RE: [obm-l] Quadrado Perfeito
Valeu pela informação Willy, será de extrema utilidade na resolução de questões Date: Thu, 28 Jul 2011 21:33:24 -0300 Subject: Re: [obm-l] Quadrado Perfeito From: wgapetre...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Natália, o menor expoente para o qual a congruência é possível é o número de carmichael:http://en.wikipedia.org/wiki/Carmichael_function Quanto ao problema eu pensei assim: Se k^2 = 1 + p + p^2 + p^3 + p^4. Vou estimar o valor de k em função de p.Parece que k é um pouco maior que p^2 + p/2. De fato (p^2 + p/2)^2 = p^4 + p^3 + (p^2)/4. Por outro lado (p^2 + p/2 + 1)^2 = p^4 + p^3 + (9/4)p^2 + p + 1, que é maior do que a gente gostaria. Então temos p^2 + p/2 < k < p^2 + p/2 +1 ==>> k = p^2 + p/2 + 1/2, visto que estamos nos inteiros. Daí é só fazer as contas: k^2 = (p^2 + p/2 + 1/2)^2 = 1 + p + p^2 + p^3 + p^4. Isso dá uma equação do 2o grau cujas solução são -1 e 3, logo 3 é o único primo. Willy 2011/7/28 Nathália Santos O phi ao que me referia era o de Euler From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Quadrado Perfeito Date: Thu, 28 Jul 2011 19:20:44 -0300 Olá Natália Eu acho que está errado a resolução por 4 motivos: ""A= k²= (p^5 -1)/(p-1)p^5 -1=k²(p-1) p^5 -pk² = 1-k²p(p^4 -k²) = 1-k²Aplicando congruência módulo p de ambos os lados teremos que: 1-k² cong 0 (mód p)k² cong 1 (mód p)"" A = 1 (mod p) -> Na verdade já sabíamos disso não precisava ter feito conta nenhuma ""como pelo problema inicial sabemos que p não divide A: k^(p-1) cong 1 (mód p) pelo teorema de fermat. então p-1 divide 2, """ Para QUALQUER p primo diferente de 2, p-1 é par, também não precisava de conta nenhuma ""já que o phi representa o menor expoente para o qual a congruência é possível, eu acho rs. "" Não entendi o phi no problema ""p-1 = 2 ou p-1=1 p=3 ou p=2se p=3 => A=121se p=2 => A= 31Logo p=3 é a solução. Espero que esteja certo, rs. Se não estiver, avise por favor (:Espero ter ajudado"" O fato de que p-1 é par implica infinitas soluções na equação. Na verdade qualquer inteiro ímpar, NÃO SOMENTE O 2 E 3 Como k^(p-1)= A^x = 1 (mod p) SEMPRE, para qualquer p ímpar, inclusive 5, 7, 9, ... 2k+1 []'sJoão From: nathalia...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Quadrado Perfeito Date: Thu, 28 Jul 2011 21:09:19 + A= k²= (p^5 -1)/(p-1)p^5 -1=k²(p-1)p^5 -pk² = 1-k²p(p^4 -k²) = 1-k²Aplicando congruência módulo p de ambos os lados teremos que:1-k² cong 0 (mód p)k² cong 1 (mód p) como pelo problema inicial sabemos que p não divide A: k^(p-1) cong 1 (mód p) pelo teorema de fermat.então p-1 divide 2, já que o phi representa o menor expoente para o qual a congruência é possível, eu acho rs. p-1 = 2 ou p-1=1p=3 ou p=2se p=3 => A=121se p=2 => A= 31Logo p=3 é a solução.Espero que esteja certo, rs. Se não estiver, avise por favor (:Espero ter ajudado From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Quadrado Perfeito Date: Thu, 28 Jul 2011 17:31:06 -0300 2000 Grécia: Qual o número primo p, tal queA=1 + p + p^2 + p^3 + p^4 é quadrado perfeito? A única coisa que vi é queSe p=3 A=121 Se p não é 3, e pelo pequeno teorema de fermat um quadrado perfeito deixa resto 1 na divisão por 3, p^4 + p^3 +p^2 + p é divisível por 12, p^3 + p^2 + p +1 é divisíivel por 12, p=6k-1 -> (p^2+1)(p+1) Acho que não serviu para nada kkk []'sJoão
RE: [obm-l] Quadrado Perfeito
O phi ao que me referia era o de Euler From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Quadrado Perfeito Date: Thu, 28 Jul 2011 19:20:44 -0300 Olá Natália Eu acho que está errado a resolução por 4 motivos: ""A= k²= (p^5 -1)/(p-1)p^5 -1=k²(p-1)p^5 -pk² = 1-k²p(p^4 -k²) = 1-k²Aplicando congruência módulo p de ambos os lados teremos que:1-k² cong 0 (mód p)k² cong 1 (mód p)"" A = 1 (mod p) -> Na verdade já sabíamos disso não precisava ter feito conta nenhuma ""como pelo problema inicial sabemos que p não divide A: k^(p-1) cong 1 (mód p) pelo teorema de fermat.então p-1 divide 2, """ Para QUALQUER p primo diferente de 2, p-1 é par, também não precisava de conta nenhuma ""já que o phi representa o menor expoente para o qual a congruência é possível, eu acho rs. "" Não entendi o phi no problema ""p-1 = 2 ou p-1=1p=3 ou p=2se p=3 => A=121se p=2 => A= 31Logo p=3 é a solução.Espero que esteja certo, rs. Se não estiver, avise por favor (:Espero ter ajudado"" O fato de que p-1 é par implica infinitas soluções na equação. Na verdade qualquer inteiro ímpar, NÃO SOMENTE O 2 E 3 Como k^(p-1)= A^x = 1 (mod p) SEMPRE, para qualquer p ímpar, inclusive 5, 7, 9, ... 