Re: [obm-l] A/C Paulo Santa Rita
Em 18/05/2009 14:00, Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com escreveu:Ola Joao e demais colegasdesta lista ... OBM-L,Agora lembrei. Infelizmente nao tenho mais as figuras ali citadas.Talvez lhe seja util falar um pouco da motivacao para estedesenvolvimento.Quando eu estudei este assunto ( PA de ordem superior ) pela primeiravez me deparei com o seguinte teorema :"A soma dos termos de uma progressao aritmetica de ordem P e umpolinomio de ordem P+1"Este teorema e criticavel de diversas maneiras. Vou citar aqui as duasprincipais :1) Pressupoe um conceito de ordem de uma progressao aritmetica que naoesta explicitamente enunciado e explicado2) Voce precisa resolver um sistema de equacoes lineares paraencontrar o polinomio que represe nta a soma dos termos da PA de ordemmais alta.Exemplo :Suponha que voce deseje encontrar o polinomio que representa a soma daprogressao aritmetica de 2 ordem : 2^2, 5^2, 8^2, 11^2, ... ,(3N-1)^2, ...Usando esse teorema voce precisa fazer assim :1) Supor um polinomio soma S(N) = AN^3 + BN^2 + CN + D. fazer :2) Fazer :S(1) = A + B + C + D = 4 = 2^2S(2) = 8A + 4B + 2C + D = 29 = 2^2 + 5^2S(3) = 27A + 9B + 3C + D = 110 = 2^2 + 5^2 + 8^2S(4) = 64A + 16B + 4C + D = 131 = 2^2 + 5^2 + 8^2 + 11^23) Resolver o enorme sistema acima.4) Montar o polinomio soma com coeficientes A, B, C e DImagina para progressoes de ordem mais alta, digamos, de 7 ordem, etc.Um absurdo !Portanto, era natural que eu procurasse uma forma de botar ordem nestabagunca e desenvolver uma forma inteligente de fazer as coisas. Estafoi a minha principal motivacao. Com as tecnicas que eu desenvolvi e que voce pode ver na mensagem cujolink voce postou, voce pode encontrar o polinomio soma de uma PA deordem qualquer em menos de 1 minuto. No caso particular que eu citei,temos :S(N) = A*Binom(N,1) + B*Binom(N,2) + C*Binom(N,3)onde A= A1=2^2 =4 , B=A2- A1= 5^2-2^2=21 e C=A3-2*A2 + A1 = 8^2 - 2*5^2 + 2^2=18ou seja :S(N) = 4*Binom(N,1) + 21*Binom(N,2) + 18*Binom(N,3)As demonstracoes estao lá.Note que isto e um pequeno aspecto de algo mais amplo. Por exemplo,voce pode estender o conceito de progressao arimetica para incorporarprogressoes de ordem negativa e fracionaria. A sequencia 1, (1/2)^3,(1/3)^3 , (1/4)^3 e um exemplo de uma PA de ordem -3. Neste caso, naonos interessa a soma de uma quantidade finita de termos, mas o valorpara onde a serie converge.A importancia de se estudar PA's de ordem superior e poder tratar deTRIANGULOS ARITMETI COS, que sao na verdade familias de PA's. Porexemplo, considere a sequencia :O triangulo de Pascal e apenas um caso particular dentro do universosdos trainguloas aritmeticos. Enfim, este estudo tem aplicacoes simles,como esta que voce esta abordando, mas tem tambem implicacoes nao taosimples, que nao e cabivel espor aqui.Um AbracaoPSR, 21805090C012009/5/18 João LuÃs <joaolui...@uol.com.br>:> O link é>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.1999a/msg00191.html>> Na verdade, você não anexou as imagens, e sim colou na mensagem... mas elas> não aparecem aqui!>> - Original Message - From: "Paulo Santa Rita"> <paulo.santar...@gmail.com>> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>> Sent: Monday, May 18, 2009 10:22 AM> Subject: Re: [obm-l] A/C Paulo Santa Rita>>> Ola joao e demais colegas> desta lista ... OBM-L,>> OK ! Fico agu ardando voce publicar o link.>> Um Abraco> PSR,21005090A16>> 2009/5/18 João LuÃs <joaolui...@uol.com.br>:>>>> Você faz uma exposição bastante interessante sobre PAs de ordem 1, 2,>> 3,...