[obm-l] Re:[obm-l] A função e^x
No item 1) a e b são reais?
[obm-l] Re: [obm-l] OBM - Nível 3
Obrigada Douglas, mas esta Eureka não contém este problema. Acho que se refere à OBM 2010. Em 10 de junho de 2012 20:24, douglas.olive...@grupoolimpo.com.brescreveu: ** http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/eureka34.pdf On Sun, 10 Jun 2012 18:35:54 -0300, Débora Duarte An wrote: Olá! Alguém pode me ajudar com este problema? *Esmeralda tem um círculo de cartolina dividido em n setores circulares, numerados de 1 a n, no sentido horário. De quantas maneiras Esmeralda pode pintar a cartolina, pintando cada setor com uma cor, tendo disponíveis k cores e de modo que quaisquer dois setores circulares vizinhos (isto é, que têm um segmento em comum como fronteira) tenham cores diferentes? Note que isso implica que os setores de números 1 e n devem ter cores diferentes.* Muito obrigada, -- Débora Duarte An -- Débora Duarte An
Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM - Nível 3
http://www.obm.org.br/export/sites/default/provas_gabaritos/docs/2011/2Fase_Nivel3_Gabarito_2011.pdf com certeza esta ai eles usam solucao por recorrencia muito boa a solucao por sinal!!espero ter ajudado!! On Mon, 11 Jun 2012 12:22:01 -0300, Débora Duarte An wrote: Obrigada Douglas, mas esta Eureka não contém este problema. Acho que se refere à OBM 2010. Em 10 de junho de 2012 20:24, escreveu: http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/eureka34.pdf [1] On Sun, 10 Jun 2012 18:35:54 -0300, Débora Duarte An wrote: Olá! Alguém pode me ajudar com este problema? ESMERALDA TEM UM CÍRCULO DE CARTOLINA DIVIDIDO EM _N_ SETORES CIRCULARES, NUMERADOS DE 1 A _N_, NO SENTIDO HORÁRIO. DE QUANTAS MANEIRAS ESMERALDA PODE PINTAR A CARTOLINA, PINTANDO CADA SETOR COM UMA COR, TENDO DISPONÍVEIS _K_ CORES E DE MODO QUE QUAISQUER DOIS SETORES CIRCULARES VIZINHOS (ISTO É, QUE TÊM UM SEGMENTO EM COMUM COMO FRONTEIRA) TENHAM CORES DIFERENTES? NOTE QUE ISSO IMPLICA QUE OS SETORES DE NÚMEROS 1 E _N_ DEVEM TER CORES DIFERENTES. Muito obrigada, -- Débora Duarte An -- Débora Duarte An Links: -- [1] http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/eureka34.pdf [2] mailto:douglas.olive...@grupoolimpo.com.br
[obm-l] RES: [obm-l] Re:[obm-l] A função e^x
Olá! Sim, a e b são reais. Albert Bouskela mailto:bousk...@gmail.com bousk...@gmail.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Eduardo Wilner Enviada em: segunda-feira, 11 de junho de 2012 11:19 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] A função e^x No item 1) a e b são reais?
[obm-l] Imagem
No exercício que pede o conjunto imagem da funcão real f(x)=(x^2-x+1)/(x^2+x+1) procedi da seguinte maneira: Fiz os gráficos das funções h(x)=x^2-x+1 e t(x)=x^2+x+1 e num mesmo sistema de coordenadas conclui que para -1=x=1 implica 1/3=f(x)=3. Para x=-1 ou x=1, a imagem varia da mesma forma. A pergunta é: Existe um método não gráfico para determinarmos essa imagem?. Já aprendi aqui a resolução de problemas sobre imagens de funções fazendo-se uso da teoria de desigualdade de médias, mas acho que não se aplica a esse caso. Se houver um método não gráfico, com argumentos do ensino médio e alguém souber, agradeço antecipadamente. Abraços.
