[obm-l] Raízes irracionais
Prezados Colegas, Gostaria de saber se alguém conhece uma demonstração do teorema abaixo. Um abraço do Pedro Chaves! ___ Teorema das raízes irracionais: Seja P(x) um polinômio não identicamente nulo e de coeficientes racionais, e sejam a, m e n números racionais — m e n são positivos e m^(1/2) e n^(1/2) são números irracionais. Sejam M = m^(1/2) e N = n^(1/2). Pode-se então afirmar: 1) Se a + M é raiz de P(x), então a - M também o é (e com a mesma multiplicidade). 2) Se M + N é raiz de P(x), então M - N, -M + N e -M-N também o são (e todas as quatro raízes têm a mesma multiplicidade). -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Raízes irracionais
2014-08-07 7:21 GMT-03:00 Pedro Chaves brped...@hotmail.com: Prezados Colegas, Gostaria de saber se alguém conhece uma demonstração do teorema abaixo. Um abraço do Pedro Chaves! ___ Teorema das raízes irracionais: Seja P(x) um polinômio não identicamente nulo e de coeficientes racionais, e sejam a, m e n números racionais — m e n são positivos e m^(1/2) e n^(1/2) são números irracionais. Sejam M = m^(1/2) e N = n^(1/2). Pode-se então afirmar: 1) Se a + M é raiz de P(x), então a - M também o é (e com a mesma multiplicidade). 2) Se M + N é raiz de P(x), então M - N, -M + N e -M-N também o são (e todas as quatro raízes têm a mesma multiplicidade). Essa segunda é falsa. Seja M = raiz(2) e N = 2*raiz(2), de forma que m = 2 e n = 8. Seja agora P(x) um polinômio com raiz M + N = 3*raiz(2). Basta tomar P(x) = x^2 - 18. Para este polinômio, -(M+N) também é raíz, mas nem M-N nem -(M-N) são. Para ser verdade, você precisa que M e N sejam racionalmente independentes, o que é (quase) o que você quer mostrar no teorema... Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Produto de cossenos
Boa noite a todos. Gostaria de uma ajuda. Para calcular o produto cos1º.cos2ºcos45º é possível utilizar complexos assim: (e^i).(e^2i)...(e^45i) = e^(1+2+...45)i e tomar a parte real? Obrigado -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Raízes irracionais
Bem, o Bernardo já corrigiu o enunciado, então vou partir daí.
Vc sabe álgebra avançada? Anéis, corpos, ideais, domínios euclidianos,
anéis quociente, anéis de polinômios? Seria o ideal (pun intended) para
entender a demonstração. Mas talvez dê para pegar a ideia sem isso, vou
tentar ser didático.
Um negócio sobre o conjunto dos polinômios de coeficientes racionais
(chamado Q[x]), é que ele é um domínio euclidiano. Dentre outras
propriedades, isso significa que vc pode fazer uma divisão de polinômios,
chamada divisão euclidiana:
Sejam f e g ∈ Q[x]. Então existem únicos q e r ∈ Q[x], com grau (r) grau
(g) tais que f = g*q + r
Isso não é difícil de provar, dá pra fazer por indução no grau.
Considere um polinômio do tipo g(x) = x2 - m, que não possui raiz racional
(ou seja, as raiz dele são √m e -√m, ambas irracionais). Seja p(x), um
polinômio racional com raiz a+b√m. Definimos f(x) = p(bx+a). É fácil ver
que f tem √m como raiz. Além disso, ele continua sendo um polinômio
racional. Gostaríamos de provar que f também possui -√m como raíz. Façamos
a divisão de f por g:
f(x) = (x2 - m)*q(x) + r(x), com grau (r) grau (x2 - m) = 2. Ou seja, r é
de grau no máximo 1 e portanto é da forma r(x) = cx + d. Mas f(√m) = 0:
f(√m) = (√m2 - m)*q(√m) + r(√m) == 0 = r(√m) == c√m + d = 0. Mas lembre
que r é um polinômio racional também, logo c = d = 0, pois caso contrário
teríamos -d/c = √m, absurdo pois √m não é racional.
Tudo isso significa que r(x) é identicamente nulo, ou seja, que f é
divisível por x2 - m. Logo ele também possui -√m como raíz. Aplicando isso
na definição de f, descobrimos que o polinômio original tem a-b√m como
raiz, cqd.
Para a parte 2, temos que considerar o corpo Q2 = {a√m + b, a,b ∈ Q}. Ele
também é euclidiano. Considere os polinômios em Q2 = Q2[x]. Esse conjunto é
uma extensão de Q[x] - de fato, todo polinômio com coeficientes racionais
tem coeficientes da forma a√m + b com a = 0. A demonstração segue análoga à
da parte 1, só que agora g(x) = x2 - n, que não possui raízes em Q2. Além
disso, p(x) tem raiz a + b√m + c√n, e vc vai definir o f ∈ Q2 de forma que
ele tenha √n como raíz, ou seja f(x) = p(a + b√m + cx).