>> introduzindo números binomiais (n,p), que vc denotou, na época, [N/P]>>>> Se ainda não deu pra lembrar, procuro a mensagem novamente e a envio>> completa pra você.>>>> Um abraço e muito obrigadoe pela sua atenção.>>>> João LuÃs.>>>> ----- Original Message - From: "Paulo Santa Rita">> <paulo.santar...@gmail.com>>> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>>> Sent: Monday, May 18, 2009 8:43 AM>> Subject: Re: [obm-l] A/C Paulo Santa Rita>>>>>> Ola Joao e demais colegas>> desta lista ... OBM-L,>>>> Caro Joao, nao me lembro do que trata esta mensagem. Portanto, nao sei>> dizer se ainda tenho a suposta figura que porventura tenha anexado ...>> D e forma mais especifica, qual o tema da mensagem ? E um problema>> particular de PA ou trata-se de uma possivel ampliacao deste conceito>> ?>>>> Fico feliz em saber que alguma coisa que publiquei aqui pode vir a ser>> util para enriquecer a sua prelecao.>>>> Para que esta mensagem mantenha a tradicao da nossa lista, vou postar>> aqui um problema - descobri isso, agora - antigo, postado pelo Eduardo>> Wilner, que, pelo que vi, nao despertou o interesse de qualquer dos>> membros desta nossa lista. E boni
Re: [obm-l] A/C Paulo Santa Rita
Ola Joao e demais colegas desta lista ... OBM-L, Caro Joao, nao me lembro do que trata esta mensagem. Portanto, nao sei dizer se ainda tenho a suposta figura que porventura tenha anexado ... De forma mais especifica, qual o tema da mensagem ? E um problema particular de PA ou trata-se de uma possivel ampliacao deste conceito ? Fico feliz em saber que alguma coisa que publiquei aqui pode vir a ser util para enriquecer a sua prelecao. Para que esta mensagem mantenha a tradicao da nossa lista, vou postar aqui um problema - descobri isso, agora - antigo, postado pelo Eduardo Wilner, que, pelo que vi, nao despertou o interesse de qualquer dos membros desta nossa lista. E bonitinho : PROBLEMA : Determine todos os triangulos de lados inteiros nos quais o raio do circulo inscrito vale 2. Um Abraco a todos ! PSR,2180509082A 2009/5/17 João Luís joaolui...@uol.com.br: Esta mensagem é sobre outra mensagem, que o PSR enviou pra esta lista, há muito tempo atrás... Paulo, Preparando uma aula sobre progressões aritméticas, recorri aos arquivos da lista para pesquisar o material que já foi enviado sobre esse assunto, com o intuito de pesquisar novos fatos, novas abordagens, e enriquecer minha aula. Cheguei a uma mensagem sua de 15 de outubro de 1999, com o assunto Investigações Aritméticas, do qual gostei muito. Em certa altura do seu texto, você cola duas figuras no corpo da mensagem. Você ainda possui essas figuras? Poderia enviá-las para mim? Se puder me ajudar, agradeço muito. Um abraço, João Luís. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] A/C Paulo Santa Rita
Você faz uma exposição bastante interessante sobre PAs de ordem 1, 2, 3,... introduzindo números binomiais (n,p), que vc denotou, na época, [N/P] Se ainda não deu pra lembrar, procuro a mensagem novamente e a envio completa pra você. Um abraço e muito obrigadoe pela sua atenção. João Luís. - Original Message - From: Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, May 18, 2009 8:43 AM Subject: Re: [obm-l] A/C Paulo Santa Rita Ola Joao e demais colegas desta lista ... OBM-L, Caro Joao, nao me lembro do que trata esta mensagem. Portanto, nao sei dizer se ainda tenho a suposta figura que porventura tenha anexado ... De forma mais especifica, qual o tema da mensagem ? E um problema particular de PA ou trata-se de uma possivel ampliacao deste conceito ? Fico feliz em saber que alguma coisa que publiquei aqui pode vir a ser util para enriquecer a sua prelecao. Para que esta mensagem mantenha a tradicao da nossa lista, vou postar aqui um problema - descobri isso, agora - antigo, postado pelo Eduardo Wilner, que, pelo que vi, nao despertou o interesse de qualquer dos membros desta nossa lista. E bonitinho : PROBLEMA : Determine todos os triangulos de lados inteiros nos quais o raio do circulo inscrito vale 2. Um Abraco a todos ! PSR,2180509082A 2009/5/17 João Luís joaolui...@uol.com.br: Esta mensagem é sobre outra mensagem, que o PSR enviou pra esta lista, há muito tempo atrás... Paulo, Preparando uma aula sobre progressões aritméticas, recorri aos arquivos da lista para pesquisar o material que já foi enviado sobre esse assunto, com o intuito de pesquisar novos fatos, novas abordagens, e enriquecer minha aula. Cheguei a uma mensagem sua de 15 de outubro de 1999, com o assunto Investigações Aritméticas, do qual gostei muito. Em certa altura do seu texto, você cola duas figuras no corpo da mensagem. Você ainda possui essas figuras? Poderia enviá-las para mim? Se puder me ajudar, agradeço muito. Um abraço, João Luís. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] A/C Paulo Santa Rita
Ola joao e demais colegas desta lista ... OBM-L, OK ! Fico aguardando voce publicar o link. Um Abraco PSR,21005090A16 2009/5/18 João Luís joaolui...@uol.com.br: Você faz uma exposição bastante interessante sobre PAs de ordem 1, 2, 3,... introduzindo números binomiais (n,p), que vc denotou, na época, [N/P] Se ainda não deu pra lembrar, procuro a mensagem novamente e a envio completa pra você. Um abraço e muito obrigadoe pela sua atenção. João Luís. - Original Message - From: Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, May 18, 2009 8:43 AM Subject: Re: [obm-l] A/C Paulo Santa Rita Ola Joao e demais colegas desta lista ... OBM-L, Caro Joao, nao me lembro do que trata esta mensagem. Portanto, nao sei dizer se ainda tenho a suposta figura que porventura tenha anexado ... De forma mais especifica, qual o tema da mensagem ? E um problema particular de PA ou trata-se de uma possivel ampliacao deste conceito ? Fico feliz em saber que alguma coisa que publiquei aqui pode vir a ser util para enriquecer a sua prelecao. Para que esta mensagem mantenha a tradicao da nossa lista, vou postar aqui um problema - descobri isso, agora - antigo, postado pelo Eduardo Wilner, que, pelo que vi, nao despertou o interesse de qualquer dos membros desta nossa lista. E bonitinho : PROBLEMA : Determine todos os triangulos de lados inteiros nos quais o raio do circulo inscrito vale 2. Um Abraco a todos ! PSR,2180509082A 2009/5/17 João Luís joaolui...@uol.com.br: Esta mensagem é sobre outra mensagem, que o PSR enviou pra esta lista, há muito tempo atrás... Paulo, Preparando uma aula sobre progressões aritméticas, recorri aos arquivos da lista para pesquisar o material que já foi enviado sobre esse assunto, com o intuito de pesquisar novos fatos, novas abordagens, e enriquecer minha aula. Cheguei a uma mensagem sua de 15 de outubro de 1999, com o assunto Investigações Aritméticas, do qual gostei muito. Em certa altura do seu texto, você cola duas figuras no corpo da mensagem. Você ainda possui essas figuras? Poderia enviá-las para mim? Se puder me ajudar, agradeço muito. Um abraço, João Luís. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] A/C Paulo Santa Rita
