[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fórmula de Moivre
Interessante que a fórmula dr Moivre vale para todo complexo z, embora tenha mais importância para z real. Em qua, 29 de ago de 2018 19:37, Claudio Buffara escreveu: > Eu acho que dá pra deduzir a fórmula de DeMoivre com base na definição da > exponencial complexa via a extensão da série de Taylor pro domínio complexo: > e^z = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + ... > Com z = ix (x real) e as séries de Taylor (em R) de sen e cos você acha > e^(ix) = cos(x) + i*sen(x). > (e todas as manipulações com séries são válidas já que elas convergem > absolutamente e uniformemente em compactos) > Com a ajuda do teorema do binômio, você prova que e^(z+w) = e^z*e^w e, > portanto (usando indução), que e^(nz) = (e^z)^n. > Finalmente, pondo z = ix (x real), você chega à fórmula de DeMoivre. > > De resto, concordo com o Antonio Carlos: o princípio da indução está na > base da matemática. É a propriedade essencial do conjunto dos números > naturais. Assim, o não-uso deliberado de indução não me parece produtivo. > Além disso, a capacidade de raciocinar recursivamente é importante pra > quem quer resolver problemas matemáticos (por exemplo, em combinatória e > teoria dos grafos) e tecnológicos (especialmente em computação). > > Dito isso, estou curioso pra ver uma demonstração não indutiva da fórmula > de DeMoivre. > > []s, > Claudio. > > > On Wed, Aug 29, 2018 at 6:49 PM Antonio Carlos > wrote: > >> Usando a fórmula de Euler para z = r(cosx + i senx), temos z = re^(ix) e >> pela propriedade de multiplicação de exponenciais complexas z^n = >> r^ne^(inx). >> >> Para r = 1, temos z^n = (cosx + i senx)^n = e^(inx) = cos(nx) + i >> sen(nx), que é a fórmula de Moivre. >> >> Uma ressalva: a terceira igualdade que exibi se prova indutivamente >> utilizando a propriedade mencionada de exponenciais complexas. Eu não >> conheço outra prova disto sem usar indução e certamente uma prova >> alternativa deve usar implicitamente resultados provados indutivamente. Mas >> o argumento indutivo está implícito em praticamente toda teoria matemática >> (a única exceção "clássica" é a teoria axiomática de conjuntos, da qual >> derivamos o teorema da indução). A igualdade que usei apenas permite deixar >> o argumento indutivo implícito na demonstração da formula de Moivre. >> >> Abraços! >> >> On Wed, Aug 29, 2018, 18:09 Marcelo de Moura Costa >> wrote: >> >>> Gostaria de ver sua solução. >>> >>> Em qua, 29 de ago de 2018 16:54, Israel Meireles Chrisostomo < >>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: >>> Alguém ai conhece uma forma de se provar a fórmula de moivre sem usar derivadas, limites, integrais ou indução?Eu tenho uma, mas não sei se a forma que eu fiz realmente é a mais elegante. -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fórmula de Moivre
Eu acho que dá pra deduzir a fórmula de DeMoivre com base na definição da exponencial complexa via a extensão da série de Taylor pro domínio complexo: e^z = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + ... Com z = ix (x real) e as séries de Taylor (em R) de sen e cos você acha e^(ix) = cos(x) + i*sen(x). (e todas as manipulações com séries são válidas já que elas convergem absolutamente e uniformemente em compactos) Com a ajuda do teorema do binômio, você prova que e^(z+w) = e^z*e^w e, portanto (usando indução), que e^(nz) = (e^z)^n. Finalmente, pondo z = ix (x real), você chega à fórmula de DeMoivre. De resto, concordo com o Antonio Carlos: o princípio da indução está na base da matemática. É a propriedade essencial do conjunto dos números naturais. Assim, o