[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de vetores

[Bruno Lira]

Tome N um ponto tal que MN seja paralelo a AB.
Note que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo
NMC. Dá semelhança de triângulo temos que:
NM/AB = MC/BC => NM/BC = 5/8 => NM =5AB/8.
e
NC/AC = MC/BC => NC/AC = 5/8 => NC = 5AC/8.

AN = AC -NC = 3AC/8.

Daí:

vetor(AM) = vetor(AN) + vetor(NM)
  = (5/8)vetor(AB) + (3/8)vetor(AC)
C.Q.D

Em 19/09/2016 07:48, Anderson Torres escreveu:
> Em 21 de agosto de 2016 00:59, Henrique N. Lengler
>  escreveu:
>> Olá,
>>
>> Estou estudando vetores pelo livro "Vetores e uma iniciação à Geometria
>> Analítica" de Dorival A. de Mello e Renate Watanabe.
>>
>> Encontrei uma questão simples, mas que me deixou de cabelo em pé. Eu consegui
>> resolver, mas de uma maneira meio feia.
>>
>> A questão é: *.Obs: Todas as duplas de letras são vetores.
>>
>>
>> --
>> Em um triângulo ABC, o ponto M é tal que 3 BM = 5 MC. Escreva o vetor AM em
>> função dos vetores AB e AC.
>> --
>>
>> Alguém poderia me mostrar como resolveu?
>> A parte que me encomoda é a de descobrir qual número multiplicar o lado BC 
>> para
>> resultar em BM.
> A ideia de porcentagens é boa. Só lembrar que você pode considerar A
> como sendo a origem do sistema de coordenadas (afinal o resultado é
> invariante por translações), e concentrar-se apenas em B,.M, e C.
> Pense em M como sendo uma média ponderada entre B e C. Com isso, temos
> 3(M-B)=5(C-M), o que nos dará M=(3B+5C)/(3+5).
>
> Instantâneo!
>
>> Eu fiz de uma maneira tosca, como dá pra fazer em porcentagem por exemplo no
>> acréscimo de 50% eu fazia:
>>
>> x + (x * 50%) = x * y -> "y" será o número que multiplicado por x é o mesmo 
>> que
>> um acréscimo de 50%.
>>
>> No caso do problema é um decréscimo, então montei, sabendo que BC - MC = BM:
>>
>> BC - MC = BC * x(1)
>>
>> e resolvi transformando tudo em MC pelos dados da questão:
>>
>> BC = BM + MC
>>
>> BC = 5/3 MC + MC
>>
>> BC = 8/3 MC   (2)
>>
>> substituindo (2) em (1)
>>
>> 8/3 MC - MC = 8/3 MC * x
>>
>> 5/3 MC = 8/3 MC * x
>>
>> 5/3 MC * 3/8 * 1/MC = x
>>
>> simplificando MC
>>
>> x = 15/24 => 5/8
>>
>> Minha dúvida é, como poderia descobrir esse valor, que multiplica BC para me 
>> dar
>> BM de maneira mais rápida?
>>
>> Agradeço
>>
>> Henrique N. Lengler
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>   acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.

[Bruno Lira]

Primeiramente, tome
a função logaritmântica f(x) = ln(x) cujo domínio é o conjuntos dos
números reais maiores que ou igual a zero. Note que a função f é
injetora. Portanto, para provarmos que:




n n+1
( 1 + 1
)<  ( 1 +   1  
 )
(   n ) (
   n+1 )




basta provar que:




   (n)   (  n+1)
ln(  ( 1 + 1
)   )   <  ln( ( 1 +   1 )  )
   ( (   n ) )   ( ( n+1)  ) .




De fato, temos que:




   (n)( n+1)
ln(  ( 1 + 1
)  )   –   ln(  ( 1 +   1   )   )=
   ( (  n )  )((  n + 1)   ) 





   (n)(n+1)
ln(  ( n
+ 1 )  )   –   ln( (
n +  2 
) )=
   ( (n)  
)( (  n + 1  )) 





   (   2n  )   

ln(  (   n
+ 1  )  .  n+1
) 
; Das
propriedades de logaritmo.
   ( (n (n+2))   n+2 ) 





Daí:




   ( n   ) 
ln(  (  n^2
+ 2n + 1  )  . 
n+1 )
 

   ( (n^2 + 2n   )n+2) 






Comon^2 + 2n < n^2 + 2n + 1en+1 < n + 2temos
que:





n
 

(  n^2 +
2n + 1 )  . 
n+1<1

(n^2 + 2n)   n+2
E da injetividade da função f temos:





   ( n   ) ln( ( n^2 + 2n + 1 ) . n+1 )   <
ln(1)=0   ( (n^2 + 2n   )n+2)
Isto é:

   (n)(n+1)ln( ( 1 + 1 )  ) – ln( ( 1 + 1 ) 
 )<0   ( (  n )  )( ( n+1  )  )






Logo,





n n+1( 1 + 1 ) < ( 1 + 1 )(   n ) ( n+1 )   
   C.Q.D
P.S.: Se tiver algum erro me avisem por favor.
From: esdrasmunizm...@gmail.com
Date: Thu, 28 Jan 2016 12:18:03 -0300
Subject: Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.
To: obm-l@mat.puc-rio.br

L = ((1+1/(n+1))^(n+1))/(1+1/n)^n = ((1 - 1/(n+1)²)^n)((n+2)/(n+1)) 
Use que (1 - x)^n > 1 - nx, Para x \in (0, 1)
L > (1 - n/(n+1)²)((n+2)/(n+1)) = ((n²+n+1)/(n²+2n+1))((n+2)/(n+1)) = 
(n³+3n²+3n+2)/(n³+3n²+3n+1) > 1.


Esse último termo é maior que 1.
Em 28 de janeiro de 2016 09:41, Douglas Oliveira de Lima 
 escreveu:
Opa Marcelo, muito obrigado mesmo, eu estou procurando uma solução daquelas 
tipodesigualdades, onde efetuamos uma estratégia para chegar no resultado, tipo 
uma daquelas que tu encontra no livro de combinatória do MOrgado(o problema das 
apostas).Mas valeu, se conseguir uma dessas me manda novamente por 
favor.AbraçoDouglas Oliveira
Em 28 de janeiro de 2016 01:26, Marcelo Salhab Brogliato  
escreveu:
Oi, Douglas, tudo bem?
Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está 
provada sua desigualdade.
Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 + 1/x). 
Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x) também será 
(exercício: prove essa afirmação).
g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x)  = ln(1 + 1/x) - (1/x) / (1 + 
1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x)
Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x.
Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em 1/x, 
temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1.
Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 + 1/x) = 
(1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0 para todo x 
(já que 1+1/x > 1).
Abraços,Salhab
2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima 
:
Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade 
(1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural.
Agradeço desde já.







-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará