Res: [obm-l] Equacao funcional II
Olá Shine, obrigado pelo esclarecimento. Contudo, ainda tenho algumas dúvidas. Como que eu construo f nos inteiros? Como eu acho f(2) , f(3), f(5)... tentei aqui, mas num consegui não. E tb por que definiu-se f(p_n) = p_(n-1) p/ n par ; 1/p_(n+1) p/ n impar? O que lhe chamou a atenção pra provar que f é multiplicativa? Grato. - Mensagem original De: Carlos Yuzo Shine [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 25 de Julho de 2007 19:00:30 Assunto: Re: [obm-l] Equacao funcional II Oi Klaus, O fato central que mostra que a função só precisa ser definida nos primos é que a função é multiplicativa, ou seja, que f(xy) = f(x)f(y) (o que foi feito no artigo). Assim, no seu exemplo, f(4) = f(2).f(2), e precisamos só definir f(2), e 2 é primo. Mas permita-me dar um argumento tentativamente mais convincente. Primeiro, vou provar que só precisamos definir f nos inteiros: como f é de Q+ em Q+, então só precisamos definir f(x), com x = m/n, m, n inteiros positivos (note que Q+ é o conjunto dos racionais positivos). Note que nx = m, e como f é multiplicativa f(m) = f(n)f(x) = f(x) = f(m)/f(n). Por exemplo, f(3/7) = f(3)/f(7). Assim, encontrados os valores da função em Z+, encontramos os valores da função em Q+. Agora, os primos. Primeiro, note que f(1) = f(1)f(1) e, sendo f de Q+ em Q+, f(1) = 1 (note que f só assume valores racionais positivos, logo f(x) não pode ser igual a zero). Agora, note que todo inteiro maior do que 1 pode ser escrito como produto de primos. Por exemplo, 6000 = 2^4 . 3 . 5^3. Aí, como f é multiplicativa, f(n) é igual ao produto da f dos primos de sua fatoração. No nosso exemplo, f(6000) = (f(2))^4 . f(3) . (f(5))^3. Observe também que f(mnp) = f(m)f(np) = f(m)f(n)f(p), ou seja, uma função multiplicativa a é para mais de dois fatores também (a demonstração formal disso é por indução sobre a quantidade de fatores, mas tenho certeza de que você consegue enxergá-la). Bom, talvez a sua dúvida seja por que a função é multiplicativa. Para isso, faça x = 1 para ver que f(f(y)) = f(1)/y e, sendo f(1) diferente de zero, f(f(y)) é uma função bijetora e, portanto, f também é bijetora, em particular injetora (a demonstração da injetividade é bem rápida: f(x) = f(y) = f(f(x)) = f(f(y)) = f(1)/x = f(1)/y = x = y). Agora, note que f(f(xy)) = f(1)/xy (é só trocar x por 1 e y por xy) e f(f(x)f(y)) = f(f(x))/y = f(1)/xy (troque x por f(x) e lembre que f(f(x)) = f(1)/x). Logo f(f(xy)) = f(f(x)f(y)) e, sendo f injetora, f(xy) = f(x)f(y). []'s Shine - Original Message From: Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, July 25, 2007 5:54:36 PM Subject: [obm-l] Equacao funcional II No site da obm. http://www.obm.org.br/frameset-eureka.htm tem um artigo sobre equações funcionais do Eduardo Tengan. Nele tem um problema assim: Seja Q+ o conjunto dos racionais postivos. Construa uma função f: Q+--Q+ tal que f(xf(y))=f(x)/y, para todo x,y E Q+. Tem a solução logo abaixo, só no final ele diz assim Assim, basta construir a função para os inteiros positivos. Mais ainda, basta defini-la para os primos. Por quê? e outra, se eu quisesse saber por exemplo f(4) não daria. Ele só definiu para os primos. Grato. Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais. Need a vacation? Get great deals to amazing places on Yahoo! Travel. Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. http://www.flickr.com.br/
[obm-l] Equacao funcional II
