Re: RES: [obm-l] Cj. Cantor
Caro Artur,
Vou tentar explicar algumas dessas coisas:
Quoting Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]:
Com relacao a este assunto, eu gostaria que alguem esclarecesse algumas
duvidas, fiquei um tanto confuso:
A dimensao de Hausdorff eh baseada na medida (ou medida exterior, nao estou
certo) de Hausdorff, OK? Se A eh um conjunto de R^n eh H_d(A)eh a sua
medida d-dimensional de Hausdorff, entao a dimensao de Hausdorff D(A) eh
definida por infimo{d =0 | H_d(A) 0}, certo? A medida de Hausdorff eh uma
extensao da medida de Lebesgue, soh que em vez da soma dos volumes (volume,
aqui, no sentido geral) dos conjuntos da cobertura, tomam-se as potências d
deste volumes,
Mais precisamente toma-se potências d dos diâmetros dos conjuntos da
cobertura.
limitando o diametro dos conjuntos da cobertura em r0 e ,
depois , tomando-se o infimo em r=0 desta somas de potencias d dos volumes.
E fazendo r tender a 0, ou seja, tomando o liminf dessas somas quando r
tende a 0.
Assim, para d=1 as medidas de Hausdorff e de Lebesgue se confundem, certo?
Certo.
Se H_d(A) oo, entao H_p(A) = 0 para p d e H_p(A) = oo para 0= p d. Eh
isso mesmo?
Sim.
O Gugu dise que existe um conjunto de cantor K com dimensao de Hausdorff
nula e tal que K - K seja um intervalo. Isto implica que, em R^n, eh
possivel que um conjunto A tenha medida de Lebesgue nula e que, ainda assim,
A- A contenha uma bola, certo?
Sim. Mas isso já segue de tomar A igual ao conjunto de Cantor usual
(que tem dimensão de Hausdorff positiva mas medida de Lebesgue nula).
Tambem eh verdade em R^n que, se A tem medida positiva (compacto ou nao),
entao A - A contem uma bola centrada na origem e A + A contem uma bola em
algum lugar, certo?
Sim.
Existe o classico conjunto de Cantor, obtido removendo-se sucessivamente
tercos de intervalos de [0, 1], o qual eh compacto e tem medida nula, logo
interior vazio. Mas falou-se em conjuntos de Cantor, logo existem outros
que ateh podem conter intervalos. Como sao construidas estas generalizacoes
do conjunto basico de Cantor?
Conjuntos de Cantor são conjuntos homeomorfos ao conjunto de Cantor
usual, e portanto não contêm intervalos. Os conjuntos de Cantor
contidos na reta real são exatamente os conjuntos compactos, sem
pontos isolados e de interior vazio.
Abraços,
Gugu
Obrigado
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: terça-feira, 4 de julho de 2006 20:00
Para: Nicolau C. Saldanha
Cc: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] Cj. Cantor
Oi Nicolau,
Na verdade, estritamente falando, a sua afirmação não é verdadeira:
é possível exibir um conjunto de Cantor A na reta com dimensão de
Hausdorff 1 tal que A-A tem medida nula. O meu trabalho com o Yoccoz,
no qual provamos uma conjectura do Jacob, implica que a maioria
(aberto, denso e de medida total)dos conjuntos de Cantor
dinamicamente definidos por funções expansoras (pelo menos de classe
C^(1+d), com d0; para C^1 é genericamente falso) K com dimensão de
Hausdorff maior que 1/2 é tal que K-K tem interior não-vazio. Por outro
lado, para Conjuntos de Cantor bem-comportados (por exemplo
dinamicamente definidos) K com dimensão de Hausdorff menor que 1/2, K-K
tem medida nula. Isso vale sempre que a capacidade limite (que, para
conjuntos bem-comportados, coincide com a dimensão de Hausdorff) de K é
menor que 1/2. Por outro lado é possível construir um conjunto de
Cantor K na reta com domensão de Hausdorff 0 tal que K-K é um intervalo.
