[obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] dúvida chara!
Desculpe-me se fui parcial Dr., porém equivoquei-me ao
ler o enunciado da questão. Eu apenas fiz os calculos
para os números inteiros e não naturais, ou seja,
inclui algumas possibilidades a mais.
Obrigado pela observação!
Olá colegas da lista,
Apesar da resolução apresentada pelo Osvaldo
ter seguido um possível
raciocínio correto para resolver esta questão, a
análise dele está
incompleta porque omite alguns passos muito
importantes, o que pode nos
levar a encontrar soluções inválidas. Neste problema
especificamente, a
resposta encontrada está correta, porém, se
modificarmos o valor da
diferença de quadrados de 27 para outro valor, então
a resolução dele pode
nos levar a resultados errados.
A análise que eu apresento a seguir
corresponde a uma crítica de
caráter construtivo com relação à resolução
apresentada pelo Osvaldo. O
objetivo desta análise não é depreciar a resolução
do Osvaldo, mas sim de
mostrar que é necessário sermos rigorosos nas
resoluções de problemas de
Matemática para não chegarmos a resultados
incorretos. Muitas vezes podemos
encontrar uma resposta correta para uma questão
resolvendo-a de maneira
errada.
Na resolução apresentada abaixo, considere
que = significa
implica e = significa maior ou igual a.
QUESTÃO ORIGINAL:
A diferença entre os quadrados de dois números
naturais é 27. UM dos
possíveis valores do quadrado da soma desses dois
números:
a)529
b)625
c)729
d)841
RESOLUÇÃO POSSÍVEL:
Sejam x e y os dois números naturais, então devemos
ter:
x^2 - y^2 = 27 = (x + y)(x - y) = 27
Adotando a = x + y e b = x - y, teremos:
a.b = 27 (i) (Observe que o produto de a e b é
positivo)
Resolvendo o sistema de equações nas variáveis x e
y, podemos encontrar x e
y em função de a e b:
a + b = (x + y) + (x - y) = a + b = 2x = x = (a
+ b)/2 (ii)
a - b = (x + y) - (x - y) = a - b = 2y = y = (a -
b)/2 (iii)
Como x e y são naturais, então x = 0 e y = 0.
Portanto:
x + y = 0 + 0 = a = 0. De acordo com a igualdade
(i), a não pode ser 0,
logo a 0 (iv)
Como a.b 0 (i) e a 0 (iv), então b 0 (v)
y = 0 = -y = 0 = y = 0 e 0 = -y = y = -y =
x + y = x - y =
a = b (vi)
Por (v) e (vi), concluímos que: a = b 0 (vii)
Sendo assim, devemos encontrar a e b inteiros tais
que sejam satisfeitas as
seguintes condições:
a.b = 27 (ii)
a = b 0 (vii)
x = (a + b)/2 (ii) seja um número natural.
y = (a - b)/2 (iii) seja um número natural.
Analisando os divisores de 27, podemos concluir que
existem apenas dois
pares de valores de a e b que satisfazem as
condições (ii) e (vii):
(a = 27 e b = 1) ou (a = 9 e b = 3)
Para a = 27 e b = 1:
x = (27 + 1)/2 = 14 é um número natural.
y = (27 - 1)/2 = 13 é um número natural.
Portanto, x = 14 e y = 13 é uma solução possível.
Para a = 9 e b = 3:
x = (9 + 3)/2 = 6 é um número natural.
y = (9 - 3)/2 = 3 é um número natural.
Portanto, x = 6 e y = 3 é uma solução possível.
Possíveis valores para (x + y)^2:
(x + y)^2 = (14 + 13)^2 = 27^2 = 729
(x + y)^2 = (6 + 3)^2 = 9^2 = 81
Resposta: Alternativa c
Observação: Pode parecer que os passos apresentados
para deduzir as
condições são desnecessários, mas são eles que
garantem a validade das
soluções encontradas.
