RE: [obm-l] Desigualdade (Como provar?)
Caros Colegas, Não consegui ainda uma demonstração. Seria possível fazê-la por indução finita? Abraços do Paulo. - Date: Mon, 13 Jun 2011 22:49:41 +0200 Subject: Re: [obm-l] Desigualdade (Como provar?) From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2011/6/13 Paulo Argolo argolopa...@hotmail.com: Caros Colegas, Como podemos provar que, dados n numeros reais positivos (n1), nem todos iguais, vale a desigualdade abaixo? S . S' n^2 (S é a soma dos n números, S' é a soma dos inversos desses n números.) Tente mostrar isso para n = 2, n = 3, expandindo tudo. Dá poucos termos, e daí acho que você vai ver como prova para n qualquer. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Desigualdade (Como provar?)
Se x0,então x+(1/x)2.Veja q se x1, (x-1)^20.Dai,x^2-2x+10.Dividindo tudo por x(já q x0),temos x+(1/x)2. (a+b)*(1/a + 1/b)=a/b + b/a + 1 + 12+1+1=2^2 Eu fiz com a,b e c;depois com a,b,c e d e funcionou,mas ai precisa formalizar. Espero ter ajudado um pouco. Abraços. From: argolopa...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Desigualdade (Como provar?) Date: Tue, 21 Jun 2011 11:34:43 + Caros Colegas, Não consegui ainda uma demonstração. Seria possível fazê-la por indução finita? Abraços do Paulo. - Date: Mon, 13 Jun 2011 22:49:41 +0200 Subject: Re: [obm-l] Desigualdade (Como provar?) From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2011/6/13 Paulo Argolo argolopa...@hotmail.com: Caros Colegas, Como podemos provar que, dados n numeros reais positivos (n1), nem todos iguais, vale a desigualdade abaixo? S . S' n^2 (S é a soma dos n números, S' é a soma dos inversos desses n números.) Tente mostrar isso para n = 2, n = 3, expandindo tudo. Dá poucos termos, e daí acho que você vai ver como prova para n qualquer. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Desigualdade (Como provar?)
Onde tá escrito x1,o correto é x diferente de 1. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Desigualdade (Como provar?) Date: Tue, 21 Jun 2011 12:34:21 + Se x0,então x+(1/x)2.Veja q se x1, (x-1)^20.Dai,x^2-2x+10.Dividindo tudo por x(já q x0),temos x+(1/x)2. (a+b)*(1/a + 1/b)=a/b + b/a + 1 + 12+1+1=2^2 Eu fiz com a,b e c;depois com a,b,c e d e funcionou,mas ai precisa formalizar. Espero ter ajudado um pouco. Abraços. From: argolopa...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Desigualdade (Como provar?) Date: Tue, 21 Jun 2011 11:34:43 + Caros Colegas, Não consegui ainda uma demonstração. Seria possível fazê-la por indução finita? Abraços do Paulo. - Date: Mon, 13 Jun 2011 22:49:41 +0200 Subject: Re: [obm-l] Desigualdade (Como provar?) From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2011/6/13 Paulo Argolo argolopa...@hotmail.com: Caros Colegas, Como podemos provar que, dados n numeros reais positivos (n1), nem todos iguais, vale a desigualdade abaixo? S . S' n^2 (S é a soma dos n números, S' é a soma dos inversos desses n números.) Tente mostrar isso para n = 2, n = 3, expandindo tudo. Dá poucos termos, e daí acho que você vai ver como prova para n qualquer. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Números inteiros
1) Suponho n natural. Como 28n^2+1 eh impar e tem que ser quadrado perfeito,
escrevo
28n^2+1=(2k-1)^2 (com k inteiro)
7n^2=k^2-k=k(k-1)
(Note que a expressao toda eh 2+2(2k-1)=4k; entao nosso objetivo eh mostrar
que k eh quadrado perfeito)
Leminha: Como k e k-1 sao primos entre si, um deles eh um quadrado perfeito,
o outro eh 7 vezes um quadrado perfeito.
Provinha: Um dos fatores k e k-1 nao eh divisivel por 7, o outro eh. Seja 7A
o divisivel por 7, e B o outro.
Temos n^2=AB com A e B primos entre si. Entao A e B sao quadrados perfeitos
(Se p eh um fator de A, entao p tem de ser fator de n. Mas entao p aparece
do lado esquerdo um numero par de vezes (em n^2).
Como A e B sao primos entre si, p nao aparece em B -- entao p aparece um
numero par de vezes em A.
