Re: [obm-l] ajuda
Olá, gostaria de ajuda nestas 2 questões: 1.Prove que existem infinitos nºs da forma 1999...9991 que são múltiplos de 1991. Essa é da OBM de 1991. Notemos que 1999...991 = 2000...00 9 = 2.10^(n + 1) 9 = 2000.10^(n 2) 9 e que 1991 = 11.81 Assim, como 2000 == 9 (mod. 1991) = 1999...991 == 9(10^(n 2) 1) (mod. 1991). Para que 1999...991 seja múltiplo de 1991, devemos ter: 9(10^(n 2) 1) == 0 (mod. 1991) = 10^(n 2) == 1 (mod. 1991), uma vez que 9 e 1991 são primos entre si. Sendo 181 e 10 primos entre si, pelo teorema de Fermat: 10^180 == 1 (mod. 181). Analogamente, para 11 e 10: 10^10 == 1 (mod. 11) = 10^180 == 1 (mod. 11). Assim, temos que 10^180 1 é múltiplo de 181 e 11 e, portanto, múltiplo do mínimo múltiplo comum de 11 e 181, que é 1991. Em outras palavras: 10^180 == 1 (mod. 1991). Desta forma, para n = 182 = 1999...991 == 0 (mod. 1991), onde temos 182 números 9. Como 10^(180k) == 1 (mod. 1991) então basta fazer n 2 = 180k = n = 180k + 2 para que os números da forma 1999...991 (com n 9s) sejam múltiplos de 1991. 2.Prove que existem infinitos primos da forma 4k +3. Esse é um problema clássico, tem em vários livros de olimpíadas e caiu na olimpíada da Espanha em 1992. Suponhamos, por absurdo, que exista um número finito de primos da forma pi = 4n 1. Seja o número N = 4p1p2p3 pn 1, onde pi são todos os primos da forma 4n 1. Notemos que N também é da forma 4n 1 e é ímpar. Fatorando em fatores primos N, temos que os primos que dividem N devem ser da forma 4n 1 e 4n + 1. Repare que: (4n1 1)(4n2 1) = 4(4n1n2 n1 n2) + 1 = 4k + 1 (4n1 1)(4n2 + 1) = 4(4n1n2 + n1 n2) 1 = 4k 1 (4n1 + 1)(4n2 + 1) = 4(4n1n2 + n1 + n2) + 1 = 4k + 1 Como mdc (N, pi) = 1, então cada pi não divide N Entretanto, na fatoração de N temos que ter fatores primos da forma 4n 1, pois somente multiplicando um termo da forma 4n1 1 com outro da forma 4n2 + 1 conseguimos um número da forma 4k 1, que é a forma de N. Assim, este fator primo de N da forma 4n 1 deve ser distinto dos outros primos pi da forma 4n 1, que é um absurdo, pois todos os primos da forma 4n - 1 estão na expressão de N. Obrigada! Fê Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Ajuda - Exercicio ensino medio
Rodrigo Mauro wrote: [EMAIL PROTECTED]"> Calcular a soma... 1^1 + 2^2 + 3^3 +...+ n^n como eu faria isso usando conhecimentos do ensino mdio? no faria No meu cursinho (poliedro, sjdcamps) ja aprendi P.A. de n-sima ordem, mas isso eu acho que nao PA..ou eh? caiu um no IME parecido..s oh que era 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... n^2= onde era pedido para calcular a Soma (a expressao algebrica) agradecido Rodrigo F. Mauro _ O MSN Photos o jeito mais fcil de compartilhar e imprimir as suas fotos: http://photos.msn.com.br/support/worldwide.aspx = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda - Exercicio ensino medio
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... n^2= alguns métodos para achar isso vc encontra em www.gabas.cjb.net Mathematicus nascitur, non fit Matemáticos não são feitos, eles nascem -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Ajuda - Exercicio ensino medio
Em Fri, 29 Mar 2002 13:23:28 + Rodrigo Mauro Escreveu: Primeiramente isso não é uma P.A. A questão a qual você se refere do ime diz que ele quer a expressão em função de N que indica a soma do quadrado dos N primeiros números naturais, mas ele também diz que essa expressão é uma função do 3º grau. Infelizmente no caso que você trouxe eu não vejo solução apenas com esses dados. []'s Calcular a soma... 1^1 + 2^2 + 3^3 +...+ n^n como eu faria isso usando conhecimentos do ensino médio? No meu cursinho (poliedro, sjdcamps) ja aprendi P.A. de n-ésima ordem, mas isso eu acho que nao é PA..ou eh? caiu um no IME parecido..s oh que era 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... n^2= onde era pedido para calcular a Soma (a expressao algebrica) agradecido Rodrigo F. Mauro _ O MSN Photos é o jeito mais fácil de compartilhar e imprimir as suas fotos: http://photos.msn.com.br/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = iBEST - Internet com alta qualidade de conexão. GANHE ACESSO GRATUITO à Internet do iBEST em http://discador.ibest.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Ajuda - Exercicio ensino medio
