[obm-l] Construcoes Geometricas
Caros Colegas da Lista, Eu tenho uma certa curiosidade por problemas de desenho geometrico. Li recentemente o livro do E. Wagner (com J. P. Q. Carneiro) da SBM e achei muito bom, sem querer fazer (e fazendo) propaganda alguma. Com prazer, organizei minhas solucoes para os problemas em um material (Volume I) que estou disponibilizando no site: http://www.lps.ufrj.br/profs/sergioln/geometry.html Neste material, as solucoes estao longe de serem otimas. Em alguns casos, tenho consciencia de serem pessimas, mas quis ter pelo menos uma solucao para cada problema. Culpa da minha formacao de engenheiro. Hah alguns erros que tenho coletado, a maioria tipograficos, mas que devem ser eliminados em breve (provavelmente semana que vem). Agradeco como sempre comentarios/sugestoes/correcoes. Abraco, sergio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Provas IME 1996/1997-2003/2004
Caros colegas da lista, Eu tenho um material sobre as provas de matematica do IME que eu gostaira de disponibilizar para todos. Eu tenho uma boa colecao de provas do IME, mas da' um trabalho gigantesco de coloca-las em formato eletronico. Motivado por esta lista eu comecei a fazer isto. Comecei pelas provas mais recentes. Estas sao mais faceis de achar na internet (propria homepage do ime ou em outros sites), mas achei que tinham mais a ver com o vestibular atual. A ideia e' ir incrementado aos poucos. (o ritmo depende das outras atividades, e' claro). O arquivo http://www.lps.ufrj.br/~sergioln/ime1.pdf possui as provas de 1996/1997 a 2003/2004 (ou seja, por enquanto sao so' 8 provas). Antigamente o IME usava esta datacao. Hoje so' usa o primeiro ano. O arquivo ime1.pdf e' formado de duas partes: i) No inicio eu coloco os enunciados das provas. ii) Na segunda parte entram as solucoes feitas por mim. Para facilitar a leitura das solucoes eu as coloco junto dos enunciados. Isto da' uma redundancia ao texto mas amplia a sua leiturabilidade (desculpem) e o seu uso. Os enunciados eu revisei e tentei deixa-los o mais fiel a versao original da prova, inclusive mantendo alguns erros originais de redacao e tudo mais. Eu nao revisei os gabaritos nem em termos datilograficos nem em termos de conteudo matematico (o que e' mais grave, certamente, ainda mais para esta lista). Na verdade, para esta revisao, eu contaria com os possiveis interessados, pois considero isto uma tarefa infinita. Peco, porem, muita paciencia para as eventuais alteracoes que deverao ser feitas, pois tudo isto toma um tempo muito grande. Ainda mais para fazer bem feito. Em relacao as solucoes, quem for ler vera' que minha base geometrica e' fraca e que eu tenho a tendencia para algebrizar tudo. Alem disto o meu grande ponto fraco e' a analise combinatoria. A ideia e' ir, de tras para a frente no tempo, ate' o inicio da decada de 80 (eu tenho quase todas as provas de matematica I e II de 2003 ate' 1980; sao so' dois anos que eu nao tenho). Mas, sinceramente, minha previsao para isto e' de cerca de 1 ano! Minha estimativa e' de 2-3 provas por mes. Eu tenho umas 35 provas no total, e eu so' fiz 8 por enquanto, desde o inicio do ano. Quem quiser baixar o arquivo pode faze-lo e distribui-lo a vontade. A medidade que eu for alterando o arquivo eu vou avisando na lista, provalvemente uma vez por mes para nao encher a paciencia de todos. A versao 1 (atual, 16/04/2004) tem cercade 500 KB no formato pdf. Aceito comentarios/sugestoes/criticas construtivo(a)s, o que certamente me estimulara' a continuar esta tarefa. Abraco, sergio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema do sábio
Ja´ que ninguem colocou a solucao ainda... 36 e´ o produto das tres idades. Decompondo 36 em 3 fatores inteiros, temos as possibilidades: 36, 1, 1 18, 2, 1 12, 3, 1 9, 4, 1 9, 2, 2 6, 6, 1 6, 3, 2 4, 3, 3 como ha´ mas de uma opcao o segundo sabio nao pode adivinhar as 3 idades. Usando a segunda dica (soma da´ um certo numero - seja de janelas, seja da casa da frente, seja de ovelhas, seja la´ o que for), temos as seguintes possibilidades 36+1+1 = 38 18+2+1 = 21 12+3+1 = 16 9+4+1 = 14 9+2+2 = 13 6+6+1 = 13 6+3+2 = 11 4+3+3 = 10 Como o sabio nao conseguiu adivinhar e´ porque o numero desconhecido so´ pode ser 13 (e´ o unico que permite duas combinacoes de mesma soma). Logo o pastor tem tres filhas com uma das possibildades 9, 2, 2 6, 6, 1 Quando o pastor diz que existe uma filha de menor idade (traduzido para o portugues costumeiramente como a filha mais nova), a opcao (9,2,2) e´ descartada, ficando a opcao (6,6,1). Abraco, sergio LEIA O ENUNCIADO!!! -- Mensagem original -- creio q entre o tempo q o sábio disse Não sei e o pastor terminou de falar A mais nova tem olhos azuis o sábio contou as ovelhas! dlon - Original Message - From: amurpe [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, April 01, 2004 4:54 PM Subject: [obm-l] Problema do sábio Oi pessoal , gostaria de uma ajuda. 