[obm-l] Re: [obm-l] Função Logarítmica?
Basta, de fato, supor que f eh continua em um unico elemento a de (0, inf).
Pois, entao, lim (x - a) f(x) - f(a) = lim(x - a) f(x/a) = lim (t -1) f(t) =
0 = f(1), do que concluimos que f eh continua em t =1. Para todo y de (0, inf)
temos entao, para todo x tambem em (0, inf) que f(x) - f(y) = f(x/y). Logo, lim
(x - y) f(x) - f(y) = lim (x - y) f(x/y) = lim(t- 1) f(t) = f(1) = 0, do que
concluimos que f eh continua em todo y de (0, inf).
- Original Message
From: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Tuesday, November 7, 2006 11:39:33 AM
Subject: [obm-l]Re:[obm-l] RES: [obm-l] Função Logarítmica?
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De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Fri, 3 Nov 2006 10:37:27 -0300
Assunto: [obm-l] RES: [obm-l] Função Logarítmica?
Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x)
+ f(y) é a função log. Isso está correto? Realmente não tive idéias para
resolver essa
Se vc admtir que f nao eh identicamente nula e eh derivavel em pelo menos um
elemento de R, ai sim f eh a funcao eh a logaritmica
E se supusermos apenas que f:(0,+inf) - R e continua e tal que f(b) = 1, para
algum b 0?
Nesse caso, temos (sem supor continuidade):
f(x) = f(1x) = f(1) + f(x) == f(1) = 0.
0 = f(1) = f(x*1/x) = f(x) + f(1/x) == f(1/x) = -f(x)
f(x^n) = nf(x) (por inducao; n em N) == (deducoes faceis) f(x^r) = rf(x) (r em
Q)
A = {b^r | r em Q} e denso em (0,+inf)
Dem:
Dado o intervalo (p,q) contido em (0,+inf), tome:
b 1 == r entre log_b(p) e log_b(q) ou simplesmente r log_b(q) se p = 0;
b 1 == r entre log_b(q) e log_b(p) ou simplesmente r log_b(q) se p = 0.
Em qualquer caso, teremos p b^r q.
Seja a funcao logaritmo na base b == log_b: (0,+inf) - R.
Para todo r em Q, f(b^r) = rf(b) = r = log_b(b^r) == f e log_b coincidem em A.
Como f eh continua e A e denso em (0,+inf), f = log_b em (0,+inf).
[]s,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Função Logarítmica?
Olá Nehab, bom.. eu faria alguma coisa do tipo: f(xy) = f(x) + f(y) tomando y=1, temos: f(x) = f(x) + f(1) f(1) = 0 tomando y=1/x, temos: f(x/x) = f(x) + f(1/x) = f(1) = 0 f(1/x) = -f(x) por inducao, mostramos que f(a1 * a2 * ... * an) = f(a1) + f(a2) + f(a3) + ... + f(an) por inducao, mostramos que: f(x^n) = nf(x), para n natural... mas, f(x^(-n)) = f(1/x^n) = -f(x^n) = -nf(x) ... logo, extendemos para os inteiros.. seja a = p/q, p, q inteiros, q != 0, entao: f(x^a) = f(x^(p/q)) = p f(x^(1/q))...bom, um dia eu ja consegui fazer essa prova pra racionais, mas nao estou conseguindo agora! se alguem puder mandar ai... :) ou, se eu conseguir, mando em outra mensagem... entao, apenas voltando: provei algumas propriedades da funcao... mas acredito que nao tenha como provar que é a funcao logaritmo... pq acho q a funcao nao é unica... aqui, coloco uma outra duvida: apos mostrar para os racionais, faltaria mostrar para os irracionais para valer para os reais... como mostrar para os irracionais? alguem tem alguma ideia? abraços, Salhab - Original Message - From: Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, November 03, 2006 2:37 AM Subject: Re: [obm-l] Função Logarítmica? Renan e Salhab Ok, a solução é interessante e clássica, se o enunciado informasse que a função f é derivável... Se não o for, o que vocês fariam? Abração, Nehab At 22:40 2/11/2006, you wrote: Por favor, peço ajuda na resolução das seguintes questões: 1 seja a função f uma função injetora, com domínio em reais positivos e controdominio os reais, tal que f(1) = 0 f(xy) = f(x) + f(y) (x0 y0) Se x1,x2,x3,x4,x5 formam uma pg (todos positivos) e sabendo que Soma (i =1 até 5) f(Xi) = 12*f(2) + 2f(x1) e Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1), então o valor de x1 é a) -2 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1 Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x) + f(y) é a função log. Isso está correto? Realmente não tive idéias para resolver essa 2 (notação log[a][b} a é a base e b logaritmando) Se (Xo,Yo) é uma solução real do sistema log[2][X+Y] - log[3][X-2Y] = 2 X² - 4Y² = 4 Então Xo + Yo vale a) 7/4 b) 9/4 c) 11/4 d) 13/4 e) 17/4 A segunda questão consegui fazer chutando valores (Inspeção?). Infelizmente não é um método muito confiável =) Sugestões? Qualquer ajuda é bem vinda. A lista tem ajudado bastante, obrigado pessoal! -- Abraços, Jonas Renan = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.13.26/516 - Release Date: 3/11/2006 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Função Logarítmica?
Se f nao for derivavel em pelo menos um elemento de R, entao acho que noa dah pra garantir que seja a funcao logaritmica. E para garantir que seja a funcao log., temos tambem que adicionar a hipotese de que f nao eh identicamente nula Artur - Original Message From: Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, November 3, 2006 1:37:36 AM Subject: Re: [obm-l] Função Logarítmica? Renan e Salhab Ok, a solução é interessante e clássica, se o enunciado informasse que a função f é derivável... Se não o for, o que vocês fariam? Abração, Nehab At 22:40 2/11/2006, you wrote: Por favor, peço ajuda na resolução das seguintes questões: 1 seja a função f uma função injetora, com domínio em reais positivos e controdominio os reais, tal que f(1) = 0 f(xy) = f(x) + f(y) (x0 y0) Se x1,x2,x3,x4,x5 formam uma pg (todos positivos) e sabendo que Soma (i =1 até 5) f(Xi) = 12*f(2) + 2f(x1) e Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1), então o valor de x1 é a) -2 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1 Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x) + f(y) é a função log. Isso está correto? Realmente não tive idéias para resolver essa 2 (notação log[a][b} a é a base e b logaritmando) Se (Xo,Yo) é uma solução real do sistema log[2][X+Y] - log[3][X-2Y] = 2 X² - 4Y² = 4 Então Xo + Yo vale a) 7/4 b) 9/4 c) 11/4 d) 13/4 e) 17/4 A segunda questão consegui fazer chutando valores (Inspeção?). Infelizmente não é um método muito confiável =) Sugestões? Qualquer ajuda é bem vinda. A lista tem ajudado bastante, obrigado pessoal! -- Abraços, Jonas Renan = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Logarítmica?
Olá, então, observe que: Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1) f(x1/x2) + f(x2/x3) + f(x3/x4) + f(x4/x5) = -2f(2x1) mas f(xy) = f(x) + f(y) ... assim: f(abcd) = f(a) + f(b) + f(c) + f(d) logo: f(x1/x2) + f(x2/x3) + f(x3/x4) + f(x4/x5) = f(x1/x2 * x2/x3 * x3/x4 * x4/x5) = f(x1/x5) mas x5 = x1 * q^4 ... logo: f(x1/x5) = f(x1/[x1 * q^4]) = f(1/q^4) = -f(q^4) = -f(q*q*q*q) = -4f(q) logo: -4f(q) = -2f(2x1) mas f(2x1) = f(2) + f(x1) logo: -4f(q) = -2[f(2) + f(x1)] ... 2f(x1) - 4f(q) = -2f(2) . f(x1) - 2f(q) = -f(2) entendeu? nao refiz a questao toda, só essa parte.. entao ainda nao achei meu erro na outra solucao... abraços, Salhab - Original Message - From: J. Renan To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, November 03, 2006 2:54 AM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Logarítmica? Olá novamente,O erro que você cometeu foi o seguinte f(x1/x2) + f(x2/x3) + f(x3/x4) + f(x4/x5) = f(x1/x5) = f(1/q^4)O enunciado diz:Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1)O meu problema foi justamente nessa parte, se fosse dessa forma simplificaria um pouco... mas acontece que ele não define f (a + b) =\ Bom, desenvolvendo essa parte ficariaf(x1*x2*x3*x4) - f(x2+1) + f(x3+1) + f(x4+1) +f(x5+1)...a partir daí não consigo lidar com a função com a soma dentro =\Abraços e obrigado pela ajudaJ.Renan Em 03/11/06, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá novamente, já em relacao a questao, vamos resolve-la sem saber que a funcao é o log, ok? por inducao, mostramos que f(x1 * x2 * x3 * ... * xn) = Soma(i=1 até n) f(xi) f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) + f(x5) = f(x1 * x2 * x3 * x4 * x5) eles estao em PG, entao: xn = x1 * q^(n-1) ... logo: x1 * x2 * x3 * x4 * x5 = (x1)^5 * q^(1 + 2 + 3 + 4) = (x1)^5 * q^10 assim: f[(x1)^5* q^10] = f[(x1)^5] + f(q^10) = 5f(x1) + 10f(q) = 12 * f(2) + 2f(x1) logo: 3 f(x1) + 10 f(q) = f(2) agora: f(x1/x2) + f(x2/x3) + f(x3/x4) + f(x4/x5) = f(x1/x5) = f(1/q^4) mas, sabemos que f(xy) = f(x) + f(y) ... tomando y = 1/x, temos: f(1) = f(x) + f(1/x) = 0 .. f(1/x) = -f(x) logo: f(1/q^4) = -f(q^4) = -4 f(q) assim: -4 f(q) = -2 f(2x1) = -2[f(2) + f(x1)] 2 f(x1) - 4 f(q) = -2 f(2) assim, temos um sistema: 3 f(x1) + 10 f(q) = f(2) 2 f(x1) - 4 f(q) = -2 f(2) resolvendo, temos: [ 4 * 3+10 *2 ] f(x1) = [ 4 - 20 ] f(2) .. assim: f(x1) = -16/32 f(2) = -f(2)/2 = f(1/2) / 2 logo: 2f(x1) = f(x1^2) = f(1/2) como f é injetiva, temos: x1^2 = 1/2 ... x1 = sqrt(2)/2 tenho certeza que errei alguma conta... po.. ultimamente tenho feito bastante isso... mas acho que deu pra entender a ideia.. abraços, Salhab - Original Message - From: J. Renan To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, November 02, 2006 11:40 PM Subject: [obm-l] Função Logarítmica? Por favor, peço ajuda na resolução das seguintes questões:1seja a função f uma função injetora, com domínio em reais positivos e controdominio os reais, tal quef(1) = 0f(xy) = f(x) + f(y) (x0 y0) Se x1,x2,x3,x4,x5 formam uma pg (todos positivos)e sabendo queSoma (i =1 até 5) f(Xi) = 12*f(2) + 2f(x1) e Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1), então o valor de x1 éa) -2b) 2c) 3d) 4e) 1Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x) + f(y) é a função log. Isso está correto? Realmente não tive idéias para resolver essa2 (notação log[a][b} a é a base e b logaritmando) Se (Xo,Yo) é uma solução real do sistemalog[2][X+Y] - log[3][X-2Y] = 2 X² - 4Y² = 4Então Xo + Yo valea) 7/4b) 9/4c) 11/4d) 13/4e) 17/4A segunda questão consegui fazer "chutando" valores (Inspeção?). Infelizmente não é um método muito confiável =) Sugestões? Qualquer ajuda é bem vinda.A lista tem ajudado bastante, obrigado pessoal!-- Abraços,Jonas Renan No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.13.26/516 - Release Date: 3/11/2006
[obm-l] Função Logarítmica?