Abraços,
Gugu
Quoting Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]:
On Tue, Jul 04, 2006 at 11:28:39AM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
Esta conclusao a respeito do conjunto K de Cantor eh exemplo de uma
conclusao interessante. Sabemos que se um conjunto A de R^n tem medida de
Lebesgue positiva, entao A - A contem uma bola centrada na origem. Mas a
reciproca na eh vedadeira. K tem medida nula e, mesmo assim, K - K = [-1,
1], que eh uma bola em R centrada na origem.
Novamente, o Gugu é a autoridade no assunto, mas existe um número a,
0 a 1, tal que se a dimensão de Hausdorff de um subconjunto compacto
A de R é maior do que a então A-A contem uma bola centrada na origem.
Infelizmente eu não sei qual é o menor valor de a para o qual vale
este resultado, nem sei se o nosso exemplo segue deste resultado geral.
Se A tem medida positiva sua dimensão de Hausdorff é 1;
a dimensão de Hausdorff de K (o conjunto de Cantor usual)
é log 2/log 3 ~= 0.63.
[]s, N.
This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
Re: RES: [obm-l] Cj. Cantor
Muito obrigado! Este eh um assunto que me fascina, mas
no qual encontro alguma dificuldade. Custei a entender
o conceito da medida de Hausdorff.
Abracos
Artur
--- [EMAIL PROTECTED] wrote:
Caro Artur,
Vou tentar explicar algumas dessas coisas:
Quoting Artur Costa Steiner
[EMAIL PROTECTED]:
Com relacao a este assunto, eu gostaria que alguem
esclarecesse algumas
duvidas, fiquei um tanto confuso:
A dimensao de Hausdorff eh baseada na medida (ou
medida exterior, nao estou
certo) de Hausdorff, OK? Se A eh um conjunto de
R^n eh H_d(A)eh a sua
medida d-dimensional de Hausdorff, entao a
dimensao de Hausdorff D(A) eh
definida por infimo{d =0 | H_d(A) 0}, certo? A
medida de Hausdorff eh uma
extensao da medida de Lebesgue, soh que em vez da
soma dos volumes (volume,
aqui, no sentido geral) dos conjuntos da
cobertura, tomam-se as potências d
deste volumes,
Mais precisamente toma-se potências d dos diâmetros
dos conjuntos da
cobertura.
limitando o diametro dos conjuntos da cobertura em
r0 e ,
depois , tomando-se o infimo em r=0 desta somas
de potencias d dos volumes.
E fazendo r tender a 0, ou seja, tomando o liminf
dessas somas quando r
tende a 0.
Assim, para d=1 as medidas de Hausdorff e de
Lebesgue se confundem, certo?
Certo.
Se H_d(A) oo, entao H_p(A) = 0 para p d e
H_p(A) = oo para 0= p d. Eh
isso mesmo?
Sim.
O Gugu dise que existe um conjunto de cantor K
com dimensao de Hausdorff
nula e tal que K - K seja um intervalo. Isto
implica que, em R^n, eh
possivel que um conjunto A tenha medida de
Lebesgue nula e que, ainda assim,
A- A contenha uma bola, certo?
Sim. Mas isso já segue de tomar A igual ao conjunto
de Cantor usual
(que tem dimensão de Hausdorff positiva mas medida
de Lebesgue nula).
Tambem eh verdade em R^n que, se A tem medida
positiva (compacto ou nao),
entao A - A contem uma bola centrada na origem e A
+ A contem uma bola em
algum lugar, certo?
Sim.
Existe o classico conjunto de Cantor, obtido
removendo-se sucessivamente
tercos de intervalos de [0, 1], o qual eh compacto
e tem medida nula, logo
interior vazio. Mas falou-se em conjuntos de
Cantor, logo existem outros
que ateh podem conter intervalos. Como sao
construidas estas generalizacoes
do conjunto basico de Cantor?
Conjuntos de Cantor são conjuntos homeomorfos ao
conjunto de Cantor
usual, e portanto não contêm intervalos. Os
conjuntos de Cantor
contidos na reta real são exatamente os conjuntos
compactos, sem
pontos isolados e de interior vazio.