On Fri, Mar 29, 2002 at 09:27:32PM +, [EMAIL PROTECTED] wrote: Em Fri, 29 Mar 2002 13:23:28 + Rodrigo Mauro Escreveu: Primeiramente isso não é uma P.A. Calcular a soma... 1^1 + 2^2 + 3^3 +...+ n^n Minha primeira reação foi a de duvidar que existisse forma fechada para esta coisa. Mas eu procurei em http://www.research.att.com/~njas/sequences/ a excelente enciclopédia de seqüências inteiras e ela me deu uma referência para esta seqüência: Problem 4155, Amer. Math. Monthly, 53 (1946), 471. Acho que segunda feira vou conferir... []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] ajuda
Este problema foi proposto por Euler em seu livro de algebra elementar; ele tambem escreveu um livro de algebra elementar, sabiam? Seja x a resposta. Enquanto o cao deu x pulos, a raposa deu 4x/3 pulos. O que o cao anda eh igual ao que a raposa anda mais a vantagem inicial da raposa sobre o cao. Chamemos de r e c as unidades de distancias do problema, ou seja, os comprimentos dos pulos de raposa e de cao. xc=(4x/3)r+63r. Como 6c=10r, x(10/6)r=(4x/3)r+63r 5x/3=4x/3+63 x=189 [EMAIL PROTECTED] wrote: [EMAIL PROTECTED]"> Uma raposa perseguida por um co, tem 63 pulos de dianteira sobre ele. O co d 3 pulos, quando a raposa d 4, porm 6 pulos dele valem 10 da raposa. Quantos pulos o co deve dar para alcanar a raposa?
Re: [obm-l] Ajuda !
On Thu, Mar 28, 2002 at 04:00:32AM -0300, Marcos Reynaldo wrote: Alguém poderia me ajudar com um problema ? Dada a função característica Mx(v) = ((sen v)/v)^6 , determinar E(X) (esperança). Bom tentei resolver mas estou encrencado no seguinte limite lim (derivada de((sen v)/v)^6) quando v tende a zero. A função sen(v)/v é inteira (analítica em todo o plano complexo, logo derivável em todo ponto) e par. Isto pode ser visto facilmente pela série de Taylor. A função (sen(v)/v)^6 idem. A derivada dela no zero é zero. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Ajuda -Primos
Muito esquisito! Como 1(6n+7)-2(3n+2) = 3, qualquer divisor comum daqueles dois numeros dividirah 3. Logo, o MDC dividirah 3, o que so deixa duas alternativas para o MDC: 1 ou 3. 3 evidentemente nao divide 6n+7 (dah resto 1) nem 3n+2 (dah resto 2). Logo, MDC=1. Como p-4 divide o MDC, p-4=1 e p=5. n pode ser qualquer cara (composto) cujo menor fator primo seja 5. Rubens Vilhena wrote: [EMAIL PROTECTED]"> Se n um inteiro positivo composto e p seu menor fator primo, mostre que p-4 divide o mdc(6n+7, 3n+2) e determine os possveis valores de n Aproveite melhor a Web. Faa o download GRTIS do MSN Explorer : http://explorer.msn.com.br/intl.asp#po
Re: [obm-l] Ajuda -Primos
Ha outra soluao com p-4 = -1, p=3 e n qualquer composto cujo menor fator primo seja 3. Augusto Csar Morgado wrote: [EMAIL PROTECTED]"> Muito esquisito! Como 1(6n+7)-2(3n+2) = 3, qualquer divisor comum daqueles dois numeros dividirah 3. Logo, o MDC dividirah 3, o que so deixa duas alternativas para o MDC: 1 ou 3. 3 evidentemente nao divide 6n+7 (dah resto 1) nem 3n+2 (dah resto 2). Logo, MDC=1. Como p-4 divide o MDC, p-4=1 e p=5. n pode ser qualquer cara (composto) cujo menor fator primo seja 5. Rubens Vilhena wrote: [EMAIL PROTECTED]"> Se n um inteiro positivo composto e p seu menor fator primo, mostre que p-4 divide o mdc(6n+7, 3n+2) e determine os possveis valores de n Aproveite melhor a Web. Faa o download GRTIS do MSN Explorer : http://explorer.msn.com.br/intl.asp#po
Re: [obm-l] ajuda :'simetrias do tetraedro.