Por favor, peço ajuda na resolução das seguintes questões:1seja a função f uma função injetora, com domínio em reais positivos e controdominio os reais, tal quef(1) = 0f(xy) = f(x) + f(y) (x0 y0) Se x1,x2,x3,x4,x5 formam uma pg (todos positivos)e sabendo queSoma (i =1 até 5) f(Xi) = 12*f(2) + 2f(x1) e Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1), então o valor de x1 éa) -2b) 2 c) 3d) 4e) 1Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x) + f(y) é a função log. Isso está correto? Realmente não tive idéias para resolver essa2 (notação log[a][b} a é a base e b logaritmando) Se (Xo,Yo) é uma solução real do sistemalog[2][X+Y] - log[3][X-2Y] = 2 X² - 4Y² = 4Então Xo + Yo valea) 7/4b) 9/4c) 11/4d) 13/4e) 17/4A segunda questão consegui fazer chutando valores (Inspeção?). Infelizmente não é um método muito confiável =) Sugestões? Qualquer ajuda é bem vinda.A lista tem ajudado bastante, obrigado pessoal!-- Abraços,Jonas Renan
[obm-l] Re: [obm-l] Função Logarítmica?
Olá, veja bem: f(xy) = f(x) + f(y) tomando y = 1, temos: f(x) = f(x) + f(1) .. logo: f(1) = 0 derivando em relacao a x, temos: y f'(xy) = f'(x) fazendo x = 1, temos: y f'(y) = f'(1) = k logo: f'(y) = k / y ... integrando, temos: f(y) = k * ln(y) + c mas f(1) = 0, logo: f(1) = k * ln(1) + c = 0 logo: c = 0 assim: f(y) = k * ln(y), ou, na base 10, temos: f(y) = (k / log(e)) * log(y) ... onde k/log(e) é uma nova contante.. espero ter ajudado, abraços, Salhab - Original Message - From: J. Renan To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, November 02, 2006 11:40 PM Subject: [obm-l] Função Logarítmica? Por favor, peço ajuda na resolução das seguintes questões:1seja a função f uma função injetora, com domínio em reais positivos e controdominio os reais, tal quef(1) = 0f(xy) = f(x) + f(y) (x0 y0) Se x1,x2,x3,x4,x5 formam uma pg (todos positivos)e sabendo queSoma (i =1 até 5) f(Xi) = 12*f(2) + 2f(x1) e Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1), então o valor de x1 éa) -2b) 2c) 3d) 4e) 1Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x) + f(y) é a função log. Isso está correto? Realmente não tive idéias para resolver essa2 (notação log[a][b} a é a base e b logaritmando) Se (Xo,Yo) é uma solução real do sistemalog[2][X+Y] - log[3][X-2Y] = 2 X² - 4Y² = 4Então Xo + Yo valea) 7/4b) 9/4c) 11/4d) 13/4e) 17/4A segunda questão consegui fazer "chutando" valores (Inspeção?). Infelizmente não é um método muito confiável =) Sugestões? Qualquer ajuda é bem vinda.A lista tem ajudado bastante, obrigado pessoal!-- Abraços,Jonas Renan No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.13.22/512 - Release Date: 1/11/2006
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Logarítmica?