Re: [obm-l] Imagem
Oi, Ruy, No caso geral de quociente entre duas expressões do segundo grau em x, é usual e simples chamar a fração de y e montar uma equação do segundo grau em x (que dependerá de y, naturalmente). A pergunta é: para quais valores de y há x real? Basta fazer brincar com o manjado delta. É isto que você perguntou? Porém, há uma solução mais fácil para este caso específico. Sua f(x) = 1 - 2x/(x^2+x+1) = 1 - 2/(x + 1/x +1), para x 0. Como |x + 1/x| =2 ... Abraços, Nehab Em 11/06/2012 13:49, ruy de oliveira souza escreveu: No exercício que pede o conjunto imagem da funcão real f(x)=(x^2-x+1)/(x^2+x+1) procedi da seguinte maneira: Fiz os gráficos das funções h(x)=x^2-x+1 e t(x)=x^2+x+1 e num mesmo sistema de coordenadas conclui que para -1=x=1 implica 1/3=f(x)=3. Para x=-1 ou x=1, a imagem varia da mesma forma. A pergunta é: Existe um método não gráfico para determinarmos essa imagem?. Já aprendi aqui a resolução de problemas sobre imagens de funções fazendo-se uso da teoria de desigualdade de médias, mas acho que não se aplica a esse caso. Se houver um método não gráfico, com argumentos do ensino médio e alguém souber, agradeço antecipadamente. Abraços. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] A função e^x
Na questão número 1 não vejo outra solução além de e fazendo o gráfico pode-se perceber, mas façamos aplicando ln em ambos os lados teríamos, x=e.ln(x) , ou x/e=ln(x) , ou ainda f(x)=x/e-ln(x)=0 e analisando esta função fazendo a sua derivada primeira daria f'(x)=1/e-1/x o que nos forneceria o ponto de mínimo x=e pois f''(e)=1/e^2 0 e f(e)=0, o que nos mostra que a única raíz desta equação será x=e e que o gráfico possui concavidade para cima e valor mínimo f(e)=0. e logo responde a número 2 fazendo o mesmo procedimento de ln em ambos os lados percebendo que o gráfico de eˆx-x^e é sempre positivo com exceçao da sua raiz x=e. Agora a número 3, podemos fazer o seguinte sem perda de generalidade começaremos xy ,logo x/y1 , o que nos fornece, que x/y=1+t, x=y(1+t), e substituindo na primeira expressão teríamos [y(1+t)]ˆy=yˆ[y(1+t)] e simplificando vem y^(1+t)=y(1+t), y^t=1+t, agora pausa aqui isso me lembra uma outra expressão o qual já usei muito que é e^x1+x para x0, mas isso é fácil mostrar numa expansão de série e^x=1+x+(x^2)/2! + ...1+x. pronto agora vamos fazer uma comparação se y^te tipo 3,4, e pelo gráfico fica fácil ver que não existem mais soluções. Valeu cara espero ter ajudado ai . um abraço do Douglas Oliveira On Sun, 10 Jun 2012 13:08:33 -0300, bousk...@gmail.com wrote: Olá! Considere a função f(x)=e^x 1) A equação e^a = a^e (a1 e a diferente de e) Mostre que essa equação tem uma segunda raiz b (diferente de a), tal que: Se ae, então b Se ae. 2) Mostre que e^x x^e para qualquer que seja x real e positivo (e diferente de e). 3) Mostre que a equação m^n = n^m tem uma única solução não trivial no domínio dos naturais: 2^4=4^2. ALBERT BOUSKELA bousk...@gmail.com [1] Links: -- [1] mailto:bousk...@gmail.com
Re: [obm-l] Dúvidas em combinatória
Problema interessantíssimo, não tinha parado pra fazer até que
percebi algo..
se voce for analisando a medida que os elementos
crescem no conjunto perceba:
{} 1
{1}--- 2
{1,2}---3
{1,2,3}---5
{1,2,3,4}---8
...
os números que aparecem são os
de fibonacci e analisando a sua resolução, voce mesmo chegaria no
teorema de lucas f_n+1=Cn,0 + Cn-1,1 +Cn-2,2 +...Cn-j,j onde j é o maior
inteiro menor ou igual a n/2, o que responde sua pergunta sobre n/2.
logo é só montar a recorrência e escrever a fórmula de binet.
Espero
ter ajudado.
Douglas Oliveira!!!
On Mon, 4 Jun 2012 13:38:50 +,
marcone augusto araújo borges wrote:
1)Quantos subconjuntos do
conjunto {1,2,...,n} não contêm dois inteiros consecutivos?
O vazio
seria um deles
Com 1 elemento:n subconjuntos
Com 2
elementos:Cn-1,2
Com 3 elementos:Cn-2,3
.
.
.
Com n/2
elementos(se n é par):???
Eu pensei C(n/2 + 1,n/2) = n/2 + 1...mas
isso é muito estranho,pois,se n = 10,por exemplo,só há 2 subconjuntos de
5 elementos que não contêm dois inteiros consecutivos...
è necessario
mesmo separar em 2 casos,n par e n ímpar?