O link é http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.1999a/msg00191.html Na verdade, você não anexou as imagens, e sim colou na mensagem... mas elas não aparecem aqui! - Original Message - From: Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, May 18, 2009 10:22 AM Subject: Re: [obm-l] A/C Paulo Santa Rita Ola joao e demais colegas desta lista ... OBM-L, OK ! Fico aguardando voce publicar o link. Um Abraco PSR,21005090A16 2009/5/18 João Luís joaolui...@uol.com.br: Você faz uma exposição bastante interessante sobre PAs de ordem 1, 2, 3,... introduzindo números binomiais (n,p), que vc denotou, na época, [N/P] Se ainda não deu pra lembrar, procuro a mensagem novamente e a envio completa pra você. Um abraço e muito obrigadoe pela sua atenção. João Luís. - Original Message - From: Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, May 18, 2009 8:43 AM Subject: Re: [obm-l] A/C Paulo Santa Rita Ola Joao e demais colegas desta lista ... OBM-L, Caro Joao, nao me lembro do que trata esta mensagem. Portanto, nao sei dizer se ainda tenho a suposta figura que porventura tenha anexado ... De forma mais especifica, qual o tema da mensagem ? E um problema particular de PA ou trata-se de uma possivel ampliacao deste conceito ? Fico feliz em saber que alguma coisa que publiquei aqui pode vir a ser util para enriquecer a sua prelecao. Para que esta mensagem mantenha a tradicao da nossa lista, vou postar aqui um problema - descobri isso, agora - antigo, postado pelo Eduardo Wilner, que, pelo que vi, nao despertou o interesse de qualquer dos membros desta nossa lista. E bonitinho : PROBLEMA : Determine todos os triangulos de lados inteiros nos quais o raio do circulo inscrito vale 2. Um Abraco a todos ! PSR,2180509082A 2009/5/17 João Luís joaolui...@uol.com.br: Esta mensagem é sobre outra mensagem, que o PSR enviou pra esta lista, há muito tempo atrás... Paulo, Preparando uma aula sobre progressões aritméticas, recorri aos arquivos da lista para pesquisar o material que já foi enviado sobre esse assunto, com o intuito de pesquisar novos fatos, novas abordagens, e enriquecer minha aula. Cheguei a uma mensagem sua de 15 de outubro de 1999, com o assunto Investigações Aritméticas, do qual gostei muito. Em certa altura do seu texto, você cola duas figuras no corpo da mensagem. Você ainda possui essas figuras? Poderia enviá-las para mim? Se puder me ajudar, agradeço muito. Um abraço, João Luís. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] A/C Paulo Santa Rita
Ola Joao e demais colegas desta lista ... OBM-L, Agora lembrei. Infelizmente nao tenho mais as figuras ali citadas. Talvez lhe seja util falar um pouco da motivacao para este desenvolvimento. Quando eu estudei este assunto ( PA de ordem superior ) pela primeira vez me deparei com o seguinte teorema : A soma dos termos de uma progressao aritmetica de ordem P e um polinomio de ordem P+1 Este teorema e criticavel de diversas maneiras. Vou citar aqui as duas principais : 1) Pressupoe um conceito de ordem de uma progressao aritmetica que nao esta explicitamente enunciado e explicado 2) Voce precisa resolver um sistema de equacoes lineares para encontrar o polinomio que representa a soma dos termos da PA de ordem mais alta. Exemplo : Suponha que voce deseje encontrar o polinomio que representa a soma da progressao aritmetica de 2 ordem : 2^2, 5^2, 8^2, 11^2, ... , (3N-1)^2, ... Usando esse teorema voce precisa fazer assim : 1) Supor um polinomio soma S(N) = AN^3 + BN^2 + CN + D. fazer : 2) Fazer : S(1) = A + B + C + D = 4 = 2^2 S(2) = 8A + 4B + 2C + D = 29 = 2^2 + 5^2 S(3) = 27A + 9B + 3C + D = 110 = 2^2 + 5^2 + 8^2 S(4) = 64A + 16B + 4C + D = 131 = 2^2 + 5^2 + 8^2 + 11^2 3) Resolver o enorme sistema acima. 