[obm-l] Motivos da raiz quadrada
Colegas, Aprendi no milênio passado, e continuo sabendo, os algoritmos de extração das raízes quadrada e cúbica. No entanto, não sei como se chega a esses algoritmos. Procurei na Lista e na internet mas não achei a explicação. A propósito, existem algoritmos para raiz de grau genérico? Um abraço, Sérgio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações
Lucas, Gostei do exemplo. Ele poderia ser generalizado e formalizado como um teorema? Pode me indicar links ou bibbliografia sobre o tema? Um abraço, Sérgio - Original Message - From: Lucas Prado Melo [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, December 23, 2007 1:39 PM Subject: Re: [obm-l] Demonstrações On Dec 16, 2007 11:56 PM, Sérgio Martins da Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Doutores, Penso que a palavra mais comum nesta lista e, quiçá, da matemática é demonstração. Por isto, gostaria de saber como se demonstra que uma demonstração está correta. E mais, que é completa. Quais são os requisitos, condições, etc ? Abraços, Sérgio Oi, Se eu estiver errado, por favor me corrijam, Demonstrar que uma demonstração é válida é provar que a conclusão deriva das premissas. (isso é lógica matemática) Se, ao analisarmos uma prova a partir de suas premissas, chegamos (por implicações sempre verdadeiras (também chamadas tautológicas)) à mesma conclusão que a prova chegou, então a prova é válida, caso contrário não. Uma prova é dita completa quando não existem axiomas não declarados (se eu não me engano). Ex: Se Alberto viajar e Bruno ir à praia Então Daniel vai ao mercado Prova: Sabemos isso também: - Se Alberto vai viajar e Bruno ir à praia, então Creuza vai limpar a casa de Alberto - Se Daniel não vai ao mercado, então Creuza não vai limpar a casa de Alberto ou Alberto não vai viajar Por lógica matemática: A := Alberto ir viajar B := Bruno ir à praia C := Creuza ir limpar a casa de Alberto D := Daniel ir ao mercado Temos: A e B e ( A e B - C ) e ( ¬D - ¬C ou ¬A ) Usando algumas regras de lógica: ( ¬D - ¬C ou ¬A ) = ( A e C - D ) A e B e ( A e B - C ) = C A e C e ( A e C - D ) = D Ou seja, D é verdade... Resumindo (para não-leigos): uma prova é válida sse a conjunção das premissas implica a conclusão da prova. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [o bm-l] Re: [obm-l] Demonstrações
Albert, Obrigado pelos links. Navegando e aprendendo. Sérgio - Original Message - From: albert richerd carnier guedes To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, December 23, 2007 8:00 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações Realmente eu deixei pouco claro o modo como escrevi sobre o problema. Eu quis dizer que a correlação com o problema P versus NP é a demonstração de uma demonstração é que é preciso provar se existe uma demonstração para demonstração antes de tentar achar uma. Isso está no ambito de pesquisa do problema NP. Quanto aos problemas do milênio Sérgio, são 7 problemas matemáticos apresentados pelo Instituto de matemática Clay, e eles estão oferecerendo $ 1.000.000,00 por problema para quem os resolver. O link oficial dos problemas: http://www.claymath.org/millennium/ Para uma versão em portugues http://www.dm.ufscar.br/hp/hp853/hp853001/hp853001.html Um noticia legal é que foi apresenteada este ano a solução de um dos problemas do milênio - a conjectura de Poincaré - ele foi resolvido pelo matemático russo Grigory Perelman. O cara faturou um milhão de verdinhas alem de ganhar a medalha Fields - o nobel da matemática. Aqui tem a noticia: http://www.e-escola.pt/site/destaque.asp?dest=87 Ainda têm os problemas de Hilbert, caso você não conheça: http://pt.wikipedia.org/wiki/Problemas_de_Hilbert Espero ter te inspirado ainda mais a pratica da matemática. Pra mim estes problemas são extremamente estimulantes, alem claro do meu gosto natural pela matematica. Abraços.