Abraços,
Gugu
Obrigado
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: terça-feira, 4 de julho de 2006 20:00
Para: Nicolau C. Saldanha
Cc: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] Cj. Cantor
Oi Nicolau,
Na verdade, estritamente falando, a sua
afirmação não é verdadeira:
é possível exibir um conjunto de Cantor A na reta
com dimensão de
Hausdorff 1 tal que A-A tem medida nula. O meu
trabalho com o Yoccoz,
no qual provamos uma conjectura do Jacob, implica
que a maioria
(aberto, denso e de medida total)dos conjuntos
de Cantor
dinamicamente definidos por funções expansoras
(pelo menos de classe
C^(1+d), com d0; para C^1 é genericamente falso)
K com dimensão de
Hausdorff maior que 1/2 é tal que K-K tem interior
não-vazio. Por outro
lado, para Conjuntos de Cantor bem-comportados
(por exemplo
dinamicamente definidos) K com dimensão de
Hausdorff menor que 1/2, K-K
tem medida nula. Isso vale sempre que a capacidade
limite (que, para
conjuntos bem-comportados, coincide com a dimensão
de Hausdorff) de K é
menor que 1/2. Por outro lado é possível construir
um conjunto de
Cantor K na reta com domensão de Hausdorff 0 tal
que K-K é um intervalo.
Abraços,
Gugu
Quoting Nicolau C. Saldanha
[EMAIL PROTECTED]:
On Tue, Jul 04, 2006 at 11:28:39AM -0300, Artur
Costa Steiner wrote:
Esta conclusao a respeito do conjunto K de
Cantor eh exemplo de uma
conclusao interessante. Sabemos que se um
conjunto A de R^n tem medida de
Lebesgue positiva, entao A - A contem uma bola
centrada na origem. Mas a
reciproca na eh vedadeira. K tem medida nula e,
mesmo assim, K - K = [-1,
1], que eh uma bola em R centrada na origem.
Novamente, o Gugu é a autoridade no assunto, mas
existe um número a,
0 a 1, tal que se a dimensão de Hausdorff de
um subconjunto compacto
A de R é maior do que a então A-A contem uma bola
centrada na origem.
Infelizmente eu não sei qual é o menor valor de a
para o qual vale
este resultado, nem sei se o nosso exemplo segue
deste resultado geral.
Se A tem medida positiva sua dimensão de
Hausdorff é 1;
a dimensão de Hausdorff de K (o conjunto de
Cantor usual)
é log 2/log 3 ~= 0.63.
[]s, N
RES: [obm-l] Cj. Cantor
Com relacao a este assunto, eu gostaria que alguem esclarecesse algumas
duvidas, fiquei um tanto confuso:
A dimensao de Hausdorff eh baseada na medida (ou medida exterior, nao estou
certo) de Hausdorff, OK? Se A eh um conjunto de R^n eh H_d(A)eh a sua
medida d-dimensional de Hausdorff, entao a dimensao de Hausdorff D(A) eh
definida por infimo{d =0 | H_d(A) 0}, certo? A medida de Hausdorff eh uma
extensao da medida de Lebesgue, soh que em vez da soma dos volumes (volume,
aqui, no sentido geral) dos conjuntos da cobertura, tomam-se as potências d
deste volumes, limitando o diametro dos conjuntos da cobertura em r0 e ,
depois , tomando-se o infimo em r=0 desta somas de potencias d dos volumes.
Assim, para d=1 as medidas de Hausdorff e de Lebesgue se confundem, certo?
Se H_d(A) oo, entao H_p(A) = 0 para p d e H_p(A) = oo para 0= p d. Eh
isso mesmo?
O Gugu dise que existe um conjunto de cantor K com dimensao de Hausdorff
nula e tal que K - K seja um intervalo. Isto implica que, em R^n, eh
possivel que um conjunto A tenha medida de Lebesgue nula e que, ainda assim,
A- A contenha uma bola, certo?
Tambem eh verdade em R^n que, se A tem medida positiva (compacto ou nao),
entao A - A contem uma bola centrada na origem e A + A contem uma bola em
algum lugar, certo?
Existe o classico conjunto de Cantor, obtido removendo-se sucessivamente
tercos de intervalos de [0, 1], o qual eh compacto e tem medida nula, logo
interior vazio. Mas falou-se em conjuntos de Cantor, logo existem outros
que ateh podem conter intervalos. Como sao construidas estas generalizacoes
do conjunto basico de Cantor?