4) Montar o polinomio soma com coeficientes A, B, C e D Imagina para progressoes de ordem mais alta, digamos, de 7 ordem, etc. Um absurdo ! Portanto, era natural que eu procurasse uma forma de botar ordem nesta bagunca e desenvolver uma forma inteligente de fazer as coisas. Esta foi a minha principal motivacao. Com as tecnicas que eu desenvolvi e que voce pode ver na mensagem cujo link voce postou, voce pode encontrar o polinomio soma de uma PA de ordem qualquer em menos de 1 minuto. No caso particular que eu citei, temos : S(N) = A*Binom(N,1) + B*Binom(N,2) + C*Binom(N,3) onde A= A1=2^2 =4 , B=A2- A1= 5^2-2^2=21 e C=A3-2*A2 + A1 = 8^2 - 2*5^2 + 2^2=18 ou seja : S(N) = 4*Binom(N,1) + 21*Binom(N,2) + 18*Binom(N,3) As demonstracoes estao lá. Note que isto e um pequeno aspecto de algo mais amplo. Por exemplo, voce pode estender o conceito de progressao arimetica para incorporar progressoes de ordem negativa e fracionaria. A sequencia 1, (1/2)^3, (1/3)^3 , (1/4)^3 e um exemplo de uma PA de ordem -3. Neste caso, nao nos interessa a soma de uma quantidade finita de termos, mas o valor para onde a serie converge. A importancia de se estudar PA's de ordem superior e poder tratar de TRIANGULOS ARITMETICOS, que sao na verdade familias de PA's. Por exemplo, considere a sequencia : O triangulo de Pascal e apenas um caso particular dentro do universos dos trainguloas aritmeticos. Enfim, este estudo tem aplicacoes simles, como esta que voce esta abordando, mas tem tambem implicacoes nao tao simples, que nao e cabivel espor aqui. Um Abracao PSR, 21805090C01 2009/5/18 João Luís joaolui...@uol.com.br: O link é http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.1999a/msg00191.html Na verdade, você não anexou as imagens, e sim colou na mensagem... mas elas não aparecem aqui! - Original Message - From: Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, May 18, 2009 10:22 AM Subject: Re: [obm-l] A/C Paulo Santa Rita Ola joao e demais colegas desta lista ... OBM-L, OK ! Fico aguardando voce publicar o link. Um Abraco PSR,21005090A16 2009/5/18 João Luís joaolui...@uol.com.br: Você faz uma exposição bastante interessante sobre PAs de ordem 1, 2, 3,... introduzindo números binomiais (n,p), que vc denotou, na época, [N/P] Se ainda não deu pra lembrar, procuro a mensagem novamente e a envio completa pra você. Um abraço e muito obrigadoe pela sua atenção. João Luís. - Original Message - From: Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, May 18, 2009 8:43 AM Subject: Re: [obm-l] A/C Paulo Santa Rita Ola Joao e demais colegas desta lista ... OBM-L, Caro Joao, nao me lembro do que trata esta mensagem. Portanto, nao sei dizer se ainda tenho a suposta figura que porventura tenha anexado ... De forma mais especifica, qual o tema da mensagem ? E um problema particular de PA ou trata-se de uma possivel ampliacao deste conceito ? Fico feliz em saber que alguma coisa que publiquei aqui pode vir a ser util para enriquecer a sua prelecao. Para que esta mensagem mantenha a tradicao da nossa lista, vou postar aqui um problema - descobri isso, agora - antigo, postado pelo Eduardo Wilner, que, pelo que vi, nao despertou o interesse de qualquer dos membros desta nossa lista. E bonitinho : PROBLEMA : Determine todos os triangulos de lados inteiros nos quais o raio do circulo inscrito vale 2. Um Abraco a todos ! PSR,2180509082A 2009/5/17 João Luís joaolui...@uol.com.br: Esta mensagem é sobre outra mensagem, que o PSR enviou pra esta lista, há muito tempo atrás... Paulo, Preparando uma aula sobre progressões aritméticas, recorri aos arquivos da lista para pesquisar o material que já