1) Um pastor resolve desafiar um sábio e lhe propõe o seguinte problema. Tenho duas filhas sendo que o produto das suas idades é igual a 36 a a sua soma é igual ao total de ovelhas que tenho no pasto. O sábio vê as ovelhas e responde. Não sei.O pastor então diz ao sábio , a mais nova tem olhos azuis , imediatamente o sábio diz: agora sei. e diz a idade de cada filha. Pergunta qual a idade de cada filha . creio que as respostas deverão estar entre : 1e 36, 4 e 9, 12 e 3.gostaria e ver o raciocio utilizado. Um abtobrigado. Um abraço. Amurpe __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -O QUE FAREMOS AMANBHA A NOITE CEREBRO? -AQUILO QUE FAZEMOS TODAS AS NOITES, PINKY: TENTAR CONQUISTAR O MUNDO!! -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Exercicio Geometria Plana - ANTIGO
Esta solucao do Guilherme eu nao conhecia. Este problema e´ de fato o mesmo do livro do Morgado. Ele (o problema, e nao o Morgado) aparece ainda no livro do Coxeter (Geometry Revisited) e ainda em um outro livro que tenho de Selected Problems in Geometry. A primeira vez que o vi (o problema) foi num curso pre-vestibular em que o Prof. Brandao do Impacto me mostrou a seguinte solucao. (mesmo tendo a solucao do Guilherme, talvez valha a pena seguir esta outra solucao pela elegancia da mesma). Trace CD, com D em AB, tal que ACD = 20 (ou seja, esta reta CD é completamente magica, mas ela gera uma serie de resultados interessantes que tornará o problema até mesmo trivial) Do triângulo ACD: CAD = 80, ACD = 20 = ADC = 80 = AC = CD (1) Do triângulo CAP: CAP = 50, ACP = 80 = APC = 50 = AC = CP (2) De (1) e (2): CD = PC, logo o triângulo CDP é isósceles com um ângulo DCP = 60. Com estas condições, o triângulo CDP é de fato um triângulo equilátero e assim: CD = CP, DCP = 60 = CDP = 60, CPD = 60 e ainda CD = CP = DP (3) Além disto, tem-se do mesmo triângulo que: APD = 10 (A) Do triângulo DCQ: CDQ = 100, DCQ = 40 = CQD = 40 = CD = DQ (4) De (1), (2), (3) e (4): AC = CD = CP = DP = DQ (!) Do triângulo DPQ: DP = PQ, PDQ = 40 = DPQ = 70 (B) Por (A) e (B), o ângulo pedido, APQ, é tal que APQ = APD + DPQ = 10 + 70 = 80 Obs: A versão mais comum deste problema pede o ângulo CPQ que naturalmente é igual a 30. Olá a todos! A solução que o Nicolau citou é obtida traçando-se uma paralela QQ´ a AC, onde Q´ pertence ao lado BC. Ligando-se o ponto Q´ ao ponto A, obtemos o ponto D na interseção de AQ´ com CQ. Como o triângulo ACD é equilátero e o triângulo APC é isósceles, verificamos que PC = DC. Logo, o ângulo PDC = 80º e portanto, PDQ´ mede 40º. Do triângulo ACQ´, tiramos que o ângulo AQ´C mede também 40º. Vemos, portanto, que os triângulos DQQ´ e DPQ´ são respectivamente equilátero e isósceles apoiados na mesma base DQ´. Daí tiramos que as alturas são também bissetrizes internas e estão sobre a reta QP. Logo, o ângulo QPD mede 50º pois é a metade de DPQ´ que vale 100º. Como o ângulo APQ é a soma de APD e DPQ, ele mede 30º + 50º = 80º. Eu também estou muito interessado na solução geral para ângulos quaisquer na base, já que esta solução só funciona porque o triângulo APC é isósceles e o triângulo ACD é equilátero. Se mudássemos o ângulo CAP para 45º, por exemplo, já não poderíamos aplicar a mesma solução. Como fazer neste caso? Acredito que seja também uma luz para o problema do Pacini que tinha o título geometria nesta lista. Só consigo resolver utilizando trigonometria e/ou geometria analítica. Um grande abraço, Guilherme Marques. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED] Enviada em: quarta-feira, 25 de fevereiro de 2004 19:12 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Exercicio Geometria Plana - ANTIGO Em 25 Feb 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Wed, Feb 25, 2004 at 06:45:10PM -0300, Victor Machado wrote: 80. ABC é um triangulo isosceles cujo angulo do vertice ^B = 20o ; P e Q sao pontos respectivamentes dos lados iguais BC e AB tais que o angulo CÂP = 50o e o angulo A^CQ = 60o . Calcular o angulo A^PQ. --- Este problema é um clássico e é bastante difícil. A solução mais tradicional envolve traçar umas retas auxiliares e observar que um monte de triângulos são isósceles e/ou equiláteros. Me deram esse problema quando eu tinha 14 e eu não resolvi, mas fiz o que o professor Nicolau está dizendo, tracei um monte de retas auxiliares e triângulos e fiquei analisando as geometrias das figuras. O que me veio a mente depois de ver a solução, foi se existiria solução no caso geral para ângulos arbitrários e como alguém resolveria isso neste caso. Eu imagino que as técnicas aplicadas para resolver o caso geral não sejam elementares e apelariam para formas modulares ou coisas do gênero. Talvez alguém da lista possa falar a respeito. []s Ronaldo L. Alonso _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