Obrigado
Artur
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De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: terça-feira, 4 de julho de 2006 20:00
Para: Nicolau C. Saldanha
Cc: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] Cj. Cantor
Oi Nicolau,
Na verdade, estritamente falando, a sua afirmação não é verdadeira:
é possível exibir um conjunto de Cantor A na reta com dimensão de
Hausdorff 1 tal que A-A tem medida nula. O meu trabalho com o Yoccoz,
no qual provamos uma conjectura do Jacob, implica que a maioria
(aberto, denso e de medida total)dos conjuntos de Cantor
dinamicamente definidos por funções expansoras (pelo menos de classe
C^(1+d), com d0; para C^1 é genericamente falso) K com dimensão de
Hausdorff maior que 1/2 é tal que K-K tem interior não-vazio. Por outro
lado, para Conjuntos de Cantor bem-comportados (por exemplo
dinamicamente definidos) K com dimensão de Hausdorff menor que 1/2, K-K
tem medida nula. Isso vale sempre que a capacidade limite (que, para
conjuntos bem-comportados, coincide com a dimensão de Hausdorff) de K é
menor que 1/2. Por outro lado é possível construir um conjunto de
Cantor K na reta com domensão de Hausdorff 0 tal que K-K é um intervalo.
Abraços,
Gugu
Quoting Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]:
On Tue, Jul 04, 2006 at 11:28:39AM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
Esta conclusao a respeito do conjunto K de Cantor eh exemplo de uma
conclusao interessante. Sabemos que se um conjunto A de R^n tem medida de
Lebesgue positiva, entao A - A contem uma bola centrada na origem. Mas a
reciproca na eh vedadeira. K tem medida nula e, mesmo assim, K - K = [-1,
1], que eh uma bola em R centrada na origem.
Novamente, o Gugu é a autoridade no assunto, mas existe um número a,
0 a 1, tal que se a dimensão de Hausdorff de um subconjunto compacto
A de R é maior do que a então A-A contem uma bola centrada na origem.
Infelizmente eu não sei qual é o menor valor de a para o qual vale
este resultado, nem sei se o nosso exemplo segue deste resultado geral.
Se A tem medida positiva sua dimensão de Hausdorff é 1;
a dimensão de Hausdorff de K (o conjunto de Cantor usual)
é log 2/log 3 ~= 0.63.
[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RES: [obm-l] Cj. Cantor
Com relacao a este assunto, eu gostaria que alguem
esclarecesse algumas duvidas, fiquei um tanto confuso:
A dimensao de Hausdorff eh baseada na medida (ou
medida exterior, nao estou certo) de Hausdorff, OK? Se
A eh um conjunto de R^n eh H_d(A)eh a sua medida
d-dimensional de Hausdorff, entao a dimensao de
Hausdorff D(A) eh definida por infimo{d =0 | H_d(A)
0}, certo? A medida de Hausdorff eh uma extensao da
medida de Lebesgue, soh que em vez da soma dos volumes
(volume, aqui, no sentido geral) dos conjuntos da
cobertura, tomam-se as potências d deste volumes,
limitando o diametro dos conjuntos da cobertura em r0
e , depois , tomando-se o infimo em r=0 desta somas
de potencias d dos volumes. Assim, para d=1 as medidas
de Hausdorff e de Lebesgue se confundem, certo? Se
H_d(A) oo, entao H_p(A) = 0 para p d e H_p(A) = oo
para 0= p d. Eh isso mesmo?
O Gugu dise que existe um conjunto de cantor K com
dimensao de Hausdorff nula e tal que K - K seja um
intervalo. Isto implica que, em R^n, eh possivel que
um conjunto A tenha medida de Lebesgue nula e que,
ainda assim, A- A contenha uma bola, certo?
Tambem eh verdade em R^n que, se A tem medida positiva
(compacto ou nao), entao A - A contem uma bola
centrada na origem e A + A contem uma bola em algum
lugar, certo?
