em campeonato
Olá Marcone e demais colegas desta lista ... OBM-L, Muito complicado porque não há resposta para o seu problema e a formulação está errada, pois : 1) Existir algum critério de desempate é necessário2) Esta pontuação mínima depende do ponto onde está o campeonato. Explico. Para facilitar a sua visualização, considere 8 clubes que disputam 2 vagas em um campeonato de1 turno. Pode ocorrer que no final do campeonato 3 deles tenham tido um único empate e vencidoos demais jogos. Sejam E1, E2 e E3 estas equipes. Pode ocorrer o seguinte : E1 empatou com E2E2 empatou com E3E3 empatou com E1 Cada uma dessas equipes tem exatamente 4 pontos perdidos. Todas as demais equipes tem, aomenos, 9 pontos perdidos ( pois, ao menos, perderam para E1, E2 e E3 ). Logo, E1, E2 e E3terminam empatados em primeiro lugar. Como não há critério de desempate, como escolherquais serão as duas equipes que terão direito as duas vagas ? Isso mostra que um critério de desempate é necessário. Suponha agora que os 8 clubes disputam 3 vagas e que há um critério de desempate. ANTESDO CAMPEONATO COMEÇAR é correto dizer que o número maximo de pontos que podemser perdidos para assegurar uma das vagas é 4, isto é, 5 ou mais pontos perdidos NÃO ASSEGURAuma das vagas ( verifique ) Entretanto, se ao final da primeira rodada todos os jogos terminarem empatados, os numerosacima mudam, ou seja, a quantidade de pontos que voce procura DEPENDE DA RODADA, eleé uma função do ponto em que está o campeonato. PROBLEMA1) . Seja N o número de clubes e P o número de vagas, P [N/2], em um campeonato de turno único. Mostre que se um clube, ao final do campeonato, tiver D derrotas e E empates, entãoo número máximo de outros clubes que podem ter uma pontuação maior ou igual a dele é 2*D + E OBS1 : [N/2] - função pisoOBS1 : Admita que há critérios de desempate PROBLEMA 2) Generalize o problema acima para o caso de campeonatos com mais de um turno. Um AbraçoPSR,42505110940 From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] FW: Pontuação mínima em campeonato Date: Wed, 25 May 2011 11:58:21 + From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Pontuação mínima em campeonato Date: Wed, 25 May 2011 10:42:02 + Como calcular o mínimo de pontos para uma equipe estar livre do rebaixamento (independente de qualquer critério de desempate)em um campeonato de 20 times em que os quatro últimos colocados são rebaixados?Cada time enfrenta seus 19 adversários,jogando 2 vezes com cada um deles e a vitória vale 3 pontos,o empate vale 1 ponto e a derrota,zero. É muito complicado?
[obm-l] RE: [obm-l] Combinatória
Ola Marcone e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,
Ou eu entendi mal ou esta questão é muito simplória para figurar aqui. Deveria
ser postada num desses Sites de Vestibular que há aosmontes ai pela internet.
Aqui nós queremos Matemática Olímpica, aquelas questões que exigem reflexão e
criatividade.
Um AbraçoPSR,4250511094A
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Combinatória
Date: Wed, 25 May 2011 10:59:32 +
Determinar a quantidade de sequências de n termos cujos termos pertencem ao
conjunto {0,1,2} que possuem um número ímpar de zeros.Alguem poderia ajudar?
[obm-l] FW: Combinatória
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Combinatória
Date: Wed, 25 May 2011 10:59:32 +
Determinar a quantidade de sequências de n termos cujos termos pertencem ao
conjunto {0,1,2} que possuem um número ímpar de zeros.Alguem poderia ajudar?
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Ola Rogerio e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,
Agora entendi. Esta solução está correta :
Se Y é o total de bolas de uma mesma cor e P1, P2, ..., Pn são as pessoas,
então consideramos assoluções inteiras nao-negativas da equação linear
X1 + X2 + ... + Xn = Y
E para cada solução (x1, x2, ...,xn ) desta equação consideramos que x1 será o
total de bolas dacor Y que serão dadas a pessoa P1, x2 será o total de bolas da
cor Y que serão dadas a pessoa P2e assim sucessivamente.
O produto entre as quantidades de soluções para cada cor será a resposta.
Agora, considere que nesta solução nos sabemos a quem será dadas as bolas, ou
seja, existem aspessoas P1, P2, ..., Pn. E se o nosso interesse fosse somente
em montar partiçoes de um conjuntocom elementos repetidos ?
