[obm-l] Fórmula de moivre
Desculpa ae, eu me expressei mal.Essa questão foi formulada para que um aluno do ensino médio consiga resolvê-la.De fato não faz sentido em dizer "sem usar indução" , "sem usar limite "dado que até para se demonstrar verdadeira uma soma é necessário usar indução e os axiomas de Peano...A questão foi proposta de modo recreativo, as condições impostas só fazem sentido no espírito de quem gosta de desafio.Essa questão tem um caráter recreativo, e nada mais. Em verdade, o que eu quis dizer foi usando apenas as ferramentas do ensino médio. E que seria um desafio bacana para estudantes do nível médio. -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fórmula de Moivre
Interessante que a fórmula dr Moivre vale para todo complexo z, embora tenha mais importância para z real. Em qua, 29 de ago de 2018 19:37, Claudio Buffara escreveu: > Eu acho que dá pra deduzir a fórmula de DeMoivre com base na definição da > exponencial complexa via a extensão da série de Taylor pro domínio complexo: > e^z = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + ... > Com z = ix (x real) e as séries de Taylor (em R) de sen e cos você acha > e^(ix) = cos(x) + i*sen(x). > (e todas as manipulações com séries são válidas já que elas convergem > absolutamente e uniformemente em compactos) > Com a ajuda do teorema do binômio, você prova que e^(z+w) = e^z*e^w e, > portanto (usando indução), que e^(nz) = (e^z)^n. > Finalmente, pondo z = ix (x real), você chega à fórmula de DeMoivre. > > De resto, concordo com o Antonio Carlos: o princípio da indução está na > base da matemática. É a propriedade essencial do conjunto dos números > naturais. Assim, o não-uso deliberado de indução não me parece produtivo. > Além disso, a capacidade de raciocinar recursivamente é importante pra > quem quer resolver problemas matemáticos (por exemplo, em combinatória e > teoria dos grafos) e tecnológicos (especialmente em computação). > > Dito isso, estou curioso pra ver uma demonstração não indutiva da fórmula > de DeMoivre. > > []s, > Claudio. > > > On Wed, Aug 29, 2018 at 6:49 PM Antonio Carlos > wrote: > >> Usando a fórmula de Euler para z = r(cosx + i senx), temos z = re^(ix) e >> pela propriedade de multiplicação de exponenciais complexas z^n = >> r^ne^(inx). >> >> Para r = 1, temos z^n = (cosx + i senx)^n = e^(inx) = cos(nx) + i >> sen(nx), que é a fórmula de Moivre. >> >> Uma ressalva: a terceira igualdade que exibi se prova indutivamente >> utilizando a propriedade mencionada de exponenciais complexas. Eu não >> conheço outra prova disto sem usar indução e certamente uma prova >> alternativa deve usar implicitamente resultados provados indutivamente. Mas >> o argumento indutivo está implícito em praticamente toda teoria matemática >> (a única exceção "clássica" é a teoria axiomática de conjuntos, da qual >> derivamos o teorema da indução). A igualdade que usei apenas permite deixar >> o argumento indutivo implícito na demonstração da formula de Moivre. >> >> Abraços! >> >> On Wed, Aug 29, 2018, 18:09 Marcelo de Moura Costa >> wrote: >> >>> Gostaria de ver sua solução. >>> >>> Em qua, 29 de ago de 2018 16:54, Israel Meireles Chrisostomo < >>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: >>> Alguém ai conhece uma forma de se provar a fórmula de moivre sem usar derivadas, limites, integrais ou indução?Eu tenho uma, mas não sei se a forma que eu fiz realmente é a mais elegante. -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fórmula de Moivre
Eu acho que dá pra deduzir a fórmula de DeMoivre com base na definição da exponencial complexa via a extensão da série de Taylor pro domínio complexo: e^z = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + ... Com z = ix (x real) e as séries de Taylor (em R) de sen e cos você acha e^(ix) = cos(x) + i*sen(x). (e todas as manipulações com séries são válidas já que elas convergem absolutamente e uniformemente em compactos) Com a ajuda do teorema do binômio, você prova que e^(z+w) = e^z*e^w e, portanto (usando indução), que e^(nz) = (e^z)^n. Finalmente, pondo z = ix (x real), você chega à fórmula de DeMoivre. De resto, concordo com o Antonio Carlos: o princípio da indução está na base da matemática. É a propriedade essencial do conjunto dos números naturais. Assim, o não-uso deliberado de indução não me parece produtivo. Além disso, a capacidade de raciocinar recursivamente é importante pra quem quer resolver problemas matemáticos (por exemplo, em combinatória e teoria dos grafos) e tecnológicos (especialmente em computação). Dito isso, estou curioso pra ver uma demonstração não indutiva da fórmula de DeMoivre. []s, Claudio. On Wed, Aug 29, 2018 at 6:49 PM Antonio Carlos wrote: > Usando a fórmula de Euler para z = r(cosx + i senx), temos z = re^(ix) e > pela propriedade de multiplicação de exponenciais complexas z^n = > r^ne^(inx). > > Para r = 1, temos z^n = (cosx + i senx)^n = e^(inx) = cos(nx) + i sen(nx), > que é a fórmula de Moivre. > > Uma ressalva: a terceira igualdade que exibi se prova indutivamente > utilizando a propriedade mencionada de exponenciais complexas. Eu não > conheço outra prova disto sem usar indução e certamente uma prova > alternativa deve usar implicitamente resultados provados indutivamente. Mas > o argumento indutivo está implícito em praticamente toda teoria matemática > (a única exceção "clássica" é a teoria axiomática de conjuntos, da qual > derivamos o teorema da indução). A igualdade que usei apenas permite deixar > o argumento indutivo implícito na demonstração da formula de Moivre. > > Abraços! > > On Wed, Aug 29, 2018, 18:09 Marcelo de Moura Costa > wrote: > >> Gostaria de ver sua solução. >> >> Em qua, 29 de ago de 2018 16:54, Israel Meireles Chrisostomo < >> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: >> >>> Alguém ai conhece uma forma de se provar a fórmula de moivre sem usar >>> derivadas, limites, integrais ou indução?Eu tenho uma, mas não sei se a >>> forma que eu fiz realmente é a mais elegante. >>> >>> -- >>> Israel Meireles Chrisostomo >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fórmula de Moivre
