[obm-l] Integrabilidade de Riemann
Fala galera, vou ter prova de cálculo sexta e fiquei com uma dúvida de
integrabilidade. Tem como vocês me darem uma ajuda?
Dada a função f:[0, 2]-R tal que f(x) = {1 se x1, 2 se x=1}
Determine se a função é integrável, e em caso positivo, ache sua primitiva.
Tem um teorema que diz que, se f:[a,b] - R é contínua exceto num número finito
de pontos, então f é integrável em [a, b]
Logo a função f é integrável, pois só é descontínua em x=1.
Tem outro teorema que diz que, se f[a, b] - R tem descontinuidade tipo salto,
isto é, existe c pertencente a (a, b) tal que o limite de f(x) quando x tende a
c+ é diferente do limite de f(x) quando x tente a c-, então f não admite
primitiva no intervalo [a, b].
E como no ponto x=1 tem descontinuidade tipo salto, então f(x) não admite
primitiva em [0, 2]
f(x) seria integrável e não admitiria primitiva, absurdo!
Onde está o erro nessa demonstração?
[]'s
João
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Integrabilidade de Riemann
Tendo em vista a ideia intuitiva de integral como area, nao ha de forma alguma
contradicao. Ter ou nao primitiva (como composicao de funcoes elementares tipo
polinomios, exponenciais, funcoes trigonometricas) eh um fator menor (e num
geral voce nao consegue... A funcao distribuicao normal de Gauss eh um exemplo
disso, pois ela soh se expressa com o simbolo da integral). Divida o intervalo
em 2 e seja feliz. Integre em cada intervalo e some os resultados. PS: Desculpe
a formatacao ruim do texto e a falta de acentos, meu celular nao permite algo
muito melhor. Att. Eduardo
From: joao_maldona...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Integrabilidade de Riemann
Date: Wed, 4 Jun 2014 21:54:14 -0300
Fala galera, vou ter prova de cálculo sexta e fiquei com uma dúvida de
integrabilidade. Tem como vocês me darem uma ajuda?
Dada a função f:[0, 2]-R tal que f(x) = {1 se x1, 2 se x=1}
Determine se a função é integrável, e em caso positivo, ache sua primitiva.
Tem um teorema que diz que, se f:[a,b] - R é contínua exceto num número finito
de pontos, então f é integrável em [a, b]
Logo a função f é integrável, pois só é descontínua em x=1.
Tem outro teorema que diz que, se f[a, b] - R tem descontinuidade tipo salto,
isto é, existe c pertencente a (a, b) tal que o limite de f(x) quando x tende a
c+ é diferente do limite de f(x) quando x tente a c-, então f não admite
primitiva no intervalo [a, b].
E como no ponto x=1 tem descontinuidade tipo salto, então f(x) não admite
primitiva em [0, 2]
f(x) seria integrável e não admitiria primitiva, absurdo!
Onde está o erro nessa demonstração?
[]'s
João
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Integrabilidade de Riemann
Na realidade, o teorema que vc citou é um caso particular de outro mais geral:
f: [a, b] -- R é Riemann integrável no compacto [a, b] se, e somente se, f for
limitada em [a, b] e contínua em quase to o [a, b]. Isto é, o conjunto dos
pontos de [a, b] em que f é descontínua tem medida de Lebesgue nula. Conjuntos
enumeráveis e conjuntos finitos têm medida de Lebesgue nula.
A sua função é integrável em [0, 2]. Para to x em [0,2], um cálculo simples
mostra que F(x) = Int [0, x] f(t) dt existe em R e é dada por
F(x) = x se x 1
F(x) = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 se 1 = x = 2
F é contínua em [0, 2] e, para todo x diferente de 1, F'(x) = f(x). Mas F não é
diferenciável em 1. Existem F'(1-) = 1 e F'(1+) = 2, que são diferentes.
Portanto, F'(1) não existe. Logo, f não tem primitiva. Não existe nenhuma
função cuja derivada seja f em todo o [0, 2].
Não há erro no seu raciocínio. O que acontece é que ser Riemann integrável e
ter uma primitiva não são condições equivalentes. São conceitos distintos.
Se uma função f apresentar descontinuidade do tipo salto em um intervalo, então
f não tem primitiva neste intervalo. Mesmo que não seja, como no seu caso, uma
função do tipo escada, Isto porque derivadas nunca apresentam descontinuidades
do tipo salto.
Artur Costa Steiner
Em 04/06/2014, às 21:54, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
escreveu:
Fala galera, vou ter prova de cálculo sexta e fiquei com uma dúvida de
integrabilidade. Tem como vocês me darem uma ajuda?
Dada a função f:[0, 2]-R tal que f(x) = {1 se x1, 2 se x=1}
Determine se a função é integrável, e em caso positivo, ache sua primitiva.
Tem um teorema que diz que, se f:[a,b] - R é contínua exceto num número
finito de pontos, então f é integrável em [a, b]
Logo a função f é integrável, pois só é descontínua em x=1.
Tem outro teorema que diz que, se f[a, b] - R tem descontinuidade tipo
salto, isto é, existe c pertencente a (a, b) tal que o limite de f(x) quando
x tende a c+ é diferente do limite de f(x) quando x tente a c-, então f não
admite primitiva no intervalo [a, b].
E como no ponto x=1 tem descontinuidade tipo salto, então f(x) não admite
primitiva em [0, 2]
f(x) seria integrável e não admitiria primitiva, absurdo!
Onde está o erro nessa demonstração?
[]'s
João
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Integrabilidade de Riemann
Opa, acabei de ver a resposta do Artur, que já fala disso. Desculpem o repeteco.
2014-06-05 0:33 GMT-03:00 Pedro Angelo pedro.fon...@gmail.com:
Acho importante (embora seja meio obvio, mas a gente se esquece) que
mesmo que f não tenha uma primitiva no sentido estrito (não existe F
tal que para todo x, F'(x)=f(x)), a função definida por:
F(x) = integral com t variando de 0 até x de f(t)dt
é, para todos os efeitos, uma primitiva de f, pois F'=f em todos os
pontos exceto um (no qual F não é derivável), e além disso F é
contínua.
Isso alivia o paradoxo aparente, na minha opinião.
2014-06-04 23:04 GMT-03:00 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
Na realidade, o teorema que vc citou é um caso particular de outro mais
geral:
f: [a, b] -- R é Riemann integrável no compacto [a, b] se, e somente se, f
for limitada em [a, b] e contínua em quase to o [a, b]. Isto é, o conjunto
dos pontos de [a, b] em que f é descontínua tem medida de Lebesgue nula.
Conjuntos enumeráveis e conjuntos finitos têm medida de Lebesgue nula.
A sua função é integrável em [0, 2]. Para to x em [0,2], um cálculo simples
mostra que F(x) = Int [0, x] f(t) dt existe em R e é dada por
F(x) = x se x 1
F(x) = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 se 1 = x = 2
F é contínua em [0, 2] e, para todo x diferente de 1, F'(x) = f(x). Mas F
não é diferenciável em 1. Existem F'(1-) = 1 e F'(1+) = 2, que são
diferentes. Portanto, F'(1) não existe. Logo, f não tem primitiva. Não
existe nenhuma função cuja derivada seja f em todo o [0, 2].
Não há erro no seu raciocínio. O que acontece é que ser Riemann integrável e
ter uma primitiva não são condições equivalentes. São conceitos distintos.
Se uma função f apresentar descontinuidade do tipo salto em um intervalo,
então f não tem primitiva neste intervalo. Mesmo que não seja, como no seu
caso, uma função do tipo escada, Isto porque derivadas nunca apresentam
descontinuidades do tipo salto.
Artur Costa Steiner
Em 04/06/2014, às 21:54, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
escreveu:
Fala galera, vou ter prova de cálculo sexta e fiquei com uma dúvida de
integrabilidade. Tem como vocês me darem uma ajuda?