Num conjunto A existem :
8 bolas brancas, iguais e indistinguiveis entre si10 bolas prestas, iguais e
indistinguiveis entre si15 bolas azuis, iguais e indistinguiveis entre si
De quantas maneiras podemos particionar o conjunto A em 4 conjuntos ?
No problema anterior { A,{},{},{}} e {{},{},{},A} são autenticas e
corretassoluções distintas. Neste agora, não.
Um AbraçoPSR,425051108A1
Date: Wed, 25 May 2011 05:19:03 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número
de partições de um conjunto
From: abrlw...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Ola' Paulo e colegas da lista,
o problema e' encontrar a quantidade de divisoes de 8 bolas brancas, 10 pretas
e 15 azuis entre 4 pessoas.
Para isso, basta multiplicarmos a quantidade de formas de se dividir as bolas
de cada cor entre as pessoas.
Para as brancas, por exemplo, equivale a encontrarmos o numero de solucoes nao
negativas da equacao:
X1 + X2 + X3 + X4 = 8
e assim por diante.
Lembrando que o numero de solucoes nao negativas de
X1+...+Xn = p
e' binom(n-1+p,n-1), obtemos o seguinte:
As brancas podem ser divididas de binom( 10 , 2 ) = 45 formas diferentes.
As pretas podem ser divididas de binom( 12 , 2 ) = 66 formas diferentes.
E as azuis podem ser divididas de binom( 17 , 2 ) = 136 formas diferentes.
Logo, ha' 45*66*136 formas diferentes de se distribuir todas bolas entre 4
pessoas.
[]'s
Rogerio Ponce
Em 25 de maio de 2011 00:38, Paulo Santa Rita paulosantar...@hotmail.com
escreveu:
Oi Willy e Rogerio e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,
Não consigo entender o raciocínio de vocês. Vejam se é isso que vocês estão
falando :
Uma das duas pessoas ( digamos, o José ) pode receber
1) 0,1,2, ..., 8 bolas brancas. Seja A o conjunto dessas possibilidades
2) 0,1,2,...,10 bolas pretas. Seja B o conjunto dessas possibilidades3)
0,1,2,...,15 bolas azuis. Seja C o conjunto dessas possibilidades
A cardinalidade do produto cartesianos AxBxC encerra o total das possíveis
maneiras de José receber as bolas. O restante é a parte da outra pessoa,
digamos, da Maria. Assim, uma 3-upla (0,1,4) significa que Jose recebeu 1
bola preta e 4 azuis, ficando a Maria,
portanto, com (8-0,10-1,15-4)=(8,9,11), ou seja, com 8 brancas, 9 pretas e 11
azuis.
Se esse é o raciocínio, então ele está certo. NESTE CASO PARTICULAR !
Com mais pessoas - se entendi o que vocês disseram - o simples uso de
combinações não resolve. Por exemplo, ao tomar Binom(11,3),
estaremos considerando conjuntos identicos de 3 bolas brancas como se fossem
distintos ...
Confirmem se eu realmente entendi como vocês pensaram.
Um abração
PSR,425051100A1
Date: Tue, 24 May 2011 18:29:40 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um
conjunto
From: wgapetre...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
2011/5/23 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com
Ola' Paulo e colegas da lista,
minha sugestao e' calcular de quantas formas podemos dividir as bolas de cada
cor ( -- #solucoes nao negativas), e multiplicar tudo no final.
[]'s
Rogerio Ponce
Isso me parece ser a maneira mais simplesExistem 9 maneiras de se dividir 8
bolas identicas entre duas pessoas (e C(11,3) de dividir entre 4 pessoas). Faz
a mesma coisa para as demais e depois multiplica.
Obtemos 9*11*16, para 2 pessoas e obtemos C(11,3)*C(18,3)*C(13,3) para as 4
pessoas.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Ola' Paulo e colegas da lista,
para este novo problema basta dividirmos a solução do problema anterior pelo
numero de permutacoes entre os participantes.
Ou seja, basta dividir o resultado anterior por 4! = 24.
[]'s
Rogerio Ponce.
PS: enviei para a lista a seguinte correcao:
As brancas podem ser divididas de binom( 11 , 3 ) = 165 formas diferentes.
As pretas podem ser divididas de binom( 13 , 3 ) = 286 formas diferentes.