Usando a fórmula de Euler para z = r(cosx + i senx), temos z = re^(ix) e pela propriedade de multiplicação de exponenciais complexas z^n = r^ne^(inx). Para r = 1, temos z^n = (cosx + i senx)^n = e^(inx) = cos(nx) + i sen(nx), que é a fórmula de Moivre. Uma ressalva: a terceira igualdade que exibi se prova indutivamente utilizando a propriedade mencionada de exponenciais complexas. Eu não conheço outra prova disto sem usar indução e certamente uma prova alternativa deve usar implicitamente resultados provados indutivamente. Mas o argumento indutivo está implícito em praticamente toda teoria matemática (a única exceção "clássica" é a teoria axiomática de conjuntos, da qual derivamos o teorema da indução). A igualdade que usei apenas permite deixar o argumento indutivo implícito na demonstração da formula de Moivre. Abraços! On Wed, Aug 29, 2018, 18:09 Marcelo de Moura Costa wrote: > Gostaria de ver sua solução. > > Em qua, 29 de ago de 2018 16:54, Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > >> Alguém ai conhece uma forma de se provar a fórmula de moivre sem usar >> derivadas, limites, integrais ou indução?Eu tenho uma, mas não sei se a >> forma que eu fiz realmente é a mais elegante. >> >> -- >> Israel Meireles Chrisostomo >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Fórmula de Moivre
Gostaria de ver sua solução. Em qua, 29 de ago de 2018 16:54, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > Alguém ai conhece uma forma de se provar a fórmula de moivre sem usar > derivadas, limites, integrais ou indução?Eu tenho uma, mas não sei se a > forma que eu fiz realmente é a mais elegante. > > -- > Israel Meireles Chrisostomo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fórmula de Moivre
Para esse fato específico não é necessário recorrer explicitamente a limites. O que quero dizer com explicitamente é que, por exemplo, não se poderia, então, falar nem sequer em números reais, pois são construídos a partir de limites. E números complexos são construídos a partir de reais. E por aí vai. Abraços. On Wed, Aug 29, 2018, 17:40 Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> wrote: > Olá, primeiramente agradeço pelo seu interesse em responder.Só que tem um > detalhe, quando se fala em exponenciais complexas não há como não falar em > limites. > Abraços > > Em qua, 29 de ago de 2018 às 17:24, Antonio Carlos > escreveu: > >> Sai pela fórmula de Euler e^(ix) := cosx + i senx e a propriedade desta >> com potências inteiras: >> >> (e^(ix))^n = e^(inx) >> >> Basta escrever a definição da fórmula na igualdade acima. >> >> On Wed, Aug 29, 2018, 16:54 Israel Meireles Chrisostomo < >> israelmchrisost...@gmail.com> wrote: >> >>> Alguém ai conhece uma forma de se provar a fórmula de moivre sem usar >>> derivadas, limites, integrais ou indução?Eu tenho uma, mas não sei se a >>> forma que eu fiz realmente é a mais elegante. >>> >>> -- >>> Israel Meireles Chrisostomo >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Israel Meireles Chrisostomo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fórmula de Moivre
Olá, primeiramente agradeço pelo seu interesse em responder.Só que tem um detalhe, quando se fala em exponenciais complexas não há como não falar em limites. Abraços Em qua, 29 de ago de 2018 às 17:24, Antonio Carlos escreveu: > Sai pela fórmula de Euler e^(ix) := cosx + i senx e a propriedade desta > com potências inteiras: > > (e^(ix))^n = e^(inx) > > Basta escrever a definição da fórmula na igualdade acima. > > On Wed, Aug 29, 2018, 16:54 Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com> wrote: > >> Alguém ai conhece uma forma de se provar a fórmula de moivre sem usar >> derivadas, limites, integrais ou indução?Eu tenho uma, mas não sei se a >> forma que eu fiz realmente é a mais elegante. >> >> -- >> Israel Meireles Chrisostomo >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Fórmula de Moivre
Sai pela fórmula de Euler e^(ix) := cosx + i senx e a propriedade desta com potências inteiras: (e^(ix))^n = e^(inx) Basta escrever a definição da fórmula na igualdade acima. On Wed, Aug 29, 2018, 16:54 Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> wrote: > Alguém ai conhece uma forma de se provar a fórmula de moivre sem usar > derivadas, limites, integrais ou indução?Eu tenho uma, mas não sei se a > forma que eu fiz realmente é a mais elegante. > > -- > Israel Meireles Chrisostomo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Fórmula de Moivre
Alguém ai conhece uma forma de se provar a fórmula de moivre sem usar derivadas, limites, integrais ou indução?Eu tenho uma, mas não sei se a forma que eu fiz realmente é a mais elegante. -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