Dada a função f:[0, 2]-R tal que f(x) = {1 se x1, 2 se x=1}
Determine se a função é integrável, e em caso positivo, ache sua primitiva.
Tem um teorema que diz que, se f:[a,b] - R é contínua exceto num número
finito de pontos, então f é integrável em [a, b]
Logo a função f é integrável, pois só é descontínua em x=1.
Tem outro teorema que diz que, se f[a, b] - R tem descontinuidade tipo
salto, isto é, existe c pertencente a (a, b) tal que o limite de f(x) quando
x tende a c+ é diferente do limite de f(x) quando x tente a c-, então f não
admite primitiva no intervalo [a, b].
E como no ponto x=1 tem descontinuidade tipo salto, então f(x) não admite
primitiva em [0, 2]
f(x) seria integrável e não admitiria primitiva, absurdo!
Onde está o erro nessa demonstração?
[]'s
João
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Integrabilidade de Riemann
Acho importante (embora seja meio obvio, mas a gente se esquece) que
mesmo que f não tenha uma primitiva no sentido estrito (não existe F
tal que para todo x, F'(x)=f(x)), a função definida por:
F(x) = integral com t variando de 0 até x de f(t)dt
é, para todos os efeitos, uma primitiva de f, pois F'=f em todos os
pontos exceto um (no qual F não é derivável), e além disso F é
contínua.
Isso alivia o paradoxo aparente, na minha opinião.
2014-06-04 23:04 GMT-03:00 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
Na realidade, o teorema que vc citou é um caso particular de outro mais
geral:
f: [a, b] -- R é Riemann integrável no compacto [a, b] se, e somente se, f
for limitada em [a, b] e contínua em quase to o [a, b]. Isto é, o conjunto
dos pontos de [a, b] em que f é descontínua tem medida de Lebesgue nula.
Conjuntos enumeráveis e conjuntos finitos têm medida de Lebesgue nula.
A sua função é integrável em [0, 2]. Para to x em [0,2], um cálculo simples
mostra que F(x) = Int [0, x] f(t) dt existe em R e é dada por
F(x) = x se x 1
F(x) = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 se 1 = x = 2
F é contínua em [0, 2] e, para todo x diferente de 1, F'(x) = f(x). Mas F
não é diferenciável em 1. Existem F'(1-) = 1 e F'(1+) = 2, que são
diferentes. Portanto, F'(1) não existe. Logo, f não tem primitiva. Não
existe nenhuma função cuja derivada seja f em todo o [0, 2].
Não há erro no seu raciocínio. O que acontece é que ser Riemann integrável e
ter uma primitiva não são condições equivalentes. São conceitos distintos.
Se uma função f apresentar descontinuidade do tipo salto em um intervalo,
então f não tem primitiva neste intervalo. Mesmo que não seja, como no seu
caso, uma função do tipo escada, Isto porque derivadas nunca apresentam
descontinuidades do tipo salto.
Artur Costa Steiner
Em 04/06/2014, às 21:54, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
escreveu:
Fala galera, vou ter prova de cálculo sexta e fiquei com uma dúvida de
integrabilidade. Tem como vocês me darem uma ajuda?
Dada a função f:[0, 2]-R tal que f(x) = {1 se x1, 2 se x=1}
Determine se a função é integrável, e em caso positivo, ache sua primitiva.
Tem um teorema que diz que, se f:[a,b] - R é contínua exceto num número
finito de pontos, então f é integrável em [a, b]
Logo a função f é integrável, pois só é descontínua em x=1.
Tem outro teorema que diz que, se f[a, b] - R tem descontinuidade tipo
salto, isto é, existe c pertencente a (a, b) tal que o limite de f(x) quando
x tende a c+ é diferente do limite de f(x) quando x tente a c-, então f não
admite primitiva no intervalo [a, b].
E como no ponto x=1 tem descontinuidade tipo salto, então f(x) não admite
primitiva em [0, 2]
f(x) seria integrável e não admitiria primitiva, absurdo!
Onde está o erro nessa demonstração?
[]'s
João
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
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