E as azuis podem ser divididas de binom( 18 , 3 ) = 816 formas diferentes.
Logo, ha' 165*286*816 formas diferentes de se distribuir todas bolas entre
4 pessoas.
Em 25 de maio de 2011 08:46, Paulo Santa Rita
paulosantar...@hotmail.comescreveu:
Ola Rogerio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Agora entendi. Esta solução está correta :
Se Y é o total de bolas de uma mesma cor e P1, P2, ..., Pn são as pessoas,
então consideramos as
soluções inteiras nao-negativas da equação linear
X1 + X2 + ... + Xn = Y
E para cada solução (x1, x2, ...,xn ) desta equação consideramos que x1
será o total de bolas da
cor Y que serão dadas a pessoa P1, x2 será o total de bolas da cor Y que
serão dadas a pessoa P2
e assim sucessivamente.
O produto entre as quantidades de soluções para cada cor será a resposta.
Agora, considere que nesta solução nos sabemos a quem será dadas as bolas,
ou seja, existem as
pessoas P1, P2, ..., Pn. E se o nosso interesse fosse somente em montar
partiçoes de um conjunto
com elementos repetidos ?
Num conjunto A existem :
8 bolas brancas, iguais e indistinguiveis entre si
10 bolas prestas, iguais e indistinguiveis entre si
15 bolas azuis, iguais e indistinguiveis entre si
De quantas maneiras podemos particionar o conjunto A em 4 conjuntos ?
No problema anterior { A,{},{},{}} e {{},{},{},A} são autenticas e corretas
soluções distintas. Neste agora, não.
Um Abraço
PSR,425051108A1
--
Date: Wed, 25 May 2011 05:19:03 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l]
Número de partições de um conjunto
From: abrlw...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Ola' Paulo e colegas da lista,
o problema e' encontrar a quantidade de divisoes de 8 bolas brancas, 10
pretas e 15 azuis entre 4 pessoas.
Para isso, basta multiplicarmos a quantidade de formas de se dividir as
bolas de cada cor entre as pessoas.
Para as brancas, por exemplo, equivale a encontrarmos o numero de solucoes
nao negativas da equacao:
X1 + X2 + X3 + X4 = 8
e assim por diante.
Lembrando que o numero de solucoes nao negativas de
X1+...+Xn = p
e' binom(n-1+p,n-1), obtemos o seguinte:
As brancas podem ser divididas de binom( 10 , 2 ) = 45 formas diferentes.
As pretas podem ser divididas de binom( 12 , 2 ) = 66 formas diferentes.
E as azuis podem ser divididas de binom( 17 , 2 ) = 136 formas diferentes.
Logo, ha' 45*66*136 formas diferentes de se distribuir todas bolas entre 4
pessoas.
[]'s
Rogerio Ponce
Em 25 de maio de 2011 00:38, Paulo Santa Rita
paulosantar...@hotmail.comescreveu:
Oi Willy e Rogerio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Não consigo entender o raciocínio de vocês. Vejam se é isso que vocês estão
falando :
Uma das duas pessoas ( digamos, o José ) pode receber
1) 0,1,2, ..., 8 bolas brancas. Seja A o conjunto dessas possibilidades
2) 0,1,2,...,10 bolas pretas. Seja B o conjunto dessas possibilidades
3) 0,1,2,...,15 bolas azuis. Seja C o conjunto dessas possibilidades
A cardinalidade do produto cartesianos AxBxC encerra o total das possíveis
maneiras de José receber as bolas. O restante é a parte
da outra pessoa, digamos, da Maria. Assim, uma 3-upla (0,1,4) significa
que Jose recebeu 1 bola preta e 4 azuis, ficando a Maria,
portanto, com (8-0,10-1,15-4)=(8,9,11), ou seja, com 8 brancas, 9 pretas e
11 azuis.
Se esse é o raciocínio, então ele está certo. NESTE CASO PARTICULAR !
Com mais pessoas - se entendi o que vocês disseram - o simples uso de
combinações não resolve. Por exemplo, ao tomar Binom(11,3),
estaremos considerando conjuntos identicos de 3 bolas brancas como se
fossem distintos ...
Confirmem se eu realmente entendi como vocês pensaram.
Um abração
PSR,425051100A1
--
Date: Tue, 24 May 2011 18:29:40 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um
conjunto
From: wgapetre...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
2011/5/23 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com
Ola' Paulo e colegas da lista,
minha sugestao e' calcular de quantas formas podemos dividir as bolas de
cada cor ( -- #solucoes nao negativas), e multiplicar tudo no final.
