Re: [obm-l] Polinomios

[Pedro Angelo]

Provar que não tem *mais* do que n raízes é elementar.

Lema: Se P(x) é um polinômio de grau N, e 'a' é uma raíz de P(x), então
P(x) = (x-a)*Q(x), onde Q(x) é um polinômio de grau N-1.
Demonstração: Monte um sistema linear (N+1)xN para descobrir quais devem
ser os coeficientes do polinômio Q em função de 'a' e dos coeficientes de
P. Você vai descobrir que:
q_{N-1} = p_N
q_{N-2} = p_{N-1} + a*p_N
...
q_0 = p_1 + a*p_2 + ... + a^{N-1}*p_N
-a*q_0 = p_0
Usando o fato de que P(a)=0, ou seja, p_0 + a*p_1 + ... + a^N*p_N = 0, você
vai descobrir que esse sistema tem exatamente 1 solução. Mais do que isso:
observando bem, você repara que o coeficiente do termo de maior grau de Q é
igual ao coeficiente do termo de maior grau de P.

Imagine agora que o polinômio P(x) de grau N tem N raízes distintas a_1,
..., a_N. Bom, então, para começar:
P(x) = (x - a_1)*Q(x).
Como a_2 também é raíz de P:
0 = P(a_2) = (a_2 - a_1)*Q(a_2)
Como (a_2 - a_1) é diferente de zero (as raízes são distintas), segue que
Q(a_2), ou seja, a_2 é raíz de Q(x), e portanto Q(x) pode ser fatorado em
(x-a_2) vezes um polinômio R(x) de grau N-2, e portanto:
P(x) = (x - a_1) * (x - a_2) * R(x)
Seguindo com esse raciocínio até o final, escrevemos:
P(x) = (x - a_1) * ... * (x - a_N) * A
onde A, uma constante, é o polinômio de grau zero que sobrou. Como o
coeficiente do termo de maior grau de Q é igual ao de P, e o de R é igual
ao de Q, então o de R é igual ao de P. Continuando, descobrimos que a
constante A é simplesmente o coeficiente do termo de maior grau do
polinômio original P.

Conclusão: se o polinômio P(x) = p_N*x^N + ... + p_1*x + p_0, tem N raízes
distintas: a_1, ..., a_N, então ele pode ser fatorado da seguinte forma:
P(x) = (x - a_1) * ... * (x - a_N) * p_N.
Bom, dado qualquer 'x' que não seja nenhuma das raízes a_1, ..., a_N, os
fatores (x - a_j) serão todos não-nulos, e portanto P(x) será não-nulo, ou
seja, 'x' não será uma raíz de P. Ou seja, se você encontrar N raízes
distintas para um polinômio de grau N, essas raízes são as únicas.


Le ven. 25 oct. 2019 à 20:55, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> a écrit :

>
> Alguém conhece um material ou mesmo a prova do teorema que diz todo
> polinômio de grau n não tem mais que n raízes reais?
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avg.com
> .
> <#m_8824745352040677824_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Polinomios

[Israel Meireles Chrisostomo]

Alguém conhece um material ou mesmo a prova do teorema que diz todo
polinômio de grau n não tem mais que n raízes reais?
-- 
Israel Meireles Chrisostomo


Livre
de vírus. www.avg.com
.
<#DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: Problema 19 da OMDF de 2018.

[Daniel Jelin]

Ops, corrigindo, cos x é BP/l, não sobre 2. Abs
Em 25/10/2019 14:30, "Daniel Jelin"  escreveu:

> Uma solução alternativa nos reais, gente, aqui da minha turma do mestrado.
> Seja l o lado do triângulo. Seja x o ângulo APB. PAB é 90-x. PAQ é x-60.
> Cos(x)=BP/2. Sen (x) = a/l. Cos (x-60)=b/l. Resolvendo a diferença de
> arcos, temos BP=2b-3^1/2*a. Abs
> Em 25/10/2019 12:29, "Prof. Douglas Oliveira" <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Vamos fazer por complexos.
>>
>> 1) Coloque os eixos real e imaginário com origem no vértice A.
>>
>> 2) Chame de z1 o complexo AP  e de z2 o complexo AQ.
>>
>> 3)Faca uma rotação de 60 graus, z1cis(60)=z2.
>>
>> 4) Igualando as partes real e imaginaria teremos para resposta 2b-a3^(1/2)
>>
>> Abraço
>> ProfDouglasOliveira
>>
>> Em qui, 24 de out de 2019 23:44, Guilherme Abbehusen <
>> gui.abbehuse...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Aliás, esqueci de avisar que a resposta deve ser em função de a e b. As
>>> alternativas seriam: A) 2a - b*3^1/2B) a - 2b*3^1/2 C) 3b -
>>> a*3^1/2D) 2b - a*3^1/2 E) b - a*3^1/2
>>>
>>>
>>> Em qui, 24 de out de 2019 às 23:06, Guilherme Abbehusen <
>>> gui.abbehuse...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Olá, alguém poderia me ajudar com essa questão?