Isso serve de prova para a minha proposição, né? Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x) + f(y) é a função log. Se f(y) = k * ln(y) então f(y) = log [e^1/k] (y)Ou seja, podemos transformar a base de acordo com k..Ajudou sim Salhab, abraços! Em 02/11/06, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, veja bem: f(xy) = f(x) + f(y) tomando y = 1, temos: f(x) = f(x) + f(1) .. logo: f(1) = 0 derivando em relacao a x, temos: y f'(xy) = f'(x) fazendo x = 1, temos: y f'(y) = f'(1) = k logo: f'(y) = k / y ... integrando, temos: f(y) = k * ln(y) + c mas f(1) = 0, logo: f(1) = k * ln(1) + c = 0 logo: c = 0 assim: f(y) = k * ln(y), ou, na base 10, temos: f(y) = (k / log(e)) * log(y) ... onde k/log(e) é uma nova contante.. espero ter ajudado, abraços, Salhab - Original Message - From: J. Renan To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, November 02, 2006 11:40 PM Subject: [obm-l] Função Logarítmica? Por favor, peço ajuda na resolução das seguintes questões:1seja a função f uma função injetora, com domínio em reais positivos e controdominio os reais, tal quef(1) = 0f(xy) = f(x) + f(y) (x0 y0) Se x1,x2,x3,x4,x5 formam uma pg (todos positivos)e sabendo queSoma (i =1 até 5) f(Xi) = 12*f(2) + 2f(x1) e Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1), então o valor de x1 éa) -2b) 2c) 3d) 4e) 1Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x) + f(y) é a função log. Isso está correto? Realmente não tive idéias para resolver essa2 (notação log[a][b} a é a base e b logaritmando) Se (Xo,Yo) é uma solução real do sistemalog[2][X+Y] - log[3][X-2Y] = 2 X² - 4Y² = 4Então Xo + Yo valea) 7/4b) 9/4c) 11/4d) 13/4e) 17/4A segunda questão consegui fazer chutando valores (Inspeção?). Infelizmente não é um método muito confiável =) Sugestões? Qualquer ajuda é bem vinda.A lista tem ajudado bastante, obrigado pessoal!-- Abraços,Jonas Renan No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.
[obm-l] Re: [obm-l] Função Logarítmica?
Olá novamente, já em relacao a questao, vamos resolve-la sem saber que a funcao é o log, ok? por inducao, mostramos que f(x1 * x2 * x3 * ... * xn) = Soma(i=1 até n) f(xi) f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) + f(x5) = f(x1 * x2 * x3 * x4 * x5) eles estao em PG, entao: xn = x1 * q^(n-1) ... logo: x1 * x2 * x3 * x4 * x5 = (x1)^5 * q^(1 + 2 + 3 + 4) = (x1)^5 * q^10 assim: f[(x1)^5* q^10] = f[(x1)^5] + f(q^10) = 5f(x1) + 10f(q) = 12 * f(2) + 2f(x1) logo: 3 f(x1) + 10 f(q) = f(2) agora: f(x1/x2) + f(x2/x3) + f(x3/x4) + f(x4/x5) = f(x1/x5) = f(1/q^4) mas, sabemos que f(xy) = f(x) + f(y) ... tomando y = 1/x, temos: f(1) = f(x) + f(1/x) = 0 .. f(1/x) = -f(x) logo: f(1/q^4) = -f(q^4) = -4 f(q) assim: -4 f(q) = -2 f(2x1) = -2[f(2) + f(x1)] 2 f(x1) - 4 f(q) = -2 f(2) assim, temos um sistema: 3 f(x1) + 10 f(q) = f(2) 2 f(x1) - 4 f(q) = -2 f(2) resolvendo, temos: [ 4 * 3+10 *2 ] f(x1) = [ 4 - 20 ] f(2) .. assim: f(x1) = -16/32 f(2) = -f(2)/2 = f(1/2) / 2 logo: 2f(x1) = f(x1^2) = f(1/2) como f é injetiva, temos: x1^2 = 1/2 ... x1 = sqrt(2)/2 tenho certeza que errei alguma conta... po.. ultimamente tenho feito bastante isso... mas acho que deu pra entender a ideia.. abraços, Salhab - Original Message - From: J. Renan To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, November 02, 2006 11:40 PM Subject: [obm-l] Função Logarítmica? Por favor, peço ajuda na resolução das seguintes questões:1seja a função f uma função injetora, com domínio em reais positivos e controdominio os reais, tal quef(1) = 0f(xy) = f(x) + f(y) (x0 y0) Se x1,x2,x3,x4,x5 formam uma pg (todos positivos)e sabendo queSoma (i =1 até 5) f(Xi) = 12*f(2) + 2f(x1) e Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1), então o valor de x1 éa) -2b) 2c) 3d) 4e) 1Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x) + f(y) é a função log. Isso está correto? Realmente não tive idéias para resolver essa2 (notação log[a][b} a é a base e b logaritmando) Se (Xo,Yo) é uma solução real do sistemalog[2][X+Y] - log[3][X-2Y] = 2 X² - 4Y² = 4Então Xo + Yo valea) 7/4b) 9/4c) 11/4d) 13/4e) 17/4A segunda questão consegui fazer "chutando" valores (Inspeção?). Infelizmente não é um método muito confiável =) Sugestões? Qualquer ajuda é bem vinda.A lista tem ajudado bastante, obrigado pessoal!-- Abraços,Jonas Renan No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.13.22/512 - Release Date: 1/11/2006
[obm-l] Re: [obm-l] Função Logarítmica?