[]'s
Rogerio Ponce
Isso me parece ser a maneira mais simples
Existem 9 maneiras de se dividir 8 bolas identicas entre duas pessoas (e
C(11,3) de dividir entre 4 pessoas). Faz a mesma coisa para as demais e
depois multiplica.
Obtemos 9*11*16, para 2 pessoas e obtemos C(11,3)*C(18,3)*C(13,3) para as 4
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
2011/5/25 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com: Ola' Paulo e colegas da lista, o problema e' encontrar a quantidade de divisoes de 8 bolas brancas, 10 pretas e 15 azuis entre 4 pessoas. Para isso, basta multiplicarmos a quantidade de formas de se dividir as bolas de cada cor entre as pessoas. Para as brancas, por exemplo, equivale a encontrarmos o numero de solucoes nao negativas da equacao: X1 + X2 + X3 + X4 = 8 e assim por diante. Lembrando que o numero de solucoes nao negativas de X1+...+Xn = p e' binom(n-1+p,n-1), obtemos o seguinte: As brancas podem ser divididas de binom( 10 , 2 ) = 45 formas diferentes. As pretas podem ser divididas de binom( 12 , 2 ) = 66 formas diferentes. E as azuis podem ser divididas de binom( 17 , 2 ) = 136 formas diferentes. Como n-1 = 3, seriam C(11,3), C(13,3) e C(18,3), não? Logo, ha' 45*66*136 formas diferentes de se distribuir todas bolas entre 4 pessoas. []'s Rogerio Ponce Em 25 de maio de 2011 00:38, Paulo Santa Rita paulosantar...@hotmail.com escreveu: Oi Willy e Rogerio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Não consigo entender o raciocínio de vocês. Vejam se é isso que vocês estão falando : Uma das duas pessoas ( digamos, o José ) pode receber 1) 0,1,2, ..., 8 bolas brancas. Seja A o conjunto dessas possibilidades 2) 0,1,2,...,10 bolas pretas. Seja B o conjunto dessas possibilidades 3) 0,1,2,...,15 bolas azuis. Seja C o conjunto dessas possibilidades A cardinalidade do produto cartesianos AxBxC encerra o total das possíveis maneiras de José receber as bolas. O restante é a parte da outra pessoa, digamos, da Maria. Assim, uma 3-upla (0,1,4) significa que Jose recebeu 1 bola preta e 4 azuis, ficando a Maria, portanto, com (8-0,10-1,15-4)=(8,9,11), ou seja, com 8 brancas, 9 pretas e 11 azuis. Se esse é o raciocínio, então ele está certo. NESTE CASO PARTICULAR ! Com mais pessoas - se entendi o que vocês disseram - o simples uso de combinações não resolve. Por exemplo, ao tomar Binom(11,3), estaremos considerando conjuntos identicos de 3 bolas brancas como se fossem distintos ... Confirmem se eu realmente entendi como vocês pensaram. Um abração PSR,425051100A1 Date: Tue, 24 May 2011 18:29:40 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto From: wgapetre...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2011/5/23 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com Ola' Paulo e colegas da lista, minha sugestao e' calcular de quantas formas podemos dividir as bolas de cada cor ( -- #solucoes nao negativas), e multiplicar tudo no final. []'s Rogerio Ponce Isso me parece ser a maneira mais simples Existem 9 maneiras de se dividir 8 bolas identicas entre duas pessoas (e C(11,3) de dividir entre 4 pessoas). Faz a mesma coisa para as demais e depois multiplica. Obtemos 9*11*16, para 2 pessoas e obtemos C(11,3)*C(18,3)*C(13,3) para as 4 pessoas. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Olá Rogério e demais colegas desta lista ... OBM-L,
Esta resposta está errada, pois ela pressupõe que as soluções do problema
anterior podem ser agrupadas em grupos de 4!=24soluções, o que só ocorre quando
a solução e formada por conjuntos dois a dois distintos. Por exemplo,
{ {1B,1P}, {1P,1A}, {1B,1A}, {6B,8P,13A} }
é uma solução no primeiro problema e qualquer uma das suas 4!=24 também são,
formando portanto 24 soluções distintasque podem ser agrupadas em uma única
partição ( na qual a ordem dos conjuntos é irrelevante ), a saber :
{ {1B,1P}, {1P,1A}, {1B,1A}, {6B,8P,13A} } que será uma única solução para o
segundo problema.