 Azambuja tem uma folha retangular ABCD de dimensões AB = a e BC = b ,
 na qual quer efetuar três cortes para obter um triângulo equilátero.
 Portanto, escolhe o ponto P sobre BC e o ponto Q sobre CD, obtendo o
 triângulo equilátero APQ. Qual é o comprimento do segmento BP?

 Agradeço desde já.

>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: Problema 19 da OMDF de 2018.

[Daniel Jelin]

Uma solução alternativa nos reais, gente, aqui da minha turma do mestrado.
Seja l o lado do triângulo. Seja x o ângulo APB. PAB é 90-x. PAQ é x-60.
Cos(x)=BP/2. Sen (x) = a/l. Cos (x-60)=b/l. Resolvendo a diferença de
arcos, temos BP=2b-3^1/2*a. Abs
Em 25/10/2019 12:29, "Prof. Douglas Oliveira" 
escreveu:

> Vamos fazer por complexos.
>
> 1) Coloque os eixos real e imaginário com origem no vértice A.
>
> 2) Chame de z1 o complexo AP  e de z2 o complexo AQ.
>
> 3)Faca uma rotação de 60 graus, z1cis(60)=z2.
>
> 4) Igualando as partes real e imaginaria teremos para resposta 2b-a3^(1/2)
>
> Abraço
> ProfDouglasOliveira
>
> Em qui, 24 de out de 2019 23:44, Guilherme Abbehusen <
> gui.abbehuse...@gmail.com> escreveu:
>
>> Aliás, esqueci de avisar que a resposta deve ser em função de a e b. As
>> alternativas seriam: A) 2a - b*3^1/2B) a - 2b*3^1/2 C) 3b -
>> a*3^1/2D) 2b - a*3^1/2 E) b - a*3^1/2
>>
>>
>> Em qui, 24 de out de 2019 às 23:06, Guilherme Abbehusen <
>> gui.abbehuse...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Olá, alguém poderia me ajudar com essa questão?
>>>
>>> Azambuja tem uma folha retangular ABCD de dimensões AB = a e BC = b , na
>>> qual quer efetuar três cortes para obter um triângulo equilátero. Portanto,
>>> escolhe o ponto P sobre BC e o ponto Q sobre CD, obtendo o triângulo
>>> equilátero APQ. Qual é o comprimento do segmento BP?
>>>
>>> Agradeço desde já.
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência

[Pedro José]

 Boa tarde!
Primeiramente, temos que considerar k positivo.
Depois temos que calcular  ord19 10
Mas ord19 10 | Fi(19)=18 então os possíveis valores são: 1, 2, 3, 6, 9 ,18.
Pois, ord19 10| Fi(19)
10^1=10; 1 não atente
10^2= 100= 5 mod19; 2 não atende
10^3= 5*10= 12 mod 19; 3 não atende
10^6= (10^3)^2= 144= 11 mod19, 6 não atende
10^9=10^3*10^6=132= 18 mod19; 9 não atende. Portanto, ord19 10=Fi(19)=18,
ou seja, 10 é uma raiz primitiva  mod19.
se 10^ko =2 ==>10^(ko+n* ord19 10)= 2
Mas 2.10= 1 mod19 ==> Portanto, 10^18=2*10 mod 19; e (19,10)=1, temos que
10^17=2 mod 19; portanto k=17 é o primeira solução positiva.
Pois, se existisse um k< 17, com 10^k=2, teríamos que 10^(k+1)=1 com k+1
<18 = ord19 10, absurdo.
Então a primeira é para k=17
E as seguintes, 35 e 53.
Note que foi necessário restringir k como positivo, pois, 10^-1, 10^-19,
10^-37, 10^-55... são soluções
Não sei se ficou claro, mas se houvesse um período p menor que 18 = ord19
10. 10^xo =10^(xo+p) mod19, teríamos 10^p=1 mod19, com p< 18 = ord19 1;
absurdo.
Saudações,
PJMS


