[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em duas questões (Geometria plana e equação funcional)
Olá Douglas, boa noite! Professor, já fiz essa questão 2 e do jeito que resolvi, já fica meio que implícito que essas são as únicas soluções. Envia tua solução para que eu possa analisar, se possivel! Em sex, 13 de dez de 2019 21:05, Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > 1) Dado um triângulo equilátero ABC, e os segmentos internos de reta BS, > CT e AR tais que BS=CT=AR e além disso B, R, S estão alinhados, C, S, T > estão alinhados e A, T, R estão alinhados, mostre que o triângulo RST > também é equilátero. > > 2) Essa é a questão da (IMO shortlisted 2008) > . Find all functions f : (0, ∞) → (0, ∞) such that [(f(p))^2 + > (f(q))^2]/ f(r^2 ) + f(s^2 ) = (p^2 + q^2)/(r^2 + s^2) for all p, q, r, s > > 0 with pq = rs. > > Pois bem, a minha dúvida é , eu cheguei em duas soluções f(x)=x e > f(x)=1/x, e a minha pergunta seria , precisa mostrar que são as únicas > soluções? > > Saudações > Douglas Oliveira. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Ajuda em duas questões (Geometria plana e equação funcional)
1) Dado um triângulo equilátero ABC, e os segmentos internos de reta BS, CT e AR tais que BS=CT=AR e além disso B, R, S estão alinhados, C, S, T estão alinhados e A, T, R estão alinhados, mostre que o triângulo RST também é equilátero. 2) Essa é a questão da (IMO shortlisted 2008) . Find all functions f : (0, ∞) → (0, ∞) such that [(f(p))^2 + (f(q))^2]/ f(r^2 ) + f(s^2 ) = (p^2 + q^2)/(r^2 + s^2) for all p, q, r, s > 0 with pq = rs. Pois bem, a minha dúvida é , eu cheguei em duas soluções f(x)=x e f(x)=1/x, e a minha pergunta seria , precisa mostrar que são as únicas soluções? Saudações Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números
Em tese, nada impede... a == b (mod m) <==> (a - b)/m é inteiro.
Por exemplo, em trigonometria trabalha-se muito com congruência mod 2*pi.
sen x = sen y e cos x = cos y <==> x == y (mod 2*pi)
On Fri, Dec 13, 2019 at 3:54 PM Esdras Muniz
wrote:
> Existe congruência com números que não são inteiros?
>
> Em sex, 13 de dez de 2019 11:57, Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá caros amigos,
>> preciso de uma ajuda pra criar uma fórmula que seja congruente (módulo p)
>> ao somatório
>> S_a=sum{(a^k)/k}, com k de 1 a p-1, sendo p primo ímpar.
>>
>> Saudações
>> Douglas Oliveira
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números
Existe congruência com números que não são inteiros?
Em sex, 13 de dez de 2019 11:57, Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
> Olá caros amigos,
> preciso de uma ajuda pra criar uma fórmula que seja congruente (módulo p)
> ao somatório
> S_a=sum{(a^k)/k}, com k de 1 a p-1, sendo p primo ímpar.
>
> Saudações
> Douglas Oliveira
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l]
Vocês acham que Somas de Newton é uma boa saída ? Foi minha primeira ideia,
mas não consegui muita coisa.
Em sex, 13 de dez de 2019 10:35, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:
> On Fri, Dec 13, 2019 at 2:05 AM Pedro Angelo
> wrote:
> >
> > Fiz as contas (multiplicador de lagrange, parece muita conta mas é bem
> > fazível) e é isso mesmo. Se eu não errei nada, fica
> >
> > k = 1 / raíz[ n (n-1) ]
> >
> > e a resposta é que o máximo possível para a soma dos cubos é:
> >
> > (1 - 2/n) / (1 - 1/n)^(1/2)
> >
> > que curiosamente é uma função crescente de n. Não está definida para
> > n=1 (de fato, o problema {x=0, x^2=1} é impossível), vale zero para
> > n=2 (trivial de verificar diretamente), e tende a 1 à medida que n
> > cresce. Suponho que haja alguma lição interessante a ser aprendida
> > disso? Ou é só um monte de conta e ponto final? rsrsrs
>
> Bom, você pode imaginar algo sobre quão perto você consegue chegar dos
> eixos coordenados no plano x_1 + x_2 + ... + x_n = 0. E também
> lembrar que "a maior parte da esfera está no equador", então acaba
> ficando mais fácil conforme n aumenta. Outra coisa legal de pensar é
> comparar a norma 2 com a norma 3 (faça um desenho). É, eu sei, não
> tem módulo, mas acho que ainda pode dar uma ideia interessante.
>
> (E sim, Álgebra Linear em alta dimensão é muito legal, mas pode ser
> meio contra-intuitivo para os desenhos de dimensão 2 e 3 que a gente
> faz no quadro)
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Teoria dos números
Olá caros amigos,
preciso de uma ajuda pra criar uma fórmula que seja congruente (módulo p)
ao somatório
S_a=sum{(a^k)/k}, com k de 1 a p-1, sendo p primo ímpar.
Saudações
Douglas Oliveira
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l]
On Fri, Dec 13, 2019 at 2:05 AM Pedro Angelo wrote:
>
> Fiz as contas (multiplicador de lagrange, parece muita conta mas é bem
> fazível) e é isso mesmo. Se eu não errei nada, fica
>
> k = 1 / raíz[ n (n-1) ]
>
> e a resposta é que o máximo possível para a soma dos cubos é:
>
> (1 - 2/n) / (1 - 1/n)^(1/2)
>
> que curiosamente é uma função crescente de n. Não está definida para
> n=1 (de fato, o problema {x=0, x^2=1} é impossível), vale zero para
> n=2 (trivial de verificar diretamente), e tende a 1 à medida que n
> cresce. Suponho que haja alguma lição interessante a ser aprendida
> disso? Ou é só um monte de conta e ponto final? rsrsrs
Bom, você pode imaginar algo sobre quão perto você consegue chegar dos
eixos coordenados no plano x_1 + x_2 + ... + x_n = 0. E também
lembrar que "a maior parte da esfera está no equador", então acaba
ficando mais fácil conforme n aumenta. Outra coisa legal de pensar é
comparar a norma 2 com a norma 3 (faça um desenho). É, eu sei, não
tem módulo, mas acho que ainda pode dar uma ideia interessante.
(E sim, Álgebra Linear em alta dimensão é muito legal, mas pode ser
meio contra-intuitivo para os desenhos de dimensão 2 e 3 que a gente
faz no quadro)
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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