Mas agora considere a solução do primeiro problema :
{ {1B,1P},{1P,1A},{1B,1P},{6B,9P,14A} }
Devido a igualdade entre o primeiro e terceiro conjuntos, não há 4!=24
permutações duas a duas distintas que podem seragrupadas para formar a partição
( solução do segundo problema ) seguinte :
{ {1B,1P},{1P,1A},{1B,1P},{6B,9P,14A} } que é uma solução válida para o segundo
problema.
Um AbraçoPSR,42505110B2A
Date: Wed, 25 May 2011 11:05:27 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l]
[obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
From: abrlw...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Ola' Paulo e colegas da lista,
para este novo problema basta dividirmos a solução do problema anterior pelo
numero de permutacoes entre os participantes.
Ou seja, basta dividir o resultado anterior por 4! = 24.
[]'s
Rogerio Ponce.
PS: enviei para a lista a seguinte correcao:
As brancas podem ser divididas de binom( 11 , 3 ) = 165 formas diferentes.
As pretas podem ser divididas de binom( 13 , 3 ) = 286 formas diferentes.
E as azuis podem ser divididas de binom( 18 , 3 ) = 816 formas diferentes.
Logo, ha' 165*286*816 formas diferentes de se distribuir todas bolas entre 4
pessoas.
Em 25 de maio de 2011 08:46, Paulo Santa Rita paulosantar...@hotmail.com
escreveu:
Ola Rogerio e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,
Agora entendi. Esta solução está correta :
Se Y é o total de bolas de uma mesma cor e P1, P2, ..., Pn são as pessoas,
então consideramos as
soluções inteiras nao-negativas da equação linear
X1 + X2 + ... + Xn = Y
E para cada solução (x1, x2, ...,xn ) desta equação consideramos que x1 será o
total de bolas da
cor Y que serão dadas a pessoa P1, x2 será o total de bolas da cor Y que serão
dadas a pessoa P2e assim sucessivamente.
O produto entre as quantidades de soluções para cada cor será a resposta.
Agora, considere que nesta solução nos sabemos a quem será dadas as bolas, ou
seja, existem aspessoas P1, P2, ..., Pn. E se o nosso interesse fosse somente
em montar partiçoes de um conjunto
com elementos repetidos ?
Num conjunto A existem :
8 bolas brancas, iguais e indistinguiveis entre si10 bolas prestas, iguais e
indistinguiveis entre si
15 bolas azuis, iguais e indistinguiveis entre si
De quantas maneiras podemos particionar o conjunto A em 4 conjuntos ?
No problema anterior { A,{},{},{}} e {{},{},{},A} são autenticas e corretas
soluções distintas. Neste agora, não.
Um AbraçoPSR,425051108A1
Date: Wed, 25 May 2011 05:19:03 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número
de partições de um conjunto
From: abrlw...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Ola' Paulo e colegas da lista,
o problema e' encontrar a quantidade de divisoes de 8 bolas brancas, 10 pretas
e 15 azuis entre 4 pessoas.
Para isso, basta multiplicarmos a quantidade de formas de se dividir as bolas
de cada cor entre as pessoas.
Para as brancas, por exemplo, equivale a encontrarmos o numero de solucoes nao
negativas da equacao:
X1 + X2 + X3 + X4 = 8
e assim por diante.
Lembrando que o numero de solucoes nao negativas de
X1+...+Xn = p
e' binom(n-1+p,n-1), obtemos o seguinte:
As brancas podem ser divididas de binom( 10 , 2 ) = 45 formas diferentes.
As pretas podem ser divididas de binom( 12 , 2 ) = 66 formas diferentes.
E as azuis podem ser divididas de binom( 17 , 2 ) = 136 formas diferentes.
Logo, ha' 45*66*136 formas diferentes de se distribuir todas bolas entre 4
pessoas.