2)Qual o argumento
combinatório para mostrar que Cn,2 + Cn+1,2 = n^2?
Desde já
agradeço.
Re: [obm-l] POLINOMIOS qual o Resto da Divisao??
Olha você pode usar números complexos , ou fazer uma jogadinha tipo vou explicar com números primeiro por exemplo, 2^8-1=(2^4+1)(2^4-1)=(2^4+1)(2^2+1)(2+1)(2-1) ou seja se o expoente é par sempre divisível, logo 2^(2^m)+1=2^(2^m)-1+2 e como 2^(2^m)-1 é divisível por 2^(2^n)+1 pois mn logo o resto será 2. Um Abraço do Douglas Oliveira de Lima On Sun, 10 Jun 2012 12:30:17 -0300, Jeferson Almir wrote: Dados m, n inteiros / mn ache o resto da divisao de X^(2^m) +1 por X^(2^n) +1
[obm-l] Ajuda em combinatória
Quantos subconjuntos do conjunto {1,2,...,n} não contêm dois inteiros
consecutivos?
[obm-l] Prova combinatória(2 e 3)
2) Suponha que você deseje escolher um subconjunto de 2k+1 elementos de um
conjunto de n elementos {1,2,...,n}
Você decide fazer isso escolhendo primeiro o elemento do meio,depois os k
elementos à sua esquerda e por último os k elementos à sua direita.
Formule a identidade combinatória que você obtem disso.
Essa não consegui.
3) Prove que
C(n,2) + C(n+1,2) = n^2
Dê duas provas,uma usando a fórmula algébrica e outra, usando a interpretação
combinatória.
Pela fórmula algébrica é muito simples
Interpretação combinátoria:
Suponha que serão escolhidos dois alunos de uma mesma turma,entre duas turmas A
e B,uma com n alunos e a outra com n+1 alunos.
De quantos modos é possível fazer tal escolha?
Escolher dois alunos da turma A ou dois alunos da turma B: C(n,2) + C(n+1,2)
Outra forma: escolher dois alunos quaisquer,independente de qual turma eles
sejam,e subtrair o número de casos em que são escolhidos um aluno da turma A e
outro da B: C(2n+1,2) - n.(n+1) = n^2
Conclusão: C(n,2) + C(n+1,2) = n^2
Tá certo assim?
Mesmo que esteja certo,alguem indicaria um modo diferente?
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Colômbia- álgebra
É, acho que o Bernardo tem razão. Considere o sistema: a^12+b^12+c^12=8 a^3+b^3+c^3=6abc Tomando por exemplo c=0, temos uma solução (a,b,c)=(2^(1/6),-2^(1/6),0), que daria S=a^6+b^6+c^6=4 (que eu estou apostando que é o valor máximo de S, mas não demonstrei). Por outro lado, tomando b=c, podemos achar numericamente uma possível solução como (a,b,c)=(0.38150,1.1225,1.1225), que daria S=2.8706, que é totalmente diferente. Acho que vale a pena conferir se o enunciado é exatamente esse mesmo. Abraço, Ralph 2012/6/10 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com Sejam a,b,c reais tais que a^12+b^12+c^12=8 [(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]/abc= 6/(a+b+c) Calcule a^6+b^6+c^6. 2012/6/10 Thiago Tarraf Varella thiago_...@hotmail.com: mas desenvolvendo a 2a. equação na raça, obtém-se a³ + b³ + c³ = 6abc Isso deve ajudar... alguma sugestão do que fazer agora? Isso dá uma boa ajuda, mas acho que a conclusão final é que não dá para determinar (numericamente) a^6 + b^6 + c^6. Eu argumentaria assim: seja P(x) = x^3 - Ax^2 + Bx - C um polinômio cujas raízes são a, b e c. Daí, como todas as quantidades são homogêneas, vamos gastar braço e escrever tudo em função de A, B e C. Vai dar um monte de trabalho, mas azar. Daí, você obtém uma fórmula feia para S_12 e outra para S_6, as somas de potências (essa até é bonitinha: 3 * S_6 = A^4 (A² - 3B) - 3B^3, se eu não me enganei.) Bom, a fórmula para S_12 é feia, mas não morde. Dá uma equação de grau 6 homogênea em A^2 e B, fixe um, ache o outro, dado que S_12 = 8. Bom, agora vem um argumento meio abstrato. Note que a região (S_12 = 8 inter S_3 = 6C) é de dimensão 1 em C^3 (e também em R^3, a