Todo fator primo de A aparece um numero par de vezes em A? Entao, A eh um
quadrado perfeito. Idem para B.)
Caso 1: k=a^2, k-1=7b^2 -- entao a expressao eh k=a^2, acabou.
Caso 2: k=7a^2, k-1=b^2. Entao 7a^2-b^2=1, isto eh, 7a^2=b^2+1. Mas isto eh
impossivel: b^2=(0 ou 1) mod 4, enquanto 7a^2=(0 ou 3) mod 4.
2) Este eh o Problema 1 da IMO 1986 (Polonia). Eu lembro... :)
Um jeito de fazer eh olhar tudo mod 16. Os quadrados perfeitos mod 16 sao
0,1,4,9. Vou escrever tudo mod 16, e vou botar = ao inves de pertence:
2d-1={0,1,4,9} implica em 2d={1,2,5,10}, isto eh, 2d={2,10}, e d={1,5,9,13}.
Respectivamente, viria 5d-1={4,8,12,1}. Soh os dois das pontas podem ser
quadrados perfeitos, isto eh, d={1,13}.
Mas entao 13d-1={12,8}, e nenhum deles eh quadrado perfeito mod 16.
3) (x+1)(x^2+1)=2^y. Entao ambos x+1 e x^2+1 tem de ser potencias de 2.
Como 2^y e x^2+1 sao positivos, x+1 tambem terah de ser positivo, isto eh, x
eh um inteiro nao-negativo.
CASO 1: x+1=1, dah x=0, entao y=0. (x,y)=(0,0) serve.
CASO 2: x+1=2, dah x=1, entao y=2. (x,y)=(1,2) serve.
CASO 3: x+1 eh divisivel por 4. Entao (x^2+1)=(x+1)(x-1)+2=2 (mod 4)...
Assim, os unicos jeitos de x^2+1 ser potencia de 2 sao:
-- x^2+1=1, isto eh, x=0, que jah foi.
-- x^2+1=2, isto eh, x=1, que jah foi.
Abraco, Ralph
2011/6/21 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
1) Prove que se 2+2raiz(28n^2 + 1) é um inteiro,então é um quadrado
perfeito.
2) Mostre que não existe um natural d tal que os nùmeros 2d - 1,5d - 1 e
13d - 1 sejam quadrados perfeitos.
3) Encontre todas as soluções de 1 + x +x^2 + x^3 = 2^y em inteiros x e y
Agradeço antecipadamente a quem puder ajudar.
Re: [obm-l] Desigualdade (Como provar?)
Oi, Paulo. É simples e clássico. Basta usar média aritmética = média geométrica em S e S'. Abraços Nehab Em 21/6/2011 08:34, Paulo Argolo escreveu: Caros Colegas, Não consegui ainda uma demonstração. Seria possível fazê-la por indução finita? Abraços do Paulo. - Date: Mon, 13 Jun 2011 22:49:41 +0200 Subject: Re: [obm-l] Desigualdade (Como provar?) From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2011/6/13 Paulo Argoloargolopa...@hotmail.com: Caros Colegas, Como podemos provar que, dados n numeros reais positivos (n1), nem todos iguais, vale a desigualdade abaixo? S . S' n^2 (S é a soma dos n números, S' é a soma dos inversos desses n números.) Tente mostrar isso para n = 2, n = 3, expandindo tudo. Dá poucos termos, e daí acho que você vai ver como prova para n qualquer. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdade (Como provar?)
Você,Você,Você,Você,Você,Você,Você quer uma demo por PIF? Bem, vou te dar a dica: prove de n para 2n, e depois de n para n-1. Em 21/06/11, Carlos Nehabne...@infolink.com.br escreveu: Oi, Paulo. É simples e clássico. Basta usar média aritmética = média geométrica em S e S'. Abraços Nehab Em 21/6/2011 08:34, Paulo Argolo escreveu: Caros Colegas, Não consegui ainda uma demonstração. Seria possível fazê-la por indução finita? Abraços do Paulo. - Date: Mon, 13 Jun 2011 22:49:41 +0200 Subject: Re: [obm-l] Desigualdade (Como provar?) From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2011/6/13 Paulo Argoloargolopa...@hotmail.com: Caros Colegas, Como podemos provar que, dados n numeros reais positivos (n1), nem todos iguais, vale a desigualdade abaixo? S . S' n^2 (S é a soma dos n números, S' é a soma dos inversos desses n números.) Tente mostrar isso para n = 2, n = 3, expandindo tudo. Dá poucos termos, e daí acho qu! e você vai ver como prova para n qualquer. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- /**/神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