EXPLICAÇÃO DO MOTIVO DA RESOLUÇÃO APRESENTADA PELO
OSVALDO SER INCOMPLETA:
Na resolução são apresentados 4 valores possíveis
para a e b (a,b):
{(1,27),(3,9),(9,3),(27,1)}. Porém, (1,27) e (3,9)
não satisfazem a condição
(vii): a = b 0. Portanto, somente os pares (9,3)
e (27,1) correspondem a
possíveis valores para a e b, restando apenas
verificar se eles produzem
valores naturais para x e y. Logo, na lista de
valores apresentados para
(x+y)^2 = a^2, {1, 9, 81, 729}, não poderia aparecer
os valores 1 = 1^2 e
nem 9 = 3^2. Além disto, não há garantia de que 81 =
9^2 e 729 = 27^2
correspondem a valores de a e b válidos, pois os
valores de x e y não são
calculados para verificar se eles são naturais, como
foi descrito no
enunciado do problema. Portanto, os valores de a e b
encontrados poderiam
não ser válidos. Neste problema específico, os
valores de a e b encontrados
são válidos, logo a resposta encontrada está
correta. A seguir, eu apresento
uma variação deste problema que mostra de maneira
concreta que a resolução
apresentada pelo Osvaldo pode apresentar resultados
errados. Para se ter uma
idéia apenas 1 resultado, dos 6 encontrados, é
correto!
QUESTÃO MODIFICADA:
A diferença entre os quadrados de dois números
naturais é 68. UM dos
possíveis valores do quadrado da soma desses dois
números:
a)16
b)289
c)1156
d)4624
RESOLUÇÃO DO OSVALDO ALTERADA PARA A VERSÃO
MODIFICADA DA QUESTÃO:
sejam x e y tais numeros, dai temos que
x^2-y^2=68
(x+y)(x-y)=68
a=x+y
b=x-y
Possiveis valores para a e b (x,y):
{(1,68),(2,34),(4,17),(17,4),(34,2),(68,1)}
Assim (x+y)^2=a^2
Temos então que todos os valores de (x+y)^2
pertencem a
[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] dúvida chara!
Olá Osvaldo,
Não há a necessidade de formalidades, mesmo porque eu não sou Dr..
Eu gostaria de ressaltar o seguinte comentário que eu coloquei no início dos
meus comentários, caso não tenha ficado claro: A análise que eu apresento a
seguir corresponde a uma crítica de CARÁTER CONSTRUTIVO com relação à
resolução apresentada pelo Osvaldo. O objetivo desta análise não é depreciar
a resolução do Osvaldo, mas sim de mostrar que é necessário sermos rigorosos
nas resoluções de problemas de Matemática para não chegarmos a resultados
incorretos. Muitas vezes podemos encontrar uma resposta correta para uma
questão resolvendo-a de maneira errada.
É importante ficar claro que mesmo para o conjunto dos números
inteiros a sua solução está incompleta. Observe que você não verificou se os
valores de a e b encontrados produzem valores inteiros de x e y.
Neste caso, você não utilizaria a condição a = b 0 e encontraria todos os
valores inteiros de a e b que reproduzem o produto. Veja o exemplo da
questão modificada para constatar que a sua resolução apresentará resultados
inválidos mesmo no conjunto dos números inteiros.
Atenciosamente,
Rogério Moraes de Carvalho
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Osvaldo
Sent: domingo, 23 de maio de 2004 17:54
To: obm-l
Subject: [obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] dúvida chara!
Desculpe-me se fui parcial Dr., porém equivoquei-me ao
ler o enunciado da questão. Eu apenas fiz os calculos
para os números inteiros e não naturais, ou seja,
inclui algumas possibilidades a mais.
Obrigado pela observação!