Obviamente o resultado pode ser facilmente extendido por indução para n
raízes independentes
Abç
Willy
2014-08-07 8:47 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa
bernardo...@gmail.com:
2014-08-07 7:21 GMT-03:00 Pedro Chaves brped...@hotmail.com:
Prezados Colegas,
Gostaria de saber se alguém conhece uma demonstração do teorema abaixo.
Um abraço do Pedro Chaves!
___
Teorema das raízes irracionais:
Seja P(x) um polinômio não identicamente nulo e de coeficientes
racionais, e sejam a, m e n números racionais
— m e n são positivos e m^(1/2) e n^(1/2) são números irracionais. Sejam
M = m^(1/2) e N = n^(1/2). Pode-se então afirmar:
1) Se a + M é raiz de P(x), então a - M também o é (e com a mesma
multiplicidade).
2) Se M + N é raiz de P(x), então M - N, -M + N e -M-N também o são (e
todas as quatro raízes têm a mesma multiplicidade).
Essa segunda é falsa. Seja M = raiz(2) e N = 2*raiz(2), de forma que m
= 2 e n = 8. Seja agora P(x) um polinômio com raiz M + N = 3*raiz(2).
Basta tomar P(x) = x^2 - 18. Para este polinômio, -(M+N) também é
raíz, mas nem M-N nem -(M-N) são.
Para ser verdade, você precisa que M e N sejam racionalmente
independentes, o que é (quase) o que você quer mostrar no teorema...
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Produto de cossenos
2014-08-07 18:28 GMT-03:00 Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com: Boa noite a todos. Gostaria de uma ajuda. Para calcular o produto cos1º.cos2ºcos45º é possível utilizar complexos assim: (e^i).(e^2i)...(e^45i) = e^(1+2+...45)i e tomar a parte real? Não. Veja que nem com apenas dois ângulos de 60° isso dá certo... cos(60°) = 1/2 cos(60°)^2 = 1/4 Re(e^(60°+60°)i) = Re(e^120°i) = cos(120°) = -1/2 Eu imagino que foi isso que você quis dizer com tomar a parte real, porque a interpretação literal, ou seja, sem usar os ° para converter, ia dar errado já para UM ângulo, afinal, cos(45°) = exp (45 * (pi/180) * i) != Re(exp(45i)) Obrigado -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Produto de cossenos
Sim. Queria um outra solução sem o algebrismo puramente trigonométrico. Muito obrigado, Bernardo. Em 08/08/2014 00:38, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2014-08-07 18:28 GMT-03:00 Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com: Boa noite a todos. Gostaria de uma ajuda. Para calcular o produto cos1º.cos2ºcos45º é possível utilizar complexos assim: (e^i).(e^2i)...(e^45i) = e^(1+2+...45)i e tomar a parte real? Não. Veja que nem com apenas dois ângulos de 60° isso dá certo... cos(60°) = 1/2 cos(60°)^2 = 1/4 Re(e^(60°+60°)i) = Re(e^120°i) = cos(120°) = -1/2 Eu imagino que foi isso que você quis dizer com tomar a parte real, porque a interpretação literal, ou seja, sem usar os ° para converter, ia dar errado já para UM ângulo, afinal, cos(45°) = exp (45 * (pi/180) * i) != Re(exp(45i)) Obrigado -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Produto de cossenos
1/(2^44sen1) 2014-08-08 1:43 GMT-03:00 Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com: Sim. Queria um outra solução sem o algebrismo puramente trigonométrico. Muito obrigado, Bernardo. Em 08/08/2014 00:38, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2014-08-07 18:28 GMT-03:00 Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com: Boa noite a todos. Gostaria de uma ajuda. Para calcular o produto cos1º.cos2ºcos45º é possível utilizar complexos assim: (e^i).(e^2i)...(e^45i) = e^(1+2+...45)i e tomar a parte real? Não. Veja que nem com apenas dois ângulos de 60° isso dá certo... cos(60°) = 1/2 cos(60°)^2 = 1/4 Re(e^(60°+60°)i) = Re(e^120°i) = cos(120°) = -1/2 Eu imagino que foi isso que você quis dizer com tomar a parte real, porque a interpretação literal, ou seja, sem usar os ° para converter, ia dar errado já para UM ângulo, afinal, cos(45°) = exp (45 * (pi/180) * i) != Re(exp(45i)) Obrigado -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