No site da obm. http://www.obm.org.br/frameset-eureka.htm tem um artigo sobre equações funcionais do Eduardo Tengan. Nele tem um problema assim: Seja Q+ o conjunto dos racionais postivos. Construa uma função f: Q+--Q+ tal que f(xf(y))=f(x)/y, para todo x,y E Q+. Tem a solução logo abaixo, só no final ele diz assim Assim, basta construir a função para os inteiros positivos. Mais ainda, basta defini-la para os primos. Por quê? e outra, se eu quisesse saber por exemplo f(4) não daria. Ele só definiu para os primos. Grato. Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. http://www.flickr.com.br/
Re: [obm-l] Equacao funcional II
Oi Klaus, O fato central que mostra que a função só precisa ser definida nos primos é que a função é multiplicativa, ou seja, que f(xy) = f(x)f(y) (o que foi feito no artigo). Assim, no seu exemplo, f(4) = f(2).f(2), e precisamos só definir f(2), e 2 é primo. Mas permita-me dar um argumento tentativamente mais convincente. Primeiro, vou provar que só precisamos definir f nos inteiros: como f é de Q+ em Q+, então só precisamos definir f(x), com x = m/n, m, n inteiros positivos (note que Q+ é o conjunto dos racionais positivos). Note que nx = m, e como f é multiplicativa f(m) = f(n)f(x) = f(x) = f(m)/f(n). Por exemplo, f(3/7) = f(3)/f(7). Assim, encontrados os valores da função em Z+, encontramos os valores da função em Q+. Agora, os primos. Primeiro, note que f(1) = f(1)f(1) e, sendo f de Q+ em Q+, f(1) = 1 (note que f só assume valores racionais positivos, logo f(x) não pode ser igual a zero). Agora, note que todo inteiro maior do que 1 pode ser escrito como produto de primos. Por exemplo, 6000 = 2^4 . 3 . 5^3. Aí, como f é multiplicativa, f(n) é igual ao produto da f dos primos de sua fatoração. No nosso exemplo, f(6000) = (f(2))^4 . f(3) . (f(5))^3. Observe também que f(mnp) = f(m)f(np) = f(m)f(n)f(p), ou seja, uma função multiplicativa a é para mais de dois fatores também (a demonstração formal disso é por indução sobre a quantidade de fatores, mas tenho certeza de que você consegue enxergá-la). Bom, talvez a sua dúvida seja por que a função é multiplicativa. Para isso, faça x = 1 para ver que f(f(y)) = f(1)/y e, sendo f(1) diferente de zero, f(f(y)) é uma função bijetora e, portanto, f também é bijetora, em particular injetora (a demonstração da injetividade é bem rápida: f(x) = f(y) = f(f(x)) = f(f(y)) = f(1)/x = f(1)/y = x = y). Agora, note que f(f(xy)) = f(1)/xy (é só trocar x por 1 e y por xy) e f(f(x)f(y)) = f(f(x))/y = f(1)/xy (troque x por f(x) e lembre que f(f(x)) = f(1)/x). Logo f(f(xy)) = f(f(x)f(y)) e, sendo f injetora, f(xy) = f(x)f(y). []'s Shine - Original Message From: Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, July 25, 2007 5:54:36 PM Subject: [obm-l] Equacao funcional II No site da obm. http://www.obm.org.br/frameset-eureka.htm tem um artigo sobre equações funcionais do Eduardo Tengan. Nele tem um problema assim: Seja Q+ o conjunto dos racionais postivos. Construa uma função f: Q+--Q+ tal que f(xf(y))=f(x)/y, para todo x,y E Q+. Tem a solução logo abaixo, só no final ele diz assim Assim, basta construir a função para os inteiros positivos. Mais ainda, basta defini-la para os primos. Por quê? e outra, se eu quisesse saber por exemplo f(4) não daria. Ele só definiu para os primos. Grato. Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais. Building a website is a piece of cake. Yahoo! Small Business gives you all the tools to get online. http://smallbusiness.yahoo.com/webhosting