Olá colegas da lista,
Apesar da resolução apresentada pelo Osvaldo
ter seguido um possível
raciocínio correto para resolver esta questão, a
análise dele está
incompleta porque omite alguns passos muito
importantes, o que pode nos
levar a encontrar soluções inválidas. Neste problema
especificamente, a
resposta encontrada está correta, porém, se
modificarmos o valor da
diferença de quadrados de 27 para outro valor, então
a resolução dele pode
nos levar a resultados errados.
A análise que eu apresento a seguir
corresponde a uma crítica de
caráter construtivo com relação à resolução
apresentada pelo Osvaldo. O
objetivo desta análise não é depreciar a resolução
do Osvaldo, mas sim de
mostrar que é necessário sermos rigorosos nas
resoluções de problemas de
Matemática para não chegarmos a resultados
incorretos. Muitas vezes podemos
encontrar uma resposta correta para uma questão
resolvendo-a de maneira
errada.
Na resolução apresentada abaixo, considere
que = significa
implica e = significa maior ou igual a.
QUESTÃO ORIGINAL:
A diferença entre os quadrados de dois números
naturais é 27. UM dos
possíveis valores do quadrado da soma desses dois
números:
a)529
b)625
c)729
d)841
RESOLUÇÃO POSSÍVEL:
Sejam x e y os dois números naturais, então devemos
ter:
x^2 - y^2 = 27 = (x + y)(x - y) = 27
Adotando a = x + y e b = x - y, teremos:
a.b = 27 (i) (Observe que o produto de a e b é
positivo)
Resolvendo o sistema de equações nas variáveis x e
y, podemos encontrar x e
y em função de a e b:
a + b = (x + y) + (x - y) = a + b = 2x = x = (a
+ b)/2 (ii)
a - b = (x + y) - (x - y) = a - b = 2y = y = (a -
b)/2 (iii)
Como x e y são naturais, então x = 0 e y = 0.
Portanto:
x + y = 0 + 0 = a = 0. De acordo com a igualdade
(i), a não pode ser 0,
logo a 0 (iv)
Como a.b 0 (i) e a 0 (iv), então b 0 (v)
y = 0 = -y = 0 = y = 0 e 0 = -y = y = -y =
x + y = x - y =
a = b (vi)
Por (v) e (vi), concluímos que: a = b 0 (vii)
Sendo assim, devemos encontrar a e b inteiros tais
que sejam satisfeitas as
seguintes condições:
a.b = 27 (ii)
a = b 0 (vii)
x = (a + b)/2 (ii) seja um número natural.
y = (a - b)/2 (iii) seja um número natural.
Analisando os divisores de 27, podemos concluir que
existem apenas dois
pares de valores de a e b que satisfazem as
condições (ii) e (vii):
(a = 27 e b = 1) ou (a = 9 e b = 3)
Para a = 27 e b = 1:
x = (27 + 1)/2 = 14 é um número natural.
y = (27 - 1)/2 = 13 é um número natural.
Portanto, x = 14 e y = 13 é uma solução possível.
Para a = 9 e b = 3:
x = (9 + 3)/2 = 6 é um número natural.
y = (9 - 3)/2 = 3 é um número natural.
Portanto, x = 6 e y = 3 é uma solução possível.
Possíveis valores para (x + y)^2:
(x + y)^2 = (14 + 13)^2 = 27^2 = 729
(x + y)^2 = (6 + 3)^2 = 9^2 = 81
Resposta: Alternativa c
Observação: Pode parecer que os passos apresentados
para deduzir as
condições são desnecessários, mas são eles que
garantem a validade das
soluções encontradas.
EXPLICAÇÃO DO MOTIVO DA RESOLUÇÃO APRESENTADA PELO
OSVALDO SER INCOMPLETA:
Na resolução são apresentados 4 valores possíveis
para a e b (a,b):
{(1,27),(3,9),(9,3),(27,1)}. Porém, (1,27) e (3,9)
não satisfazem a condição
(vii): a = b 0. Portanto, somente os pares (9,3)
e (27,1) correspondem a
possíveis