Existe o classico conjunto de Cantor, obtido
removendo-se sucessivamente tercos de intervalos de
[0, 1], o qual eh compacto e tem medida nula, logo
interior vazio. Mas falou-se em conjuntos de Cantor,
logo existem outros que ateh podem conter intervalos.
Como sao construidas estas generalizacoes do conjunto
basico de Cantor?
Obrigado
Artur
--- [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi Nicolau,
Na verdade, estritamente falando, a sua
afirmação não é verdadeira:
é possível exibir um conjunto de Cantor A na reta
com dimensão de
Hausdorff 1 tal que A-A tem medida nula. O meu
trabalho com o Yoccoz,
no qual provamos uma conjectura do Jacob, implica
que a maioria
(aberto, denso e de medida total)dos conjuntos de
Cantor
dinamicamente definidos por funções expansoras (pelo
menos de classe
C^(1+d), com d0; para C^1 é genericamente falso) K
com dimensão de
Hausdorff maior que 1/2 é tal que K-K tem interior
não-vazio. Por outro
lado, para Conjuntos de Cantor bem-comportados
(por exemplo
dinamicamente definidos) K com dimensão de Hausdorff
menor que 1/2, K-K
tem medida nula. Isso vale sempre que a capacidade
limite (que, para
conjuntos bem-comportados, coincide com a dimensão
de Hausdorff) de K é
menor que 1/2. Por outro lado é possível construir
um conjunto de
Cantor K na reta com domensão de Hausdorff 0 tal que
K-K é um intervalo.
Abraços,
Gugu
Quoting Nicolau C. Saldanha
[EMAIL PROTECTED]:
On Tue, Jul 04, 2006 at 11:28:39AM -0300, Artur
Costa Steiner wrote:
Esta conclusao a respeito do conjunto K de Cantor
eh exemplo de uma
conclusao interessante. Sabemos que se um
conjunto A de R^n tem medida de
Lebesgue positiva, entao A - A contem uma bola
centrada na origem. Mas a
reciproca na eh vedadeira. K tem medida nula e,
mesmo assim, K - K = [-1,
1], que eh uma bola em R centrada na origem.
Novamente, o Gugu é a autoridade no assunto, mas
existe um número a,
0 a 1, tal que se a dimensão de Hausdorff de
um subconjunto compacto
A de R é maior do que a então A-A contem uma bola
centrada na origem.
Infelizmente eu não sei qual é o menor valor de a
para o qual vale
este resultado, nem sei se o nosso exemplo segue
deste resultado geral.
Se A tem medida positiva sua dimensão de Hausdorff
é 1;
a dimensão de Hausdorff de K (o conjunto de Cantor
usual)
é log 2/log 3 ~= 0.63.
[]s, N.
This message was sent using IMP, the Internet
Messaging Program.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e
usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
__
Do You Yahoo!?
Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around
http://mail.yahoo.com
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RES: [obm-l] Cj. Cantor
Esta conclusao a respeito do conjunto K de Cantor eh exemplo de uma
conclusao interessante. Sabemos que se um conjunto A de R^n tem medida de
Lebesgue positiva, entao A - A contem uma bola centrada na origem. Mas a
reciproca na eh vedadeira. K tem medida nula e, mesmo assim, K - K = [-1,
1], que eh uma bola em R centrada na origem.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Nicolau C. Saldanha
Enviada em: segunda-feira, 3 de julho de 2006 16:55
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Cj. Cantor
On Mon, Jul 03, 2006 at 02:47:32PM -0300, Eduardo Casagrande Stabel wrote:
Tem um probl. do Elon que é mostrar que { |x-y| , x e y em K }, onde K é o
cj. de Cantor, é [0,1]. Pensei sobre o probl. e cheguei a conclusão que
ele
é falso. Pois K é contido em K_2 = [0,1/9] U [2/9,1/3] U [2/3,7/9] U
[8/9,1]. E é fácil (realmente é) constatar que
{ |x-y| , x e y em K_2 } = [0,1] \ [4/9,5/9].
oe x em [2/3,7/9] e y em [2/9,1/3]: x-y pode assumir qualquer valor
entre 2/3-1/3=1/3 e 7/9-2/9=5/9. Assim os números entre 4/6 e 5/9
pertencem a { |x-y| , x e y em K_2 }. Por exemplo, 3/4 em [2/3,7/9],
1/4 em [2/9,1/3] donde 1/2 = 3/4 - 1/4 em { |x-y| , x e y em K_2 }.