não-uso deliberado de indução não me parece produtivo. Além disso, a capacidade de raciocinar recursivamente é importante pra quem quer resolver problemas matemáticos (por exemplo, em combinatória e teoria dos grafos) e tecnológicos (especialmente em computação). Dito isso, estou curioso pra ver uma demonstração não indutiva da fórmula de DeMoivre. []s, Claudio. On Wed, Aug 29, 2018 at 6:49 PM Antonio Carlos wrote: > Usando a fórmula de Euler para z = r(cosx + i senx), temos z = re^(ix) e > pela propriedade de multiplicação de exponenciais complexas z^n = > r^ne^(inx). > > Para r = 1, temos z^n = (cosx + i senx)^n = e^(inx) = cos(nx) + i sen(nx), > que é a fórmula de Moivre. > > Uma ressalva: a terceira igualdade que exibi se prova indutivamente > utilizando a propriedade mencionada de exponenciais complexas. Eu não > conheço outra prova disto sem usar indução e certamente uma prova > alternativa deve usar implicitamente resultados provados indutivamente. Mas > o argumento indutivo está implícito em praticamente toda teoria matemática > (a única exceção "clássica" é a teoria axiomática de conjuntos, da qual > derivamos o teorema da indução). A igualdade que usei apenas permite deixar > o argumento indutivo implícito na demonstração da formula de Moivre. > > Abraços! > > On Wed, Aug 29, 2018, 18:09 Marcelo de Moura Costa > wrote: > >> Gostaria de ver sua solução. >> >> Em qua, 29 de ago de 2018 16:54, Israel Meireles Chrisostomo < >> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: >> >>> Alguém ai conhece uma forma de se provar a fórmula de moivre sem usar >>> derivadas, limites, integrais ou indução?Eu tenho uma, mas não sei se a >>> forma que eu fiz realmente é a mais elegante. >>> >>> -- >>> Israel Meireles Chrisostomo >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fórmula de Moivre
Usando a fórmula de Euler para z = r(cosx + i senx), temos z = re^(ix) e pela propriedade de multiplicação de exponenciais complexas z^n = r^ne^(inx). Para r = 1, temos z^n = (cosx + i senx)^n = e^(inx) = cos(nx) + i sen(nx), que é a fórmula de Moivre. Uma ressalva: a terceira igualdade que exibi se prova indutivamente utilizando a propriedade mencionada de exponenciais complexas. Eu não conheço outra prova disto sem usar indução e certamente uma prova alternativa deve usar implicitamente resultados provados indutivamente. Mas o argumento indutivo está implícito em praticamente toda teoria matemática (a única exceção "clássica" é a teoria axiomática de conjuntos, da qual derivamos o teorema da indução). A igualdade que usei apenas permite deixar o argumento indutivo implícito na demonstração da formula de Moivre. Abraços! On Wed, Aug 29, 2018, 18:09 Marcelo de Moura Costa wrote: > Gostaria de ver sua solução. > > Em qua, 29 de ago de 2018 16:54, Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > >> Alguém ai conhece uma forma de se provar a fórmula de moivre sem usar >> derivadas, limites, integrais ou indução?Eu tenho uma, mas não sei se a >> forma que eu fiz realmente é a mais elegante. >> >> -- >> Israel Meireles Chrisostomo >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Fórmula de Moivre
Gostaria de ver sua solução. Em qua, 29 de ago de 2018 16:54, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > Alguém ai conhece uma forma de se provar a fórmula de moivre sem usar > derivadas, limites, integrais ou indução?Eu tenho uma, mas não sei se a > forma que eu fiz realmente é a mais elegante. > > -- > Israel Meireles Chrisostomo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica
Este problema já foi proposto e resolvido nesta lista. []s, Claudio. On Wed, Aug 29, 2018 at 3:57 PM Artur Steiner wrote: > Suponhamos que f: R ---> R seja contínua, periódica e não constante. > Mostre que g(x) = f(x^2) não é periódica Eu já vi isto em outros fóruns. > Muitas vezes mostram que se p é período fundamental de f, então p não é > período de g. Mas isto não basta. > > Artur Costa Steiner > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fórmula de Moivre
Para esse fato específico não é necessário recorrer explicitamente a limites. O que quero dizer com explicitamente é que, por exemplo, não se poderia, então, falar nem sequer em números reais, pois são construídos a partir de limites. E números complexos são construídos a partir de reais. E por aí vai. Abraços. On Wed, Aug 29, 2018, 17:40 Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> wrote: > Olá, primeiramente agradeço pelo seu interesse em responder.Só que tem um > detalhe, quando se fala em exponenciais complexas não há como não falar em > limites. > Abraços > > Em qua, 29 de ago de 2018 às 17:24, Antonio Carlos > escreveu: > >> Sai pela fórmula de Euler e^(ix) := cosx + i senx e a propriedade desta >> com potências inteiras: >> >> (e^(ix))^n = e^(inx) >> >> Basta escrever a definição da fórmula na igualdade acima. >> >> On Wed, Aug 29, 2018, 16:54 Israel Meireles Chrisostomo < >> israelmchrisost...@gmail.com> wrote: >> >>> Alguém ai conhece uma forma de se provar a fórmula de moivre sem usar >>> derivadas, limites, integrais ou indução?Eu tenho uma, mas não sei se a >>> forma que eu fiz realmente é a mais elegante. >>> >>> -- >>> Israel Meireles Chrisostomo >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Israel Meireles Chrisostomo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fórmula de Moivre
Olá, primeiramente agradeço pelo seu interesse em responder.Só que tem um detalhe, quando se fala em exponenciais complexas não há como não falar em limites. Abraços Em qua, 29 de ago de 2018 às 17:24, Antonio Carlos escreveu: > Sai pela fórmula de Euler e^(ix) := cosx + i senx e a propriedade desta > com potências inteiras: > > (e^(ix))^n = e^(inx) > > Basta escrever a definição da fórmula na igualdade acima. > > On Wed, Aug 29, 2018, 16:54 Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com> wrote: > >> Alguém ai conhece uma forma de se provar a fórmula de moivre sem usar >> derivadas, limites, integrais ou indução?Eu tenho uma, mas não sei se a >> forma que eu fiz realmente é a mais elegante. >> >> -- >> Israel Meireles Chrisostomo >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Fórmula de Moivre
Sai pela fórmula de Euler e^(ix) := cosx + i senx e a propriedade desta com potências inteiras: (e^(ix))^n = e^(inx) Basta escrever a definição da fórmula na igualdade acima. On Wed, Aug 29, 2018, 16:54 Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> wrote: > Alguém ai conhece uma forma de se provar a fórmula de moivre sem usar > derivadas, limites, integrais ou indução?Eu tenho uma, mas não sei se a > forma que eu fiz realmente é a mais elegante. > > -- > Israel Meireles Chrisostomo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Fórmula de Moivre
Alguém ai conhece uma forma de se provar a fórmula de moivre sem usar derivadas, limites, integrais ou indução?Eu tenho uma, mas não sei se a forma que eu fiz realmente é a mais elegante. -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Função não periódica
Suponhamos que f: R ---> R seja contínua, periódica e não constante. Mostre que g(x) = f(x^2) não é periódica Eu já vi isto em outros fóruns. Muitas vezes mostram que se p é período fundamental de f, então p não é período de g. Mas isto não basta. Artur Costa Steiner -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Produtos de Termos em PA