Re: [obm-l] A/C Paulo Santa Rita
Em 18/05/2009 10:22, Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com escreveu:Ola joao e demais colegasdesta lista ... OBM-L,OK ! Fico aguardando voce publicar o link.Um AbracoPSR,21005090A162009/5/18 João LuÃs <joaolui...@uol.com.br>:>> Você faz uma exposição bastante interessante sobre PAs de ordem 1, 2, 3,...> introduzindo números binomiais (n,p), que vc denotou, na época, [N/P]>> Se ainda não deu pra lembrar, procuro a mensagem novamente e a envio> completa pra você.>> Um abraço e muito obrigadoe pela sua atenção.>> João LuÃs.>> - Original Message - From: "Paulo Santa Rita"> <paulo.santar...@gmail.com>> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>> Sent: Monday, May 18, 2009 8:43 AM> Subject: Re: [obm-l] A/C Paulo Santa Rita>>> Ola Joao e demais colegas> desta lista ... OBM-L,>> Caro Joao, nao me lembro do que trata esta mensagem. Portanto, nao sei> dizer se ainda tenho a suposta figura que porventura tenha anexado ...> De forma mais especifica, qual o tema da mensagem ? E um problema> particular de PA ou trata-se de uma possivel ampliacao deste conceito> ?>> Fico feliz em saber que alguma coisa que publiquei aqui pode vir a ser> util para enriquecer a sua prelecao.>> Para que esta mensagem mantenha a tradicao da nossa lista, vou postar> aqui um problema - descobri isso, agora - antigo, postado pelo Eduardo> Wilner, que, pelo que vi, nao despertou o interesse de qualquer dos> membros desta nossa lista. E bonitinho :>> PROBLEMA : Determine todos os triangulos de lados inteiros nos quais o> raio do circulo inscrito vale 2.>> Um Abraco a todos !> PSR,21805090 82A>>> 2009/5/17 João LuÃs <joaolui...@uol.com.br>:>> Esta mensagem é sobre outra mensagem, que o PSR enviou pra esta lista, há>> muito tempo atrás...>>>> Paulo,>>>> Preparando uma aula sobre progressões aritméticas, recorri aos arquivos da>> lista para pesquisar o material que já foi enviado sobre esse assunto, com>> o>> intuito de pesquisar novos fatos, novas abordagens, e enriquecer minha>> aula.>>>> Cheguei a uma mensagem sua de 15 de outubro de 1999, com o assunto>> "Investigações Aritméticas", do qual gostei muito. Em certa altura do seu>> texto, você cola duas figuras no corpo da mensagem. Você ainda possui>> essas>> figuras? Poderia enviá-las para mim?>>>> Se puder me ajudar, agradeço muito.>>>> Um abraço,>>>> João LuÃs.>> => Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html> =>> => Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html> =>=Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] A/C Paulo Santa Rita
Esta mensagem é sobre outra mensagem, que o PSR enviou pra esta lista, há muito tempo atrás... Paulo, Preparando uma aula sobre progressões aritméticas, recorri aos arquivos da lista para pesquisar o material que já foi enviado sobre esse assunto, com o intuito de pesquisar novos fatos, novas abordagens, e enriquecer minha aula. Cheguei a uma mensagem sua de 15 de outubro de 1999, com o assunto Investigações Aritméticas, do qual gostei muito. Em certa altura do seu texto, você cola duas figuras no corpo da mensagem. Você ainda possui essas figuras? Poderia enviá-las para mim? Se puder me ajudar, agradeço muito. Um abraço, João Luís.