Olá, log[2][x+2y] - log[3][x-2y] = 2 (x+2y)(x-2y) = 4 log[2][x+2y] - log[2][x-2y] = 2 = log[2][x+2y] - log[3][x-2y] log[2][x-2y] = log[3][x-2y] x-2y = 1 ... x+2y = 4 somando: 2x = 5 ... x = 5/2 subtraindo: 4y = 3 ... y = 3/4 x + y = 10/4 + 3/4 = 13/4 letra D abraços, Salhab - Original Message - From: J. Renan To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, November 02, 2006 11:40 PM Subject: [obm-l] Função Logarítmica? 2 (notação log[a][b} a é a base e b logaritmando) Se (Xo,Yo) é uma solução real do sistemalog[2][X+Y] - log[3][X-2Y] = 2 X² - 4Y² = 4Então Xo + Yo valea) 7/4b) 9/4c) 11/4d) 13/4e) 17/4A segunda questão consegui fazer "chutando" valores (Inspeção?). Infelizmente não é um método muito confiável =) Sugestões? Qualquer ajuda é bem vinda.A lista tem ajudado bastante, obrigado pessoal!-- Abraços,Jonas Renan No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.13.22/512 - Release Date: 1/11/2006
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Logarítmica?
Olá novamente,O erro que você cometeu foi o seguinte f(x1/x2) + f(x2/x3) + f(x3/x4) + f(x4/x5) = f(x1/x5) = f(1/q^4)O enunciado diz:Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1)O meu problema foi justamente nessa parte, se fosse dessa forma simplificaria um pouco... mas acontece que ele não define f (a + b) =\ Bom, desenvolvendo essa parte ficariaf(x1*x2*x3*x4) - f(x2+1) + f(x3+1) + f(x4+1) +f(x5+1)...a partir daí não consigo lidar com a função com a soma dentro =\Abraços e obrigado pela ajuda J.RenanEm 03/11/06, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá novamente, já em relacao a questao, vamos resolve-la sem saber que a funcao é o log, ok? por inducao, mostramos que f(x1 * x2 * x3 * ... * xn) = Soma(i=1 até n) f(xi) f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) + f(x5) = f(x1 * x2 * x3 * x4 * x5) eles estao em PG, entao: xn = x1 * q^(n-1) ... logo: x1 * x2 * x3 * x4 * x5 = (x1)^5 * q^(1 + 2 + 3 + 4) = (x1)^5 * q^10 assim: f[(x1)^5* q^10] = f[(x1)^5] + f(q^10) = 5f(x1) + 10f(q) = 12 * f(2) + 2f(x1) logo: 3 f(x1) + 10 f(q) = f(2) agora: f(x1/x2) + f(x2/x3) + f(x3/x4) + f(x4/x5) = f(x1/x5) = f(1/q^4) mas, sabemos que f(xy) = f(x) + f(y) ... tomando y = 1/x, temos: f(1) = f(x) + f(1/x) = 0 .. f(1/x) = -f(x) logo: f(1/q^4) = -f(q^4) = -4 f(q) assim: -4 f(q) = -2 f(2x1) = -2[f(2) + f(x1)] 2 f(x1) - 4 f(q) = -2 f(2) assim, temos um sistema: 3 f(x1) + 10 f(q) = f(2) 2 f(x1) - 4 f(q) = -2 f(2) resolvendo, temos: [ 4 * 3+10 *2 ] f(x1) = [ 4 - 20 ] f(2) .. assim: f(x1) = -16/32 f(2) = -f(2)/2 = f(1/2) / 2 logo: 2f(x1) = f(x1^2) = f(1/2) como f é injetiva, temos: x1^2 = 1/2 ... x1 = sqrt(2)/2 tenho certeza que errei alguma conta... po.. ultimamente tenho feito bastante isso... mas acho que deu pra entender a ideia.. abraços, Salhab - Original Message - From: J. Renan