menos que sejam pontos isolados, mas não é o caso), e por ser de dimensão 1, a gente chama de curva. Note que ela pode ter várias partes (componentes conexas), mas isso não importa. Note também que o valor que a gente quer calcular é S_6, que também é homogêneo. Então há duas possibilidades: ou ele é constante nessa curva de dimensão 1 (e basta pegar uma solução qualquer a, b, c e ver o quanto dá), ou ela é não-constante em *cada componente da curva*, e (em C^3) assume *todos* os valores complexos possíveis em cada componente conexa. O mais legal é que essa dicotomia continua mais ou menos válida em R (que é o que nos interessa!), e o comportamento em R é o mesmo que o de C: se for constante em C, será em R (óbvio!), e a recíproca também vale. Bom, daí você apela para qualquer software de cálculo algébrico, bota a equação, chuta uns valores para B (ou A, tanto faz), pede pra resolver a equação do S_12, substitui no S_6, e vê se dá igual. Se eu não fiz nenhuma besteira no caminho, existem valores de A e B para os quais dá diferente. Note que os valores de A e B que eu escolhi, muito provavelmente vão dar uma equação em que um de a, b e c será complexo. Mas isso não importa, pelo que eu disse antes: se existir alguma forma de S_6 mudar, mesmo que passando pelos complexos, também será o caso se a, b e c forem apenas reais. Ufa! Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em combinatória
O numero de subconjutos com n elementos q satistaz o enunciado, eh igual ao
numero de subconjuntos conjuntos com os n-1 primeiros elementos mais o
numero de subconjuntos com com n elementos, que contem necessariamente n. A
unica restricao sobre os conjuntos que contem o elemento n ,eh nao conter o
elemento n-1, logo eh igual ao numero de subconjuntos com n-2 elementos.
Assim F( n ) = F( n-1 ) + F(n-2), que eh a sequencia de fibonacci, eh facil
ver tbm que F ( 0 ) = 1 e F( 1) =2.
Em 11 de junho de 2012 15:40, marcone augusto araújo borges
marconeborge...@hotmail.com escreveu:
Quantos subconjuntos do conjunto {1,2,...,n} não contêm dois inteiros
consecutivos?
[obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas em combinatória
Obrigado,Douglas.
Uma problema bem parecido: Uma escada tem n degraus.Voce sobe tomando um ou
dois a cada vez.De quantas maneiras voce pode subir?
Date: Mon, 11 Jun 2012 15:42:45 -0300
From: douglas.olive...@grupoolimpo.com.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Dúvidas em combinatória
Problema interessantíssimo, não tinha parado pra fazer até que percebi algo..
se voce for analisando a medida que os elementos crescem no conjunto perceba:
{} 1
{1}--- 2
{1,2}---3
{1,2,3}---5
{1,2,3,4}---8
...
os números que aparecem são os de fibonacci e analisando a sua resolução, voce
mesmo chegaria no teorema de lucas f_n+1=Cn,0 + Cn-1,1 +Cn-2,2 +...Cn-j,j onde
j é o maior inteiro menor ou igual a n/2, o que responde sua pergunta sobre n/2.
logo é só montar a recorrência e escrever a fórmula de binet.
Espero ter ajudado.
Douglas Oliveira!!!
On Mon, 4 Jun 2012 13:38:50 +, marcone augusto araújo borges wrote:
1)Quantos subconjuntos do conjunto {1,2,...,n} não contêm dois inteiros
consecutivos?
O vazio seria um deles
Com 1 elemento:n subconjuntos
Com 2 elementos:Cn-1,2
Com 3 elementos:Cn-2,3
.
.
.
Com n/2 elementos(se n é par):???
Eu pensei C(n/2 + 1,n/2) = n/2 + 1...mas isso é muito estranho,pois,se n =
10,por exemplo,só há 2 subconjuntos de 5 elementos que não contêm dois inteiros
consecutivos...
è necessario mesmo separar em 2 casos,n par e n ímpar?
2)Qual o argumento combinatório para mostrar que Cn,2 + Cn+1,2 = n^2?