Obrigado a todos! Eu vou verificar se houve um erro de escrita. Provavelmente existe uma inconsistência mesmo. Legal essa propriedade da soma dos inversos dos produtos. Um abraço Kevin Kühl On 29 Aug 2018 11:50 -0300, Claudio Buffara , wrote: > A soma que você quer talvez seja a dos inversos dos produtos de termos > consecutivos. > Numa PA a1, a2, ..., an, vale: > 1/(a1*a2) + 1/(a2*a3) + ... + 1/(a(n-1)*an) = (n-1)/(a1*an). > > E vale também a recíproca: se uma sequência (a1, a2, a3, ...) é tal que para > todo n>=3 vale a igualdade acima, então a sequência é uma PA. > > []s, > Claudio. > > > > > On Wed, Aug 29, 2018 at 9:28 AM Kevin Felipe Kuhl Oliveira > > wrote: > > > Bom dia, vocês já viram o seguinte problema? > > > > > > Sejam a1, a2, a3, ..., an termos consecutivos, não nulos, de uma PA, > > > nessa ordem. Mostre que > > > > > > (a1*a2) + (a2*a3) + ... + (a(n-1)*an) = (n-1)(a1*an) > > > > > > Na minha resposta aparece um termo com r^2 ao final, então não consigo > > > provar. Se alguém puder ajudar, agradeço. > > > > > > Um abraço > > > > > > Kevin Kühl > > > > > > -- > > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Sair da lista
Sugiro a leitura desse link com informações sobre a lista e procedimentos para inscrição e desinscrição: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html Em particular o último parágrafo: "Nunca escrevam para obm-l[image: AT]mat.puc-rio.br pedindo ajuda para inscrever-se ou desinscrever-se" Att, Rodrigo On Wed, Aug 29, 2018 at 11:22 AM Lucas Melo wrote: > Também gostaria que me retirassem da lista da OBM > Att > > Sent from my iPhone > > On 21 Aug 2018, at 18:11, rodrigo pires de araújo < > rodrigopo...@hotmail.com> wrote: > > Gostaria que retirassem meu nome da lista da OBM. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Sair da lista
Gostaria de sair da lista. Obg Em qua, 29 de ago de 2018 11:22, Lucas Melo escreveu: > Também gostaria que me retirassem da lista da OBM > Att > > Sent from my iPhone > > On 21 Aug 2018, at 18:11, rodrigo pires de araújo < > rodrigopo...@hotmail.com> wrote: > > Gostaria que retirassem meu nome da lista da OBM. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Sair da lista
Também gostaria que me retirassem da lista da OBM Att Sent from my iPhone > On 21 Aug 2018, at 18:11, rodrigo pires de araújo > wrote: > > Gostaria que retirassem meu nome da lista da OBM. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Produtos de Termos em PA
A soma que você quer talvez seja a dos inversos dos produtos de termos consecutivos. Numa PA a1, a2, ..., an, vale: 1/(a1*a2) + 1/(a2*a3) + ... + 1/(a(n-1)*an) = (n-1)/(a1*an). E vale também a recíproca: se uma sequência (a1, a2, a3, ...) é tal que para todo n>=3 vale a igualdade acima, então a sequência é uma PA. []s, Claudio. On Wed, Aug 29, 2018 at 9:28 AM Kevin Felipe Kuhl Oliveira < kevin_k...@usp.br> wrote: > Bom dia, vocês já viram o seguinte problema? > > Sejam a1, a2, a3, ..., an termos consecutivos, não nulos, de uma PA, nessa > ordem. Mostre que > > (a1*a2) + (a2*a3) + ... + (a(n-1)*an) = (n-1)(a1*an) > > Na minha resposta aparece um termo com r^2 ao final, então não consigo > provar. Se alguém puder ajudar, agradeço. > > Um abraço > > Kevin Kühl > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Produtos de Termos em PA
