Ajudou e muito.
Eu cometi um erro bobo ao não diferenciar as situações em que alguem começa
sentando na primeira ou última cadeira e as outras situações.
Antes mesmo de ler a sua enriquecedora(como sempre)mensagem,já tinha percebido
o erro.
De fato,considerando que poderiamos ter h(homem),m(mulher),h,m,h,m,h,m ou
m,h,m,h,m,h,m,h,faria:
(4*3*2*1)*(4*3*2*1)*2,que dividido por 8!(total de possibilidades) dá 1/35.
Muito interessante a sua solução,e nela eu não pensaria.
Vou guardar com carinho suas preciosas recomendaçõs(orientações) no final.
E muito obrigado.
Abraços,
Marcone
Date: Sun, 25 Sep 2011 08:32:52 +0200
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de probabilidade(dúvida sobre gabarito)
From: bernardo...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
2011/9/25 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com:
Um grupo de pessoas,composto por 4 homens e 4 mulheres,compra 8 cadeiras
consecutivas na mesma fila de um teatro.Se eles se sentarem
aleatóriamente,nessas cadeiras,a probabilidade de que homens e mulheres se
sentem em cadeiras alternadas é aproximadamente:
a) 2,86% b) 5,71% c) 1,43%d) 11,42%
Vou começar dizendo como eu tentei resolver o problema. É bem
diferente... mas ambas deveriam dar certo, claro.
Pense na primeira cadeira (a mais à esquerda, por exemplo). Quem pode
sentar nela? Qualquer um! (ou uma!) Porque sentar alternadamente pode
começar com H ou M. Muito bem, então isso é uma probabilidade de 1.
A segunda cadeira, por sua vez, tem apenas espaço para uma pessoa do
sexo oposto. Restam 7 ao todo, e 4 convém. Isso dá 4/7 de
probabilidade.
Para a terceira cadeira, tem que ser de novo do sexo oposto, e agora
temos 3 e 3, o que dá 1/2.
Assim por diante: 4a cadeira = 3/5, 5a cadeira = 1/2, 6a cadeira =
2/3, 7a cadeira = 1/2, 8a cadeira = 1 (só sobrou uma pessoa). Muito
bem, isso dá:
1 * 4/7 * 1/2 * 3/5 * 1/2 * 2/3 * 1/2 * 1 = 4*3*2 / 7*2*5*2*3*2 = 1/35
que é um pouco menor do que 1/33... = 0.03, seria portanto 2.86 se a
gente não errou as contas. Multiplicando 2.86 por 35 dá 100.10, ok,
pode ser uma resposta.
Vejamos a sua solução:
O primeiro homem pode sentar em 8 lugares.
Ok
O segundo pode sentar em 6 lugares.
Aqui tem um problema... Se o primeiro homem sentar no canto, realmente
há 6 lugares para o seguinte. Mas se ele sentar numa das 6 outras
cadeiras, ele bloqueia não apenas a que ele sentou, mas duas outras, e
sobram apenas 5 para o segundo. Até aqui dá pra levar as contas... Se
o primeiro sentou no canto (2 casos) há 6 para o segundo (total = 12)
; se o primeiro sentou no meio (6 casos) há 5 para o segundo (total =
30) e assim há 42 possibilidades para os dois primeiros homens. O que
é ligeiramente menor do que 8*6 = 48.
O terceiro,em 4 lugares e o quarto,em 2 lugares.
O problema é fazer essa contas aqui... Porque depende de onde os dois
primeiros sentaram, tem um monte de casos, etc. Com certeza, dá pra
fazer, mas vai levar um bom tempo considerando tudo...
Como sobram 4 lugares,é só permutar as 4 mulheres.
Exato. Você podia ter feito isso desde o início!! Por exemplo, escolha
par ou ímpar para as mulheres. (2 modos). Sente as 4 mulheres nas 4
cadeiras (pares ou ímpares) de acordo com a escolha (4!). Sente os
homens nas 4 outras cadeiras (4!). Isso dá: 4! * 4! * 2 / 8! = 4*3*2*2
/ 8*7*6*5 = 1 / 7*5.
Então o número de possibilidades de que
homens e mulheres sentem em cadeiras alternadas é 8x6x4x2x4x3x2x1.Dividindo
esse número por 8!(que é o total de possibilidades) temos 5/35 = 0,2285.
O que me intriga é que esse resultado é o dobro dos 11,42% do item d
Alguem poderia esclarecer?
Espero que tenha ajudado. Combinatória sempre tem uma boa dose de
interpretação, então sempre tome bastante cuidado com os enunciados.
Mas também preste bem atenção que tudo continue sempre equiprovável
(ou então você vai ter que prestar muita atenção com as
contas).
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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