[]'s
Rogerio Ponce
Em 25 de maio de 2011 00:38, Paulo Santa Rita paulosantar...@hotmail.com
escreveu:
Oi Willy e Rogerio e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,
Não consigo entender o raciocínio de vocês. Vejam se é isso que vocês estão
falando :
Uma das duas pessoas ( digamos, o José ) pode receber
1) 0,1,2, ..., 8 bolas brancas. Seja A o conjunto dessas possibilidades
2) 0,1,2,...,10 bolas pretas. Seja B o conjunto dessas possibilidades3)
0,1,2,...,15 bolas azuis. Seja C o conjunto dessas possibilidades
A cardinalidade do produto cartesianos AxBxC encerra o total das possíveis
maneiras de José receber as bolas. O restante é a parte da outra pessoa,
digamos, da Maria. Assim, uma 3-upla (0,1,4) significa que Jose recebeu 1
bola preta e 4 azuis, ficando a Maria,
portanto, com
[obm-l] Re: [obm-l] Pontuação mínima em campeonato
Se fosse apenas um turno, era mais difícil. Com turno e returno, é mais simples, e é generalizável... A chave é olhar para os 17 melhores times, isto é, para os 17 times que terminaram (terminariam, terminarão?) o campeonato com a melhor posição. Quantas partidas incluem pelo menos um desses 17? São 17x16 que eles jogam entre si, mais 17x3x2 que eles disputaram contra os 3 piores, num total de 17x22 partidas. Isto dá um total de 17x22x3 pontos em disputa por estes 17 times. Então, pelo menos um desses 17 times terá 22x3=66 pontos ou menos. Portanto, 67 pontos são com certeza suficientes para você se livrar do rebaixamento. --//-- Agora falta ver que 66 pontos não garante nada. De fato, você pode imaginar uma situação em que: i) Nas partidas em que esses 17 times jogaram entre si (turno e returno), o mandante sempre ganha. ii) Nas partidas em que esses 17 times jogaram com os 3 piores, os 17 sempre ganham. (iii) Faça o que você quiser com as partidas que os 3 piores jogaram entre si, não interessa.) Então todos esses 17 times teriam a mesma pontuação: 16x3+3x3x2=66. Com todos eles empatados, alguém com 66 seria rebaixado. Assim, 66 não é garantia de ficar na série A. ---///--- Então: 67 pontos (bom, antes de o campeonato começar, e independente do critério de desempate) é o que você precisa para garantir não-rebaixamento. Abraço, Ralph 2011/5/25 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Como calcular o mínimo de pontos para uma equipe estar livre do rebaixamento (independente de qualquer critério de desempate)em um campeonato de 20 times em que os quatro últimos colocados são rebaixados?Cada time enfrenta seus 19 adversários,jogando 2 vezes com cada um deles e a vitória vale 3 pontos,o empate vale 1 ponto e a derrota,zero. É muito complicado?
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Pontuação mínima em campeonato
Oi,Paulo .Oi, Ralph.Muito obrigado. Date: Wed, 25 May 2011 14:59:48 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Pontuação mínima em campeonato From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Se fosse apenas um turno, era mais difícil. Com turno e returno, é mais simples, e é generalizável... A chave é olhar para os 17 melhores times, isto é, para os 17 times que terminaram (terminariam, terminarão?) o campeonato com a melhor posição. Quantas partidas incluem pelo menos um desses 17? São 17x16 que eles jogam entre si, mais 17x3x2 que eles disputaram contra os 3 piores, num total de 17x22 partidas. Isto dá um total de 17x22x3 pontos em disputa por estes 17 times. Então, pelo menos um desses 17 times terá 22x3=66 pontos ou menos. Portanto, 67 pontos são com certeza suficientes para você se livrar do rebaixamento. --//-- Agora falta ver que 66 pontos não garante nada. De fato, você pode imaginar uma situação em que: i) Nas partidas em que esses 17 times jogaram entre si (turno e returno), o mandante sempre ganha. ii) Nas partidas em que esses 17 times jogaram com os 3 piores, os 17 sempre ganham. (iii) Faça o que você quiser com as partidas que os 3 piores jogaram entre si, não interessa.) Então todos esses 17 times teriam a mesma pontuação: 16x3+3x3x2=66. Com todos eles empatados, alguém com 66 seria rebaixado. Assim, 66 não é garantia de ficar na série A. ---///--- Então: 67 pontos (bom, antes de o campeonato começar, e independente do critério de desempate) é o que você precisa para garantir não-rebaixamento. Abraço, Ralph 2011/5/25 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Como calcular o mínimo de pontos para uma equipe estar livre do rebaixamento (independente de qualquer critério de desempate)em um campeonato de 20 times em que os quatro últimos colocados são rebaixados?Cada time enfrenta seus 19 adversários,jogando 2 vezes com cada um deles e a vitória vale 3 pontos,o empate vale 1 ponto e a derrota,zero. É muito complicado?