Na verdade é fácil verificar que { |x-y| , x e y em K_2 } = [0,1].
Como K é contido em K_2, {
|x-y| , x e y em K } é contido em { |x-y| , x e y em K_2 } = [0,1] \
[4/9,5/9]. Logo o problema é falso.
O problema está correto. Não vou mandar a solução mas mando uma dica:
escreva os números na base 3.
Aliás, o Gugu, colaborador desta lista, é especialista mundial
em diferenças aritméticas de conjuntos de Cantor (este problema
é um caso super especial).
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: RES: [obm-l] Cj. Cantor
On Tue, Jul 04, 2006 at 11:28:39AM -0300, Artur Costa Steiner wrote: Esta conclusao a respeito do conjunto K de Cantor eh exemplo de uma conclusao interessante. Sabemos que se um conjunto A de R^n tem medida de Lebesgue positiva, entao A - A contem uma bola centrada na origem. Mas a reciproca na eh vedadeira. K tem medida nula e, mesmo assim, K - K = [-1, 1], que eh uma bola em R centrada na origem. Novamente, o Gugu é a autoridade no assunto, mas existe um número a, 0 a 1, tal que se a dimensão de Hausdorff de um subconjunto compacto A de R é maior do que a então A-A contem uma bola centrada na origem. Infelizmente eu não sei qual é o menor valor de a para o qual vale este resultado, nem sei se o nosso exemplo segue deste resultado geral. Se A tem medida positiva sua dimensão de Hausdorff é 1; a dimensão de Hausdorff de K (o conjunto de Cantor usual) é log 2/log 3 ~= 0.63. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cj. Cantor
Ah, certo, percebi qual é o meu erro. Valeu!Em 03/07/06, Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu:
On Mon, Jul 03, 2006 at 02:47:32PM -0300, Eduardo Casagrande Stabel wrote: Tem um probl. do Elon que é mostrar que { |x-y| , x e y em K }, onde K é o
cj. de Cantor, é [0,1]. Pensei sobre o probl. e cheguei a conclusão que ele é falso. Pois K é contido em K_2 = [0,1/9] U [2/9,1/3] U [2/3,7/9] U [8/9,1]. E é fácil (realmente é) constatar que
{ |x-y| , x e y em K_2 } = [0,1] \ [4/9,5/9].oe x em [2/3,7/9] e y em [2/9,1/3]: x-y pode assumir qualquer valorentre 2/3-1/3=1/3 e 7/9-2/9=5/9. Assim os números entre 4/6 e 5/9pertencem a { |x-y| , x e y em K_2 }. Por exemplo, 3/4 em [2/3,7/9],
1/4 em [2/9,1/3] donde 1/2 = 3/4 - 1/4 em { |x-y| , x e y em K_2 }.Na verdade é fácil verificar que { |x-y| , x e y em K_2 } = [0,1]. Como K é contido em K_2, { |x-y| , x e y em K } é contido em { |x-y| , x e y em K_2 } = [0,1] \
[4/9,5/9]. Logo o problema é falso.O problema está correto. Não vou mandar a solução mas mando uma dica:escreva os números na base 3.Aliás, o Gugu, colaborador desta lista, é especialista mundial
em diferenças aritméticas de conjuntos de Cantor (este problemaé um caso super especial).[]s, N.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
-- [EMAIL PROTECTED]http://paginas.terra.com.br/arte/dudastabel/
Re: RES: [obm-l] Cj. Cantor