Em sex, 25 de out de 2019 às 00:15, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Quais são as 3 primeiras soluções da congruência 10^k = = 2 (mod 19)?
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência

[Pedro José]

Boa tarde!
Primeiramente, temos que calcular  ord19 10 .
Mas ord19 10 | Fi(19)=18 então os possíveis valores são: 1, 2, 3, 6, 9 ,18
1 não atente
10^2= 100= 5 mod19; 2 não atende
10^3= 5*10= 12 mod 19; 3 não atende
10^6= 5*12 =

Em sex, 25 de out de 2019 às 00:15, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Quais são as 3 primeiras soluções da congruência 10^k = = 2 (mod 19)?
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: Problema 19 da OMDF de 2018.

[Claudio Buffara]

E qual a relação entre a e b para que o problema tenha solução?

Enviado do meu iPhone

> Em 25 de out de 2019, à(s) 12:29, Prof. Douglas Oliveira 
>  escreveu:
> 
> 
> Vamos fazer por complexos.
> 
> 1) Coloque os eixos real e imaginário com origem no vértice A.
> 
> 2) Chame de z1 o complexo APÂ  e de z2 o complexo AQ.
> 
> 3)Faca uma rotação de 60 graus, z1cis(60)=z2.
> 
> 4) Igualando as partes real e imaginaria teremos para resposta 2b-a3^(1/2)
> 
> Abraço 
> ProfDouglasOliveira
> 
> Em qui, 24 de out de 2019 23:44, Guilherme Abbehusen 
>  escreveu:
>> Aliás, esqueci de avisar que a resposta deve ser em função de a e b. As 
>> alternativas seriam: A) 2a - b*3^1/2Â  Â  B) a - 2b*3^1/2Â  Â  Â C) 3b - 
>> a*3^1/2Â  Â  D) 2b - a*3^1/2Â  Â  Â E) b - a*3^1/2
>> 
>> 
>> Em qui, 24 de out de 2019 Ã s 23:06, Guilherme Abbehusen 
>>  escreveu:
>>> Olá, alguém poderia me ajudar com essa questão?
>>> 
>>> Azambuja tem uma folha retangular ABCD de dimensões AB = a e BC = b , na 
>>> qual quer efetuar três cortes para obter um triângulo equilátero. 
>>> Portanto, escolhe o ponto P sobre BC e o ponto Q sobre CD, obtendo o 
>>> triângulo equilátero APQ. Qual é o comprimento do segmento BP?
>>> 
>>> Agradeço desde já.
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: Problema 19 da OMDF de 2018.

[Prof. Douglas Oliveira]

Vamos fazer por complexos.

1) Coloque os eixos real e imaginário com origem no vértice A.

2) Chame de z1 o complexo AP  e de z2 o complexo AQ.

3)Faca uma rotação de 60 graus, z1cis(60)=z2.

4) Igualando as partes real e imaginaria teremos para resposta 2b-a3^(1/2)

Abraço
ProfDouglasOliveira

Em qui, 24 de out de 2019 23:44, Guilherme Abbehusen <
gui.abbehuse...@gmail.com> escreveu:

> Aliás, esqueci de avisar que a resposta deve ser em função de a e b. As
> alternativas seriam: A) 2a - b*3^1/2B) a - 2b*3^1/2 C) 3b -
> a*3^1/2D) 2b - a*3^1/2 E) b - a*3^1/2
>
>
> Em qui, 24 de out de 2019 às 23:06, Guilherme Abbehusen <
> gui.abbehuse...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá, alguém poderia me ajudar com essa questão?
>>
>> Azambuja tem uma folha retangular ABCD de dimensões AB = a e BC = b , na
>> qual quer efetuar três cortes para obter um triângulo equilátero. Portanto,
>> escolhe o ponto P sobre BC e o ponto Q sobre CD, obtendo o triângulo
>> equilátero APQ. Qual é o comprimento do segmento BP?
>>
>> Agradeço desde já.
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.