[obm-l] Cônicas
Colegas, Como se demonstra que interseção de um plano com um cone é uma elipse, parábola ou hipérbole? Tenho visto nos livros apenas a declaração disto mas não o caminho. Um abraço, Sérgio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Além dos complexos
Acessei o wikipedia, como o Bruno indicou, e vi que números não são apenas números, nada mais que números. A ótima explicação do Angelo serviu para iluminar este admirável mundo novo. Descobri até os surreais! Eu admirava os complexos pelo aspecto operacional deles mas me convenci de que, sem álgebra, não passarei de um utilizador de calculadoras. Pelo jeito, os números são uma estratégia de marketing das álgebras para a atração de estudantes incautos. Um abraço, Sérgio - Original Message - From: Angelo Schranko To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, November 20, 2007 9:59 AM Subject: Re: [obm-l] Além dos complexos Meu caro, dê uma olhada em: http://en.wikipedia.org/wiki/Hypercomplex_number Há várias informações interessantes e servem como ponto de partida. [ ]´s Angelo Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] escreveu: Não sou nem o Nehab nem o Arthur, mas arrisco. Sugiro vc procurar sobre quatérnions. Se não me engano, Hamilton ficou muito tempo tentando fazer o que vc esta querendo, e concluiu que para conseguir aumetar o conjunto dos complexos da forma que vc propoe, não seria possivel colocando apenas mais um eixo sem perder muitas propriedades algebricas interessantes. Mesmo colocando mais dois eixos, o j e o k, somos obrigados a abrir mão de alguma coisa, no caso da comutatividade. Hamilton definiu que: i^2 = j^2 = k^2 = -1 ij = k ji = -k jk = i kj = -i ki = j ik = -j Nesse espaço vc consegue construir uma metrica, e assim identifica-lo com um espaço euclidiano de dimensão 4, da mesma forma como faz com os complexos, identificando-os com um plano, ie, um espaço euclidiano de dimensão 2. De forma semelhante, vc define os octonios (ai vc tera um sistema de 8 eixos) abrindo mao tambem da associatividade. Vc pode extender isso pra qq dimensao da forma 2^n, mas a partir de n=4 (ie, dimensao 16), ja nao presta pra muita coisa: vc perdeu comutatividade, associatividade e alem disso nao conseguira fazer uma identificacao com um espaço euclidiano (pois nao consegue definir uma métrica). Abraço Bruno
Re: [obm-l] Vetores e complexos
Artur, Gostei da perspectiva de estruturas algébricas. Obrigado, Sérgio - Original Message - From: Artur Costa Steiner To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, November 14, 2007 10:20 AM Subject: RES: [obm-l] Vetores e complexos A diferença fundamental entre o plano cartesiano e o plano complexo não reside, na realidade, na natureza de seus componentes. Tanto os elementos de R^2 como os elementos dos complexos C são pares ordenados de números reais. Ate aí, não há absolutamente nenhuma diferença. A diferenca aparece quando deixamos de considera-los apenas como conjuntos e passamos a considera-los como estruturas algebricas. O R^2 eh um espaco vetorial sobre o corpo dos reais, mas o R^2, com a estrutura algebrica nele definida, nao eh um corpo, Nao podemos dois multiplicar elementos de R^2 e obter outro elemento de R^2. O chamado produto escalar, ou interno, nao atende a esta condicao. Nem o chamado produto vetorial, geralmente definido em R^3, na Fisica, e muito usado na mecanica e no eletromagnetismo. Mas, quando equipamos R^2 com as operacoes de soma e multiplicacao, definidas por (a ,b) + (c , d) = (a +b, c + d) e (a ,b) * (c , d) = ((ac - bd) , (ad + bc)), obtemos um corpo. A estrutura algebrica conhecida como corpo e que satisfaz a todos os axiomas que a definem. Assim, vistos meramente como conjuntos, R^2 e C sao identicos. Mas vistos como estruturas algebricas, sao diferentes. De forma rigorosa, ao nos referrimos ao corpo dos complexos, nao deveriamos escrever apenas C, mas sim (C, + , *), para siginificar um corpo com relacao as operacoes de adicao e multiplicacao anteriormente citadas. Uma terna composta pelo conjunto C, formado pelos pares de reais, pela operacao + e pela operacao *, jah citadas. Mas, por uma questao de simplicidade, escreve-se apenas C, estando subentendida estrutura de corpo e as operacoes + e *.. Eh usual representar-se o elemento de C de parte real a e parte imaginaria b por a + bi, e nao por (a, b). Mas eh a mesma coisa. Isso dah aos complexos um sentido mais de numero e podemos entao dizer que os reais sao subconnjunto (ou melhor, sub corpo) de C, formado pelos elementos com parte imaginaria nula. Matematicamente, hah um isomorfismo entre o conjunto dos pares (a, b) e os numeros a + bi, o qual identifica um conjunto com o outro. Por exemplo, o real 1 eh identificado com (1,0) e i é identificado com (0 , 1). Em um bom livro de algebra voce acha estes conceitos. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de colombo Enviada em: terça-feira, 13 de novembro de 2007 21:08 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Vetores e complexos Não tem nenhuma diferença, a única coisa que muda é que quando estamos no plano complexo podemos multiplicar os vetores (a,b)(c,d), o que não existia no plano cartesiano. E lógico quando podemos multiplicar os vetores, dizemos que estamos multiplicando números complexos. t+ Jones On Nov 13, 2007 1:12 PM, Sérgio Martins [EMAIL PROTECTED] wrote: Colegas, Qual a diferença do plano cartesiano para o plano complexo, ou seja, entre (a,b) representando um vetor e um número complexo? Um abraço, Sérgio
Re: [obm-l] Vetores e complexos etc
Nehab, Gostei do entusiasmo pela didática. Aguardo o produto de complexos. Abraços, Sérgio - Original Message - From: Carlos Nehab To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, November 14, 2007 12:05 AM Subject: Re: [obm-l] Vetores e complexos etc Oi, Sérgio, Interessante a pergunta e tive um ataque maluco de prolixidade na resposta Virou quase uma aula de introdução a como criar intuição sobre isto mas já que escrevi , ai vai :-) Ficou ENOORME Espero que te ajuda... e que o majordomo não me cape...
[obm-l] Re: [obm-l] Primeira dúvida
Angelo, Obrigado. Mas fiquei intrigado: como um número ( i ^ i ) pode ser equivalente a infinitos valores reais? Não estranharia se se tratasse de uma função, uma equação ... Assim, dois reais diferentes, que sejam equivalentes a i^î , seriam equivalentes entre si. Onde estou errando? Abraços, Sérgio - Original Message - From: Angelo Schranko To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, November 12, 2007 10:48 AM Subject: Re: [obm-l] Primeira dúvida i = e^[i(PI/2 + K.PI)], K pertencente a Z, logo i^i = e^[-(PI/2 + K.PI)], K pertencente a Z i^i tem infinitos valores Reais, em particular, quando k = 0, i^i = e^(-PI/2), conforme já foi mostrado. [ ]´s Angelo
[obm-l] Primeira dúvida
Caros participantes da lista, Gosto de matemática e estou chegando agora à lista. Eis minha primeira dúvida: Quanto é i ^ i ? Significa alguma coisa? Sérgio
