É, acho que o Bernardo tem razão. Considere o sistema:
a^12+b^12+c^12=8
a^3+b^3+c^3=6abc
Tomando por exemplo c=0, temos uma solução (a,b,c)=(2^(1/6),-2^(1/6),0),
que daria S=a^6+b^6+c^6=4 (que eu estou apostando que é o valor máximo de
S, mas não demonstrei).
Por outro lado, tomando b=c, podemos achar numericamente uma possível
solução como (a,b,c)=(0.38150,1.1225,1.1225), que daria S=2.8706, que é
totalmente diferente.
Acho que vale a pena conferir se o enunciado é exatamente esse mesmo.
Abraço,
Ralph
2012/6/10 Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardo...@gmail.com>
> > Sejam a,b,c reais tais que
> > a^12+b^12+c^12=8
> > [(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]/abc= 6/(a+b+c)
> >
> > Calcule a^6+b^6+c^6.
>
> 2012/6/10 Thiago Tarraf Varella <thiago_...@hotmail.com>:
> > mas desenvolvendo a 2a. equação na raça, obtém-se
> > a³ + b³ + c³ = 6abc
>
> > Isso deve ajudar... alguma sugestão do que fazer agora?
>
> Isso dá uma boa ajuda, mas acho que a conclusão final é que não dá
> para determinar (numericamente) a^6 + b^6 + c^6.
>
> Eu argumentaria assim: seja P(x) = x^3 - Ax^2 + Bx - C um polinômio
> cujas raízes são a, b e c. Daí, como todas as quantidades são
> homogêneas, vamos gastar braço e escrever tudo em função de A, B e C.
> Vai dar um monte de trabalho, mas azar. Daí, você obtém uma fórmula
> feia para S_12 e outra para S_6, as somas de potências (essa até é
> "bonitinha":
>
> 3 * S_6 = A^4 (A² - 3B) - 3B^3,
>
> se eu não me enganei.)
>
> Bom, a fórmula para S_12 é feia, mas não morde. Dá uma equação de grau
> 6 homogênea em A^2 e B, fixe um, ache o outro, dado que S_12 = 8.
>
> Bom, agora vem um argumento meio abstrato.
>
> Note que a região (S_12 = 8 inter S_3 = 6C) é de dimensão 1 em C^3 (e
> também em R^3, a menos que sejam pontos isolados, mas não é o caso), e
> por ser de dimensão 1, a gente chama de "curva". Note que ela pode ter
> várias partes (componentes conexas), mas isso não importa. Note também
> que o valor que a gente quer calcular é S_6, que também é homogêneo.
> Então há duas possibilidades: ou ele é constante nessa curva de
> dimensão 1 (e basta pegar uma solução qualquer a, b, c e ver o quanto
> dá), ou ela é não-constante em *cada componente da curva*, e (em C^3)
> assume *todos* os valores complexos possíveis em cada componente
> conexa. O mais legal é que essa dicotomia continua mais ou menos
> válida em R (que é o que nos interessa!), e o comportamento em R é o
> mesmo que o de C: se for constante em C, será em R (óbvio!), e a
> recíproca também vale.
>
> Bom, daí você apela para qualquer software de cálculo algébrico, bota
> a equação, chuta uns valores para B (ou A, tanto faz), pede pra
> resolver a equação do S_12, substitui no S_6, e vê se dá igual. Se eu
> não fiz nenhuma besteira no caminho, existem valores de A e B para os
> quais dá diferente. Note que os valores de A e B que eu escolhi, muito
> provavelmente vão dar uma equação em que um de a, b e c será complexo.
> Mas isso não importa, pelo que eu disse antes: se existir alguma forma
> de S_6 mudar, mesmo que passando pelos complexos, também será o caso
> se a, b e c forem apenas reais. Ufa!
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =========================================================================
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