Oi Nicolau, Na verdade, estritamente falando, a sua afirmação não é verdadeira: é possível exibir um conjunto de Cantor A na reta com dimensão de Hausdorff 1 tal que A-A tem medida nula. O meu trabalho com o Yoccoz, no qual provamos uma conjectura do Jacob, implica que a maioria (aberto, denso e de medida total)dos conjuntos de Cantor dinamicamente definidos por funções expansoras (pelo menos de classe C^(1+d), com d0; para C^1 é genericamente falso) K com dimensão de Hausdorff maior que 1/2 é tal que K-K tem interior não-vazio. Por outro lado, para Conjuntos de Cantor bem-comportados (por exemplo dinamicamente definidos) K com dimensão de Hausdorff menor que 1/2, K-K tem medida nula. Isso vale sempre que a capacidade limite (que, para conjuntos bem-comportados, coincide com a dimensão de Hausdorff) de K é menor que 1/2. Por outro lado é possível construir um conjunto de Cantor K na reta com domensão de Hausdorff 0 tal que K-K é um intervalo. Abraços, Gugu Quoting Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]: On Tue, Jul 04, 2006 at 11:28:39AM -0300, Artur Costa Steiner wrote: Esta conclusao a respeito do conjunto K de Cantor eh exemplo de uma conclusao interessante. Sabemos que se um conjunto A de R^n tem medida de Lebesgue positiva, entao A - A contem uma bola centrada na origem. Mas a reciproca na eh vedadeira. K tem medida nula e, mesmo assim, K - K = [-1, 1], que eh uma bola em R centrada na origem. Novamente, o Gugu é a autoridade no assunto, mas existe um número a, 0 a 1, tal que se a dimensão de Hausdorff de um subconjunto compacto A de R é maior do que a então A-A contem uma bola centrada na origem. Infelizmente eu não sei qual é o menor valor de a para o qual vale este resultado, nem sei se o nosso exemplo segue deste resultado geral. Se A tem medida positiva sua dimensão de Hausdorff é 1; a dimensão de Hausdorff de K (o conjunto de Cantor usual) é log 2/log 3 ~= 0.63. []s, N. This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Cj. Cantor
Tem um probl. do Elon que é mostrar que { |x-y| , x e y em K }, onde K é o cj. de Cantor, é [0,1]. Pensei sobre o probl. e cheguei a conclusão que ele é falso. Pois K é contido em K_2 = [0,1/9] U [2/9,1/3] U [2/3,7/9] U [8/9,1]. E é fácil (realmente é) constatar que
{ |x-y| , x e y em K_2 } = [0,1] \ [4/9,5/9]. Como K é contido em K_2, { |x-y| , x e y em K } é contido em { |x-y| , x e y em K_2 } = [0,1] \ [4/9,5/9]. Logo o problema é falso.Concordam?Duda
-- [EMAIL PROTECTED]http://paginas.terra.com.br/arte/dudastabel/
Re: [obm-l] Cj. Cantor
On Mon, Jul 03, 2006 at 02:47:32PM -0300, Eduardo Casagrande Stabel wrote:
Tem um probl. do Elon que é mostrar que { |x-y| , x e y em K }, onde K é o
cj. de Cantor, é [0,1]. Pensei sobre o probl. e cheguei a conclusão que
ele
é falso. Pois K é contido em K_2 = [0,1/9] U [2/9,1/3] U [2/3,7/9] U
[8/9,1]. E é fácil (realmente é) constatar que
{ |x-y| , x e y em K_2 } = [0,1] \ [4/9,5/9].
oe x em [2/3,7/9] e y em [2/9,1/3]: x-y pode assumir qualquer valor
entre 2/3-1/3=1/3 e 7/9-2/9=5/9. Assim os números entre 4/6 e 5/9
pertencem a { |x-y| , x e y em K_2 }. Por exemplo, 3/4 em [2/3,7/9],
1/4 em [2/9,1/3] donde 1/2 = 3/4 - 1/4 em { |x-y| , x e y em K_2 }.
Na verdade é fácil verificar que { |x-y| , x e y em K_2 } = [0,1].
Como K é contido em K_2, {
|x-y| , x e y em K } é contido em { |x-y| , x e y em K_2 } = [0,1] \
[4/9,5/9]. Logo o problema é falso.
O problema está correto. Não vou mandar a solução mas mando uma dica:
escreva os números na base 3.
Aliás, o Gugu, colaborador desta lista, é especialista mundial
em diferenças aritméticas de conjuntos de Cantor (este problema
é um caso super especial).
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