To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, November 02, 2006 11:40 PM Subject: [obm-l] Função Logarítmica? Por favor, peço ajuda na resolução das seguintes questões:1seja a função f uma função injetora, com domínio em reais positivos e controdominio os reais, tal quef(1) = 0f(xy) = f(x) + f(y) (x0 y0) Se x1,x2,x3,x4,x5 formam uma pg (todos positivos)e sabendo queSoma (i =1 até 5) f(Xi) = 12*f(2) + 2f(x1) e Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1), então o valor de x1 éa) -2b) 2c) 3d) 4e) 1Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x) + f(y) é a função log. Isso está correto? Realmente não tive idéias para resolver essa2 (notação log[a][b} a é a base e b logaritmando) Se (Xo,Yo) é uma solução real do sistemalog[2][X+Y] - log[3][X-2Y] = 2 X² - 4Y² = 4Então Xo + Yo valea) 7/4b) 9/4c) 11/4d) 13/4e) 17/4A segunda questão consegui fazer chutando valores (Inspeção?). Infelizmente não é um método muito confiável =) Sugestões? Qualquer ajuda é bem vinda.A lista tem ajudado bastante, obrigado pessoal!-- Abraços,Jonas Renan
Re: [obm-l] Função Logarítmica?
Ok! Perfeita a solução Salhab... (da 2)Um colega meu (que também participa da lista) fez essa questão mas não conseguimos explicar o que ele assumiu para faze-la (que x-2y=1 e x+2y=4)Muito obrigado! Caro Nehab, O fato dela ter contradomínio e domínio diferentes já não garante que ela não é derivável (por não ser inversível/bijetora)? Qual é a solução que você conhece?Essa, como disse anteriormente, por ter se desdobrado naquela soma, não faço a mímina idéia de como fazer. Obrigado pelas respostas,Abraços.Em 03/11/06, Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Renan e SalhabOk, a solução é interessante e clássica, se o enunciado informasse que a função f é derivável...Se não o for, o que vocês fariam?Abração,NehabAt 22:40 2/11/2006, you wrote:Por favor, peço ajuda na resolução das seguintes questões:1seja a função f uma função injetora, com domínio em reais positivos e controdominio os reais, tal quef(1) = 0f(xy) = f(x) + f(y) (x0 y0)Se x1,x2,x3,x4,x5 formam uma pg (todos positivos)e sabendo queSoma (i =1 até 5) f(Xi) = 12*f(2) + 2f(x1) e Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1), então o valor de x1 éa) -2b) 2c) 3d) 4e) 1Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x) + f(y) é a função log. Isso está correto? Realmente não tiveidéias para resolver essa2 (notação log[a][b} a é a base e b logaritmando)Se (Xo,Yo) é uma solução real do sistema log[2][X+Y] - log[3][X-2Y] = 2X² - 4Y² = 4Então Xo + Yo valea) 7/4b) 9/4c) 11/4d) 13/4e) 17/4A segunda questão consegui fazer chutando valores (Inspeção?). Infelizmente não é um método muito confiável =)Sugestões? Qualquer ajuda é bem vinda.A lista tem ajudado bastante, obrigado pessoal!--Abraços,Jonas Renan =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