Desde já agradeço.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em combinatória
Seja D(n) esse número que você quer. Então:
D(0)=1 (vazio)
D(1)=1+1=2 (1 com 0 elementos, 1 com 1 elemento)
D(2)=1+2+0=3 (vazio e os subconjuntos unitários)
D(3)=1+3+1+0=5 (vazio, os unitários e {1,3}, mas com 3 elementos não dá)
Será que eu arrumo uma recorrência? Oras, os subconjuntos que eu arrumo em
{1,2,...,n} são de 2 tipos:
-- os que contém o último número n; então eles não podem ter o n-1! Assim,
eu tenho que escolher (e basta escolher!) um subconjunto de {1,2,...,n-2}
que não tenha dois inteiros consecutivos, o que pode ser feito de D(n-2)
jeitos;
-- os que não tem o ultimo número n; então eu tenho que escolher (e basta!)
um subconjunto de {1,2,...,n-1} corretamente, o que pode ser feito de
D(n-1) jeitos.
Assim, D(n)=D(n-1)+D(n-2) -- e a sequência dos D(n) é a sequencia de
Fibonacci, começando com 1,2,3,5,8,13,... Você agora pode arrumar uma
fórmula fechada para ela.
Abraço,
Ralph
2012/6/11 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
Quantos subconjuntos do conjunto {1,2,...,n} não contêm dois inteiros
consecutivos?
[obm-l] Número natural positivo (?)
Caros Colegas,
Se {0,1,2,3, ...} é o conjunto dos números naturais, pode-se dizer que
{1,2,3,...} é o conjunto dos números naturais positivos?
Abraços do Paulo.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] RES: [obm-l] A função e^x
Olá! Quando escrevi o item “1”, não o fiz corretamente ― consertando: Considere o número “a”, real, tal que: a1 e a=/e. Obs.: =/ significa “diferente de”. Mostre que a equação: x^a=a^x Possui uma única solução real e não trivial (x=b), sendo x=a a solução trivial. E mais: Se 1ae, então be; e Se ae, então 1be. Albert Bouskela mailto:bousk...@gmail.com bousk...@gmail.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de douglas.olive...@grupoolimpo.com.br Enviada em: segunda-feira, 11 de junho de 2012 15:05 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] A função e^x Na questão número 1 não vejo outra solução além de e fazendo o gráfico pode-se perceber, mas façamos aplicando ln em ambos os lados teríamos, x=e.ln(x) , ou x/e=ln(x) , ou ainda f(x)=x/e-ln(x)=0 e analisando esta função fazendo a sua derivada primeira daria f'(x)=1/e-1/x o que nos forneceria o ponto de mínimo x=e pois f''(e)=1/e^2 0 e f(e)=0, o que nos mostra que a única raíz desta equação será x=e e que o gráfico possui concavidade para cima e valor mínimo f(e)=0. e logo responde a número 2 fazendo o mesmo procedimento de ln em ambos os lados percebendo que o gráfico de eˆx-x^e é sempre positivo com exceçao da sua raiz x=e. Agora a número 3, podemos fazer o seguinte sem perda de generalidade começaremos xy ,logo x/y1 , o que nos fornece, que x/y=1+t, x=y(1+t), e substituindo na primeira expressão teríamos [y(1+t)]ˆy=yˆ[y(1+t)] e simplificando vem y^(1+t)=y(1+t), y^t=1+t, agora pausa aqui isso me lembra uma outra expressão o qual já usei muito que é e^x1+x para x0, mas isso é fácil mostrar numa expansão de série e^x=1+x+(x^2)/2! + ...1+x. pronto agora vamos fazer uma comparação se y^te^t, ye ai teríamos y=1 ou y=2, mas testando y=1 teremos uma contradição pois t seria 0, e testando y=2 fica 2^t=1+t. e na equação inicial fica 2^x=x^2 o que seria um quadrado perfeito aí fica fácil ver por indução que 2^x=2,4,8,... e 1+x=2,3,4,..., logo a solução será t=1 e x=2(1+1)=4 logo 2^4=4^2, e para y^te^t teremos ye tipo 3,4, e pelo gráfico fica fácil ver que não existem mais soluções. Valeu cara espero ter ajudado ai . um abraço do Douglas Oliveira On Sun, 10 Jun 2012 13:08:33 -0300, mailto:bousk...@gmail.com bousk...@gmail.com wrote: Olá! Considere a função f(x)=e^x 1) A equação e^a = a^e (a1 e “a” diferente de “e”) Mostre que essa equação tem uma segunda raiz “b” (diferente de “a”), tal que: Se ae, então b Se ae. 2) Mostre que e^x x^e para qualquer que seja “x” real e positivo (e diferente de “e”). 3) Mostre que a equação m^n = n^m tem uma única solução não trivial no domínio dos naturais: 2^4=4^2. Albert Bouskela mailto:bousk...@gmail.com bousk...@gmail.com