Isso não é verdade. Se n 3, a1 = 1, a2= 2, a3 = 3 então a1 a2 + a2 a3 = 8 (n - 1) a1 an = 6 Não seria 2/(a1 a2) ... + 1/(a(n -1) an) = (n -1)/(a1 an)? Isso é verdade. Artur Costa Steiner Em qua, 29 de ago de 2018 09:28, Kevin Felipe Kuhl Oliveira < kevin_k...@usp.br> escreveu: > Bom dia, vocês já viram o seguinte problema? > > Sejam a1, a2, a3, ..., an termos consecutivos, não nulos, de uma PA, nessa > ordem. Mostre que > > (a1*a2) + (a2*a3) + ... + (a(n-1)*an) = (n-1)(a1*an) > > Na minha resposta aparece um termo com r^2 ao final, então não consigo > provar. Se alguém puder ajudar, agradeço. > > Um abraço > > Kevin Kühl > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Produtos de Termos em PA
Tá certo isso? Tome a PA (1,2,3,4) a1 = 1, an = n = 4 soma = 1*2 + 2*3 + 3*4 = 2 + 6 + 12 = 20. Mas (n-1)*a1*an = 3*1*4 = 12. On Wed, Aug 29, 2018 at 9:38 AM Claudio Buffara wrote: > an = a1 + (n-1)r ==> r = (an - a1)/(n-1) ==> r^2 = (an - a1)^2/(n-1)^2. > Use esta expressão pra r^2. Com alguma álgebra você deve chegar lá. > > > On Wed, Aug 29, 2018 at 9:28 AM Kevin Felipe Kuhl Oliveira < > kevin_k...@usp.br> wrote: > >> Bom dia, vocês já viram o seguinte problema? >> >> Sejam a1, a2, a3, ..., an termos consecutivos, não nulos, de uma PA, >> nessa ordem. Mostre que >> >> (a1*a2) + (a2*a3) + ... + (a(n-1)*an) = (n-1)(a1*an) >> >> Na minha resposta aparece um termo com r^2 ao final, então não consigo >> provar. Se alguém puder ajudar, agradeço. >> >> Um abraço >> >> Kevin Kühl >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Produtos de Termos em PA
an = a1 + (n-1)r ==> r = (an - a1)/(n-1) ==> r^2 = (an - a1)^2/(n-1)^2. Use esta expressão pra r^2. Com alguma álgebra você deve chegar lá. On Wed, Aug 29, 2018 at 9:28 AM Kevin Felipe Kuhl Oliveira < kevin_k...@usp.br> wrote: > Bom dia, vocês já viram o seguinte problema? > > Sejam a1, a2, a3, ..., an termos consecutivos, não nulos, de uma PA, nessa > ordem. Mostre que > > (a1*a2) + (a2*a3) + ... + (a(n-1)*an) = (n-1)(a1*an) > > Na minha resposta aparece um termo com r^2 ao final, então não consigo > provar. Se alguém puder ajudar, agradeço. > > Um abraço > > Kevin Kühl > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sugestão em uma integral
Eu simplesmente comparei com a série de Taylor de arctan(x), que converge em [-1,1] (logo, em [0,1]) e é obtida por integração de 1/(1+x^2). 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ... converge uniformemente pra 1/(1+x^2) em todo sub-intervalo compacto de (-1,1). Mas pra x = 1, a série diverge e a justificativa pra integrabilidade é que o resto da série geométrica de razão -x^2 (igual a (-1)^n*x^(2n)/(1+x^2) ) é integrável em [0,1] e a o valor absoluto da integral é dominado por Integral(0...1) x^(2n)*dx = 1/(2n+1) que tende a zero quando n -> +infinito. Mas Integral(0...x) (-1)^n*u^(2n)*du/(1+u^2) é justamente o resto da série de Taylor de arctan(x), para x em [0,1]. Tem um teorema, devido a Abel, que diz que se uma série de potências f(x) = SOMA(n>=0) a_n*x^n converge em (-1,1) e se a série numérica SOMA(n>=0) a_n converge pra L, então lim(x -> 1-) f(x) = L. É o caso da série de arctg(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ..., que converge justamente pra pi/4, quando x =1. A demonstração usa soma por partes e pode ser encontrada aqui: http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/analysis/abelthm.pdf. Mas, pra mim, a grande sacada deste problema foi a sua dica, de que a transformação x =1/t transforma Integral(0...