Alegro-me de ver, nesta lista, um pouco de "movimento" na geometria. O ensino da geometria precisa dar mais importancia ao estudo das transformacoes geometricas, no plano e no espaco. Ha um problema de nomenclatura. Parece que a palavra "simetria" no e-mail abaixo quer dizer "isometria", "produto" quer dizer "composta", "reflexao" precisa ser esclarecidoem torno de que (simetria ortogonal em relacao a um plano ou uma reta, simetria central); nao estah claro se, no item 1, a partir do "identificar", se estah pensando em duas ou tres dimensoes. Eh bom esclarecer, pois estas questoes sao muito interessantes. JP - Original Message - From: haroldo To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, March 14, 2002 1:05 AM Subject: [obm-l] ajuda :"'simetrias do tetraedro." saudações a todos . alguém pode ajudar-me. 1-Mostre que um tetraedro regular tem um total de 24 simetrias se as reflexões e o produto das reflexões são permitidos.identificar uma simetria que não é uma rotação e nao é uma reflexão.comprovar que esta simetria é o produto de tres reflexões. 2- quais sào todas as simetrias planas (rotações e reflexões) de um pentagono e um hexagono regular?
Re: [obm-l] Re: [obm-l] ajuda :'simetrias do tetraedro.
por definicao , o det e' uma soma de produtos de elementos da matriz. Se sao todos inteiros... Fred palmeira On Thu, 14 Mar 2002 [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola! Seja uma matriz A cujos elementos sao inteiros. Como faco para provar que detA é inteiro ? Abracos. A. Asselin -- Mensagem original -- Alegro-me de ver, nesta lista, um pouco de movimento na geometria. O ensino da geometria precisa dar mais importancia ao estudo das transformacoes geometricas, no plano e no espaco. Ha um problema de nomenclatura. Parece que a palavra simetria no e-mail abaixo quer dizer isometria, produto quer dizer composta, reflexao precisa ser esclarecido em torno de que (simetria ortogonal em relacao a um plano ou uma reta, simetria central); nao estah claro se, no item 1, a partir do identificar, se estah pensando em duas ou tres dimensoes. Eh bom esclarecer, pois estas questoes sao muito interessantes. JP - Original Message - From: haroldo To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, March 14, 2002 1:05 AM Subject: [obm-l] ajuda :'simetrias do tetraedro. saudações a todos . alguém pode ajudar-me. 1-Mostre que um tetraedro regular tem um total de 24 simetrias se as reflexões e o produto das reflexões são permitidos.identificar uma simetria que não é uma rotação e nao é uma reflexão.comprovar que esta simetria é o produto de tres reflexões. 2- quais sào todas as simetrias planas (rotações e reflexões) de um pentagono e um hexagono regular? -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] ajuda
Prove que 4n ^ 3 + 6n ^ 2 + 4n + 1 é composto para qualquer n 0. 4n^3+6n^2+4n+1=(4n^3+2n^2)+(4n^2+4n+1)= 2n^2(2n+1)+(2n+1)^2= (2n+1)(2n^2+2n+1), 2n+11, 2n^2+2n+11.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] ajuda
Essa questão caiu na minha prova de álgebra de 2000, quando eu estava na
primeira série do ensino médio, e eu bolei uma solução para ela que era
um pouco mais rápida (fazia menos contas):
Quando parar de riscar vai ter dado três voltas ( pois 15r + 1 = 1000v +
1 = 200v = 3r, e assim que for igual tem que parar )
Desta equação acima, vemos que foram 3 voltas ('v') e 200 riscados ('r')
pois 15r + 1 é o (r+1)-ésimo termo da PA, logo não pode.
