Re: [obm-l] Ajuda em Repunits
Se n não é divisível por 2 e nem por 5, então 1/n = 0,a1a2...ak a1a2...ak
a1... (dízima periódica simples de período k)
Daí (10^k)*n - n = a1a2...ak ==> (99...9)*n é inteiro (onde há k algarismos
9) ==> n é fator de 99...9 = 9*(11...1).
Mas n é primo com 3 ==> n | 11...1
Pra segunda parte, a ideia é tentar ver porque é verdade com exemplos
concretos.
Por exemplo, 1/7:
10*1 = 1*7 + 3
10*3 = 4*7 + 2
10*2 = 2*7 + 6
10*6 = 8*7 + 4
10*4 = 5*7 + 5
10*5 = 7*7 + 1
10*1 = 1*7 + 3 (e as equações se repetem a partir daqui)
1/13:
10*1 = 0*13 + 10
10*10 = 7*13 + 9
10*9 = 6*13 + 12
10*12 = 9*13 + 3
10*3 = 2*13 + 4
10*4 = 3*13 + 1
10*1 = 0*13 + 10 (idem)
Assim, no caso geral, pra calcular a representação de 1/n, as k primeiras
divisões sucessivas resultam em:
10*1 = a1*n + r1
10*r1 = a2*n + r2
10*r2 = a3*n + r3
...
10*r(k-1) = ak*n + rk
Como n é primo com 2 e 5, 1/n será uma dízima periódica simples, digamos de
período k.
Isso significa que rk, o resto da k-ésima divisão, será necessariamente
igual a 1, já que os dividendos (os algarismos aj que formam o período)
irão se repetir a partir da (k+1)-ésima equação.
Ou seja, a(k+1) = a1 e, portanto, r(k+1) = r1.
Somando as k equações, obtemos:
10*(1+r1+r2+ ...r(k-1)) = (a1+a2+a3...+ak)*n + (r1+r2+r3+...+rk).
Como rk = 1, isso fica:
10*(rk+r1+r2+ ...r(k-1)) = (a1+a2+a3...+ak)*n + (r1+r2+r3+...+rk) ==>
9*(rk+r2+...+r(k-1)) = (a1+a2+a3+...+ak)*n
Como n é primo com 3 (e, portanto, com 9), concluímos que n divide
r1+r2+...+rk.
On Sat, Jul 9, 2022 at 7:16 PM Rubens Vilhena Fonseca <
rubens.vilhen...@gmail.com> wrote:
> Gostaria de uma demonstração para o seguinte teorema.
> *Teorema*. Seja n um inteiro positivo não divisível por 2, 3 ou 5, e
> suponha que a expansão decimal de l/n tenha período k. Então n é um fator
> do inteiro 111 ... 11 (k 1 's). Além disso, a soma dos restos parciais na
> divisão obtida de cada fração irredutível x/n é um múltiplo de n.
> Comentário:
> Pelo que entendi, se 1/13 tem período k =6. Então 13 divide 11 ( k=6
> 1's).
> Essa parte consegui provar.
> Quanto à segunda parte para 1/13 os resto da divisão sem repetição são
> {10, 9, 12, 3, 4, 1}. Então 10+9+12+3+4+1= 13q . (Não soube provar)
> Não consigo organizar uma sequência de passos para a demonstração
> dos dois fatos.
> Agradeço qualquer ajuda.
> [[ ]]'s
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em Repunits
Argh, corrigindo um detalhe ali perto do fim:
-- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)**x**10^w = r*n.
Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5 *e x*, conclui-se que n divide
111 (com q 1's), e portanto q>=p=k.
On Sun, Jul 10, 2022 at 1:24 AM Ralph Costa Teixeira
wrote:
> A chave: *os "restos parciais" que aparecem são exatamente os restos que
> x, 10x, 100x, deixam na divisão por n.*
> ---///---
>
> MAIS SPOILERS ABAIXO
>
>
> ...
>
>
>
>
>
> ...
>
>
>
>
> Acho que facilita bastante pensar no "período" de 1/n de outro jeito:
> ---///---
> LEMA:
> (i) Dado n não divisível por 2 ou 5, existe algum número da forma
> 111...111 que é múltiplo de n.
> (ii) Se n não for divisível por 2, 3 ou 5, o *menor* número do tipo
> 111...111 que é múltiplo de n tem k dígitos, onde k é exatamente o tamanho
> do período (fundamental) da dízima em 1/n.
> PROVA:
>
> (i) Olhe os restos de 1, 11, 111, , ... na divisão por n. São n
> possibilidades, de 0 a n-1, então alguma hora algum resto tem que repetir.
> Isto significa que .. (com A dígitos) e 11...111 (com B dígitos,
> B ...1110 (A 1's e B 0's) = 111 * (10^B) é múltiplo de n. Mas
> n não tem fator comum com aquele 10^B (pois não é divisível por 2 nem por
> 5), portanto ...111 (com k=A-B dígitos) é divisível por n.
>
> (ii) Denote por P=111111 (com p dígitos) o menor daqueles caras com
> apenas "1s" que é múltiplo de n, e denote por k o "período fundamental" na
> dízima de 1/n.
> Por um lado, como 9P=999=10^p-1 é múltiplo de n, temos 10^p *
> (1/n) - 1/n inteiro. Mas isso significa que a parte decimal de 1/n "se
> repete" de p em p dígitos, ou seja, que a dízima de 1/n tem período p. Em
> particular, p>=k.
> Por outro lado, sendo k o período fundamental, temos 10^k * (1/n) - (1/n)
> com número finito de casas decimais, ou seja, (10^k-1)/n = m/10^z com m
> inteiro, e z=número de casas decimais que "sobraram". Mas daqui vem
> 9*(111...111)*10^z = m*n (com k dígitos 1s). Como n é primo com 2, 3 e 5,
> conclui-se que 111... (k 1's) tem que ser múltiplo de n, e portanto
> k>=p.
>
> Note um efeito colateral disso tudo: provamos que 10^k*(1/n)- 1/n =
> 10^p*(1/n)-1/n = inteiro. Assim aquele z vale 0, ou seja, não tem "casas
> decimais que sobram" -- a dízima periódica do 1/n se inicia logo no
> primeiro dígito!
>
> ---///---
> Agora fica tudo bem simples:
> a) Na notação acima, provamos que k=p, e n divide 111 com p
> dígitos.
> b) Seja q o período (fundamental) da dízima de B=x/n irredutível.
>
> Em primeiro lugar, provemos que q=k. Basicamente repetimos o que fizemos
> no lema:
> -- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)*10^w = r*n.
> Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5, conclui-se que n divide 111
> (com q 1's), e portanto q>=p=k.
> -- Por outro lado, como (10^k-1)/n é inteiro, (10^k-1)*x/n=10^k*B-B também
> é inteiro, ou seja, a dízima de B tem período k (e se inicia no primeiro
> dígito!). Portanto k>=q.
>
> *Enfim, note que os tais "restos parciais" que aparecem são exatamente os
> restos que x, 10x, 100x, , 10^q.x deixam na divisão por n. *A soma
> desses caras vale (...)*x, que é divisível por n pois temos ali
> q=k=p dígitos 1. Por isso, ao dividir esses restos parciais por n, a soma
> dos novos restos tem que ser múltiplo de n tambem.
>
> Foi?
>
>
> On Sat, Jul 9, 2022 at 7:16 PM Rubens Vilhena Fonseca <
> rubens.vilhen...@gmail.com> wrote:
>
>> Gostaria de uma demonstração para o seguinte teorema.
>> *Teorema*. Seja n um inteiro positivo não divisível por 2, 3 ou 5, e
>> suponha que a expansão decimal de l/n tenha período k. Então n é um fator
>> do inteiro 111 ... 11 (k 1 's). Além disso, a soma dos restos parciais na
>> divisão obtida de cada fração irredutível x/n é um múltiplo de n.
>> Comentário:
>> Pelo que entendi, se 1/13 tem período k =6. Então 13 divide 11 (
>> k=6 1's).
>> Essa parte consegui provar.
>> Quanto à segunda parte para 1/13 os resto da divisão sem repetição são
>> {10, 9, 12, 3, 4, 1}. Então 10+9+12+3+4+1= 13q . (Não soube provar)
>> Não consigo organizar uma sequência de passos para a demonstração
>> dos dois fatos.
>> Agradeço qualquer ajuda.
>> [[ ]]'s
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em Repunits
A chave: *os "restos parciais" que aparecem são exatamente os restos que x,
10x, 100x, deixam na divisão por n.*
---///---
MAIS SPOILERS ABAIXO
...
...