+inf) log(x)*dx/(1+x^2) em Integral(+inf...0) log(t)*dt/(1+t^2) (ou seja, simplesmente inverte os limites de integração), de modo que a integral é igual a zero. Isso não é óbvio de antemão. []s, Claudio. On Wed, Aug 29, 2018 at 2:18 AM Artur Steiner wrote: > Esta sua solução por séries é bem interessante. Valeu! A justificativa > para transformar a integral de uma série em uma série dr integrais é > convergência uniforme da série, certo? > > Eu prnsei numa solução baseada em I1(a) = Int(0, inf) dx/(x^2 + a), a > 0. > Fazendo x = 1/t demonstramos que I1(1) = 0. Depois, fazendo x = at, vamos > cair numa integral que dá arctan e deduzimos que > > I1(a) = (Pi log(a))/(4raiz(a)), a > 0 > > Sendo I2(a) = Int(0, inf) dx/(x^2 + a)^2, vemos que o integrando de I2(a) > é -d/da 1/(x^2 + a), o simétrico da derivada parcial com relaçâo a a do > integrando de I1(a). Para a >= 1, o valor absoluto desta derivada é > dominado em (0, inf) pela função de x > > f(x) = log(x)/(x^2 + 1), x em (0, 1], que já vimos ser integrável neste > intervalo > > f(x) = log(x)/x^2, x em (1, inf). Uma simples integração por partes mostra > que este ramo de f é integrável em (1, inf). > > Assim, para a >= 1, f domina o integrando de I2(a) em (0, inf) e é > integrável no mesmo. Segundo um teorema da Análise (egresso da Teoria da > Medida), isto nos possibilita diferenciar sob o sinal de integral para > concluir que > > I2(a) = -d/da I1(a). > > Isto nos leva a que > > I2(a) = Pi/8 (log(a) - 2) a^(-3/2), a >= 1 > > Não sei se esta fórmula vale em (0, 1). Acho que não. > > Fazendo a = 1, obtemos I2(1) = -Pi/4 > > Mas se o objetivo for só determinar I2(1), parece que usei guindaste pra > levantar uma caixa de fósforos. > > Acho que a sugestão do tal Phd (um francês) não era o que eu fiz. > > Artur Costa Steiner > > Em ter, 28 de ago de 2018 21:34, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> x = 1/t ==> Integral(1...+inf) log(x)*dx/(1+x^2)^2 = Integral(0...1) >> t^2*log(t)*dt/(1+t^2)^2 >> >> Assim, >> Integral(0...+inf) log(x)*dx/(1+x^2)^2 = >> Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2)^2 + Integral(1...+inf) >> log(x)*dx/(1+x^2)^2 = >> Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2)^2 + Integral(0...1) >> x^2*log(x)*dx/(1+x^2)^2 = >> Integral(0...1) (log(x)/(1+x^2)^2 + x^2*log(x)/(1+x^2)^2)*dx = >> Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2) = >> Integral(0...1) log(x)*(1 - x^2 + x^4 - x^6 + ...)*dx >> >> A primitiva de x^n*log(x) é x^(n+1)/(n+1)*(log(x) - 1/(n+1)) + C >> >> Logo, Integral(0...1) x^n*log(x)*dx = -1/(n+1)^2 ==> >> Integral(0...1) log(x)*(1 - x^2 + x^4 - x^6 + ...)*dx = >> -1 + 1/3^2 - 1/5^2 + 1/7^2 - ... = >> -(1 - 1/3^2 + 1/5^2 - 1/7^2 + ...) >> >> A série entre parênteses não parece ter soma Pi/4, mas é muito provável >> que eu tenha errado alguma conta. >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> >> >> On Tue, Aug 28, 2018 at 4:55 PM Artur Steiner < >> artur.costa.stei...@gmail.com> wrote: >> >>> Ha algum tempo vi uma discussão sobre a integral >>> >>> Int (-oo a oo) ln(x)/(x^2 + 1)^2 dx >>> >>> Um Phd em matemática disse que a resolução fica bem mais simples se >>> considerarmos que (-oo a oo) ln(x)/(x^2 + 1) dx = 0. Este fato não é >>> difícil de mostrar. Parcelando a segunda integral na soma de uma de (-oo a >>> 1] com outra de [1 a oo) e fazendo x = 1/t em uma delas, concluimos que a >>> integral é nula. >>> >>> Mas não vejo como esta informação possa ser utilizada na resolução da >>> 1a.? Não vi o argumento do Phd. >>> >>> Alguém tem alguma sugestão? A resposta é -pi/4. >>> >>> Artur Costa Steiner >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi
[obm-l] Soma de Produtos de Termos em PA
Bom dia, vocês já viram o seguinte problema? Sejam a1, a2, a3, ..., an termos consecutivos, não nulos, de uma PA, nessa ordem. Mostre que (a1*a2) + (a2*a3) + ... + (a(n-1)*an) = (n-1)(a1*an) Na minha resposta aparece um termo com r^2 ao final, então não consigo provar. Se alguém puder ajudar, agradeço. Um abraço Kevin Kühl -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