2k+1 []'sJoão From: nathalia...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Quadrado Perfeito Date: Thu, 28 Jul 2011 21:09:19 + A= k²= (p^5 -1)/(p-1)p^5 -1=k²(p-1)p^5 -pk² = 1-k²p(p^4 -k²) = 1-k²Aplicando congruência módulo p de ambos os lados teremos que:1-k² cong 0 (mód p)k² cong 1 (mód p)como pelo problema inicial sabemos que p não divide A: k^(p-1) cong 1 (mód p) pelo teorema de fermat.então p-1 divide 2, já que o phi representa o menor expoente para o qual a congruência é possível, eu acho rs. p-1 = 2 ou p-1=1p=3 ou p=2se p=3 => A=121se p=2 => A= 31Logo p=3 é a solução.Espero que esteja certo, rs. Se não estiver, avise por favor (:Espero ter ajudadoFrom: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Quadrado Perfeito Date: Thu, 28 Jul 2011 17:31:06 -0300 2000 Grécia: Qual o número primo p, tal queA=1 + p + p^2 + p^3 + p^4 é quadrado perfeito? A única coisa que vi é queSe p=3 A=121 Se p não é 3, e pelo pequeno teorema de fermat um quadrado perfeito deixa resto 1 na divisão por 3, p^4 + p^3 +p^2 + p é divisível por 12, p^3 + p^2 + p +1 é divisíivel por 12, p=6k-1 -> (p^2+1)(p+1) Acho que não serviu para nada kkk []'sJoão
RE: [obm-l] Quadrado Perfeito
A= k²= (p^5 -1)/(p-1)p^5 -1=k²(p-1)p^5 -pk² = 1-k²p(p^4 -k²) = 1-k²Aplicando congruência módulo p de ambos os lados teremos que:1-k² cong 0 (mód p)k² cong 1 (mód p)como pelo problema inicial sabemos que p não divide A: k^(p-1) cong 1 (mód p) pelo teorema de fermat.então p-1 divide 2, já que o phi representa o menor expoente para o qual a congruência é possível, eu acho rs. p-1 = 2 ou p-1=1p=3 ou p=2se p=3 => A=121se p=2 => A= 31Logo p=3 é a solução.Espero que esteja certo, rs. Se não estiver, avise por favor (:Espero ter ajudadoFrom: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Quadrado Perfeito Date: Thu, 28 Jul 2011 17:31:06 -0300 2000 Grécia: Qual o número primo p, tal queA=1 + p + p^2 + p^3 + p^4 é quadrado perfeito? A única coisa que vi é queSe p=3 A=121 Se p não é 3, e pelo pequeno teorema de fermat um quadrado perfeito deixa resto 1 na divisão por 3, p^4 + p^3 +p^2 + p é divisível por 12, p^3 + p^2 + p +1 é divisíivel por 12, p=6k-1 -> (p^2+1)(p+1) Acho que não serviu para nada kkk []'sJoão
[obm-l] RE: [obm-l] OFF-TOPIC Semelhança
eu recomendo o livro 3 do professor eduardo mauro. Problemas sem problemas, tem muitas questões interessantes e direcionadas ao pré-militar. Mas se quiser aloprar, tente algum livro olimpico. Espero ter ajudado. Date: Mon, 28 Feb 2011 09:08:48 -0300 Subject: [obm-l] OFF-TOPIC Semelhança From: pcesa...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá senhores Estou montando um lista de exercícios e venho tendo dificuldades em encontrar questões realmente desafiadoras envolvendo semelhança (somente, sem relações métricas ou áreas). Os que eu conheço já coloquei na lista, mas não sei de muitos que sejam interessantes. Minhas fontes já se esgotaram (Geometria 1 e 2, Fund. da Mat. Elem. 9 e Vestibulares em geral). A lista será aplicada em turmas pré-militares. Alguém pode ajudar? Muito obrigado PC
[obm-l] RE: [obm-l] questão básica de probabilid ade
Por um acaso a resposta seria letra d)? From: eduvfsi...@gmail.com Date: Mon, 18 Oct 2010 18:02:35 -0300 Subject: [obm-l] questão básica de probabilidade To: obm-l@mat.puc-rio.br João e Manuel retiram, para cada um, um bilhete de uma urna em que há 60 bilhetes numerados de 1 a 60.A probabilidade de que o número retirado por João seja maior do que o de Manuel é: a) 31/60b) 60/59c) 60%d) 50%e) 29/60 Achei que era a alternativa e), mas não é, alguém me explica por que?
RE: [obm-l] Semelhantes ou iguais?
Serão sempre semelhantes, mas não necessariamente iguais, já que ângulos iguais não determinam sempre lados iguais. From: rhilbert1...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Semelhantes ou iguais? Date: Wed, 6 Oct 2010 22:25:19 + Colegas, uma discussão sem solução, acontenceu por conta da seguinte dúvida. "Dois triângulos com os seus ângulos, respectivamente, de mesma medida, são iguais (lados respectivos de mesma medida) ou semelhantes (lados respectivos proporcionais)"? Exemplo: Triângulos ABC e A'B'C' com ângulos A=A, B=B e C=C => AB=A'B', AC=A'C' e BC=B'C' ?
