Re: [obm-l] Divisibilidade, pedido de esclarecimento
Em seg., 4 de mar. de 2024 às 09:53, Pedro José escreveu: > > Bom dia! > Mas provar que ocorrendo as duas está certo, não é o que foi pedido. Não foi isso que ele fez. Ele demonstrou que ambas as expressões são equivalentes a r==7s (mod17). Portanto, ambas são equivalentes entre si. > Pode ser que ocorrendo as duas esteja OK e também que haja pelo menos um > caso, que dá certo para a primeira assertiva e não ocorre para a segunda ou > pode ter pelo menos um caso que ocorra para a segunda e não ocorra para > primeira, já é suficiente para furar. > O certo é: > supor (i) e mostrar que ocorre(ii) e depois provar a volta, supor (ii) e > mostrar que ocorre (i). Essa é uma das maneiras de se demonstrar equivalências, não a única. A bem da verdade, você simplesmente reverteu a ida para provar a volta - bastava mostrar que cada implicação era reversível para assim economizar duas linhas. > (i) 9r + 5s | 17. 17s + 17r | 17 (iii) logo 4*(i)-2(iii) ==> 2r - 14s | 17 > (iv). > Como 17s! 17 (v); (1v)+ (v) ==> 2r+3s | 17. Provada a ida. 17 > 2r +3s |17 (ii) . Mas 17r + 17 s | 17 (iii). (iii)- 4*(i) ==> 9r +5s | 17 > Provada a volta. > logo 9r + 5s | 17 <=> 2r+ 3s | 17 C.Q.D. > > > Cordialmente, > PJMS > > Em sáb., 2 de mar. de 2024 às 12:37, Marcone Borges > escreveu: >> >> Sendo r e s inteiros, mostre que 9r +5s divide 17 se, e somente se, 2r + 3s >> divide 17. >> De 9r + 5s ==0(mod 17), assim como de 2r + 3s ==0(mod17), segue que >> r==7s (mod17). Daí sai a resposta. >> Ou podemos mostrar o que foi pedido usando 9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s) >> Mas, do ponto de vista de quem elaborou a questão, por que vincular essas >> expressões ao fato de que quando uma for um múltiplo de 17 a outra também >> será? >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Divisibilidade, pedido de esclarecimento
Em sáb., 2 de mar. de 2024 às 15:28, Claudio Buffara escreveu: > > Isso só perguntando pra quem elaborou a questão. > Mas a ideia pode ter surgido quando, ao manipular expressões desse tipo, a > pessoa notou que: > 9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s) > e isso a fez pensar no enunciado. Eu me lembro de ter visto expressões semelhantes com outros módulos (primos, por que será?) faz muito tempo. Para mim o mais interessante é descobrir equivalências. Por exemplo, se Ax+By é múltiplo de 17, quem seria C tal que x-Cy é múltiplo de 7? Isso é basicamente uma classe de equivalência. Na verdade daria para fazer o contrário: se C não é múltiplo de 17, então Kx+y é múltiplo de 17 se e somente se (CK mod 17)x+(C mod 17)y também for. Daí é só reduzir CK e C módulo 17. Com isso dá para gerar problemas interessantes: - Se x+10y é múltiplo de 17, então 9x+90y, ou 9x+5y, são múltiplos de y (e vice-versa) - Se x+10y é múltiplo de 17, então 2x+20y, ou 2x+3y, são múltiplos de y (e vice-versa) Logo, - Se 9x+5y é múltiplo de 17, então 2x+3y é múltiplo de y (e vice-versa). > > > On Sat, Mar 2, 2024 at 12:37 PM Marcone Borges > wrote: >> >> Sendo r e s inteiros, mostre que 9r +5s divide 17 se, e somente se, 2r + 3s >> divide 17. >> De 9r + 5s ==0(mod 17), assim como de 2r + 3s ==0(mod17), segue que >> r==7s (mod17). Daí sai a resposta. >> Ou podemos mostrar o que foi pedido usando 9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s) >> Mas, do ponto de vista de quem elaborou a questão, por que vincular essas >> expressões ao fato de que quando uma for um múltiplo de 17 a outra também >> será? >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Divisibilidade, pedido de esclarecimento
Bom dia! Mas provar que ocorrendo as duas está certo, não é o que foi pedido. Pode ser que ocorrendo as duas esteja OK e também que haja pelo menos um caso, que dá certo para a primeira assertiva e não ocorre para a segunda ou pode ter pelo menos um caso que ocorra para a segunda e não ocorra para primeira, já é suficiente para furar. O certo é: supor (i) e mostrar que ocorre(ii) e depois provar a volta, supor (ii) e mostrar que ocorre (i). (i) 9r + 5s | 17. 17s + 17r | 17 (iii) logo 4*(i)-2(iii) ==> 2r - 14s | 17 (iv). Como 17s! 17 (v); (1v)+ (v) ==> 2r+3s | 17. Provada a ida. 17 2r +3s |17 (ii) . Mas 17r + 17 s | 17 (iii). (iii)- 4*(i) ==> 9r +5s | 17 Provada a volta. logo 9r + 5s | 17 <=> 2r+ 3s | 17 C.Q.D. Cordialmente, PJMS Em sáb., 2 de mar. de 2024 às 12:37, Marcone Borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Sendo r e s inteiros, mostre que 9r +5s divide 17 se, e somente se, 2r + > 3s divide 17. > De 9r + 5s ==0(mod 17), assim como de 2r + 3s ==0(mod17), segue que > r==7s (mod17). Daí sai a resposta. > Ou podemos mostrar o que foi pedido usando 9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s) > Mas, do ponto de vista de quem elaborou a questão, por que vincular essas > expressões ao fato de que quando uma for um múltiplo de 17 a outra também > será? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