Acho que facilita bastante pensar no "período" de 1/n de outro jeito:
---///---
LEMA:
(i) Dado n não divisível por 2 ou 5, existe algum número da forma 111...111
que é múltiplo de n.
(ii) Se n não for divisível por 2, 3 ou 5, o *menor* número do tipo
111...111 que é múltiplo de n tem k dígitos, onde k é exatamente o tamanho
do período (fundamental) da dízima em 1/n.
PROVA:
(i) Olhe os restos de 1, 11, 111, , ... na divisão por n. São n
possibilidades, de 0 a n-1, então alguma hora algum resto tem que repetir.
Isto significa que .. (com A dígitos) e 11...111 (com B dígitos,
B=k.
Por outro lado, sendo k o período fundamental, temos 10^k * (1/n) - (1/n)
com número finito de casas decimais, ou seja, (10^k-1)/n = m/10^z com m
inteiro, e z=número de casas decimais que "sobraram". Mas daqui vem
9*(111...111)*10^z = m*n (com k dígitos 1s). Como n é primo com 2, 3 e 5,
conclui-se que 111... (k 1's) tem que ser múltiplo de n, e portanto
k>=p.
Note um efeito colateral disso tudo: provamos que 10^k*(1/n)- 1/n =
10^p*(1/n)-1/n = inteiro. Assim aquele z vale 0, ou seja, não tem "casas
decimais que sobram" -- a dízima periódica do 1/n se inicia logo no
primeiro dígito!
---///---
Agora fica tudo bem simples:
a) Na notação acima, provamos que k=p, e n divide 111 com p dígitos.
b) Seja q o período (fundamental) da dízima de B=x/n irredutível.
Em primeiro lugar, provemos que q=k. Basicamente repetimos o que fizemos no
lema:
-- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)*10^w = r*n.
Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5, conclui-se que n divide 111
(com q 1's), e portanto q>=p=k.
-- Por outro lado, como (10^k-1)/n é inteiro, (10^k-1)*x/n=10^k*B-B também
é inteiro, ou seja, a dízima de B tem período k (e se inicia no primeiro
dígito!). Portanto k>=q.
*Enfim, note que os tais "restos parciais" que aparecem são exatamente os
restos que x, 10x, 100x, , 10^q.x deixam na divisão por n. *A soma
desses caras vale (...)*x, que é divisível por n pois temos ali
q=k=p dígitos 1. Por isso, ao dividir esses restos parciais por n, a soma
dos novos restos tem que ser múltiplo de n tambem.
Foi?
On Sat, Jul 9, 2022 at 7:16 PM Rubens Vilhena Fonseca <
rubens.vilhen...@gmail.com> wrote:
> Gostaria de uma demonstração para o seguinte teorema.
> *Teorema*. Seja n um inteiro positivo não divisível por 2, 3 ou 5, e
> suponha que a expansão decimal de l/n tenha período k. Então n é um fator
> do inteiro 111 ... 11 (k 1 's). Além disso, a soma dos restos parciais na
> divisão obtida de cada fração irredutível x/n é um múltiplo de n.
> Comentário:
> Pelo que entendi, se 1/13 tem período k =6. Então 13 divide 11 ( k=6
> 1's).
> Essa parte consegui provar.
> Quanto à segunda parte para 1/13 os resto da divisão sem repetição são
> {10, 9, 12, 3, 4, 1}. Então 10+9+12+3+4+1= 13q . (Não soube provar)
> Não consigo organizar uma sequência de passos para a demonstração
> dos dois fatos.
> Agradeço qualquer ajuda.
> [[ ]]'s
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Ajuda em Repunits
Gostaria de uma demonstração para o seguinte teorema.
*Teorema*. Seja n um inteiro positivo não divisível por 2, 3 ou 5, e
suponha que a expansão decimal de l/n tenha período k. Então n é um fator
do inteiro 111 ... 11 (k 1 's). Além disso, a soma dos restos parciais na
divisão obtida de cada fração irredutível x/n é um múltiplo de n.
Comentário:
Pelo que entendi, se 1/13 tem período k =6. Então 13 divide 11 ( k=6
1's).
Essa parte consegui provar.
Quanto à segunda parte para 1/13 os resto da divisão sem repetição são
{10, 9, 12, 3, 4, 1}. Então 10+9+12+3+4+1= 13q . (Não soube provar)
Não consigo organizar uma sequência de passos para a demonstração dos dois
fatos.
Agradeço qualquer ajuda.
[[ ]]'s
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