Em tempo: uma outra solução vê que tem que ser exatamente (4/5)*1000 porque
1000 e 15 têm mdc 5, e, como quando repetir acaba, só vai riscar 1/5 dos
números. É um argumento probabilístico (e que só é válido porquê mdc(1000,
15) é 5. Acho que dá pra generalizar o problema, sendo a resposta:
a*(x-1)/x
onde a = número inicial de inteiros escritos, x = mdc(a, b) onde b é o número
de inteiros que você conta até riscar o outro.
Não tenho certeza da generalização, mas acho que com um pouco de álgebra
dá pra provar.
Até mais,
Bernardo
-- Mensagem original --
bom, vou tentar:
seja {an} a sequência dos números riscados na primeira volta:
então {an} é uma PA com a1=1, r=15
vamos analisar para qual n an1000 :
sei que an=a1+(n-1)*r=
a1+(n-1)*r1000 = n1+(1000-a1)/r=1+999/15=67,6
a67=a1+66*r=1+66*15=991
o a68 seria igual a 991+15=1006
como os números de 1 a 1000 estão dispostos em um círculo, temos uma nova
PA {bn} onde o primeiro termo é b1=6 e bj=aj+5
b67=a67+5=996
b68=996+15=1011
assim temos uma nova PA {cn} onde c1=11 e cj=bj+5
c66=b66+5=996-15+5=986
c67=986+15=1001
opa, o 1 já foi riscado então paramos aqui!
já riscamos as PA's de razão 15 que começam no 1,6,11
já calculei que a PA que começa no 6 tem o seu termo de numero 67 igual
a 996 então a PA que começa no 10 tem o termo de numero 67 igual a 1000.
Assim posso concluir que as PA's que começam do 1 até o 10 possuem 67 termos
e as PA's que começam do 11 até o 15 possuem 66 termos.
Como já risquei as PA's que começam no 1 e no 6, risquei 67*2=134 numeros,
e a PA que começa no 11 já foi riscada também que são mais 66 numeros,
portanto
já foi riscado 134+66=200 números
Como havia 1000 números inicialmente então ainda há 800 números que não
foram riscados !!
- Mensagem original --
Os inteiros de 1 a 1000 são escritos ordenadamente em torno de um círculo.
Partindo de 1, riscamos os números de 15 em 15, isto é, riscamos 1,16,31,
...
. O processo continua até se atingir um número previamente riscado. Determine
a quantidade de números que sobram sem riscos.
-- Mensagem original --
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Partindo de 1, riscamos os números de 15 em 15, isto é, riscamos 1,16,31,
...
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Mathematicus nascitur, non fit
Matemáticos não são feitos, eles nascem
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[obm-l] Re: [obm-l] ajuda
bom, vou tentar:
seja {an} a sequência dos números riscados na primeira volta:
então {an} é uma PA com a1=1, r=15
vamos analisar para qual n an1000 :
sei que an=a1+(n-1)*r=
a1+(n-1)*r1000 = n1+(1000-a1)/r=1+999/15=67,6
a67=a1+66*r=1+66*15=991
o a68 seria igual a 991+15=1006
como os números de 1 a 1000 estão dispostos em um círculo, temos uma nova
PA {bn} onde o primeiro termo é b1=6 e bj=aj+5
b67=a67+5=996
b68=996+15=1011
assim temos uma nova PA {cn} onde c1=11 e cj=bj+5
c66=b66+5=996-15+5=986
c67=986+15=1001
opa, o 1 já foi riscado então paramos aqui!
já riscamos as PA's de razão 15 que começam no 1,6,11
já calculei que a PA que começa no 6 tem o seu termo de numero 67 igual
a 996 então a PA que começa no 10 tem o termo de numero 67 igual a 1000.
Assim posso concluir que as PA's que começam do 1 até o 10 possuem 67 termos
e as PA's que começam do 11 até o 15 possuem 66 termos.
Como já risquei as PA's que começam no 1 e no 6, risquei 67*2=134 numeros,
e a PA que começa no 11 já foi riscada também que são mais 66 numeros, portanto
já foi riscado 134+66=200 números
Como havia 1000 números inicialmente então ainda há 800 números que não
foram riscados !!
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Partindo de 1, riscamos os números de 15 em 15, isto é, riscamos 1,16,31,
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