[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] desafio(correção)
Tente imaginar um polígono com um nº infinitamente grande de lados (este polígono certamente irá se confundir com uma circunferência), com cada vértice ligado ao centro do polígono (o que equivale a infinitos triângulos isósceles com um vértice em comun), esta é uma configuração equivalente a dos triângulos retângulos a que me referi, uma vez que para ângulos infinitamente pequenos, o triângulo retângulo tende a um triângulo isósceles Esse seu argumento eh perigoso. Considere um segmento A B de comprimento x. Para ir de A a B, anda- se x. Pense agora num triangulo equilatero ABC. Para ir de A a B via C, anda-se 2x. Agora quebre AB ao meio, no ponto M. Para ir de A a B e m linha reta via M, anda- se x. Faça a mesma coisa do triangulo equilatero sobre AM e sobre MB, anda- se 2x. Quebre AM e MB ao meio, etc. No limite, na reta voce anda x e no zigue- zague, 2x. So que no limite, a reta e o zigue-zague se confundem. Logo, x = 2x e 1=2. glauber.morais wrote: Olá, Alguém seria capaz de provar o seguinte lim sem utilizar o lim fundamental do sen: lim x.tg(n/x)=n x-inf ou lim x.sen(n/x)=n x-inf oi.. Considera-se uma circunferência de centro A e raio R. E um triângulo retângulo ABC, sendo os cateto AB=R e BC, a é o ângulo CâB. Para a infinitamene pequeno, o cateto BC se confunde com a circunferência. Iguala-se ,então, o semi- perímetro da circunferência, calculado através do raio da circunferência e através d o somatório de vários CBs dispostos lado a lado com A no centro da circunferência. A partir daí, deduz- se o lim. proposto. Desculpem qualquer confusão causada pela falta de recurso do teclado... _(ver correção na questão) __ ___ Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador B OL ! http://sac.bol.com.br/discador.html Ainda não tem AcessoBOL? Assine já! http://sac.bol.c o m. br = == == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usa r a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] rio.br = == == _ __ ___ Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador B OL ! http://sac.bol.com.br/discador.html Ainda não tem AcessoBOL? Assine já! http://sac.bol.co m. br = == == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] rio.br = == == __ Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador BO L! http://sac.bol.com.br/discador.html Ainda não tem AcessoBOL? Assine já! http://sac.bol.com .br == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] == === __ Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador BOL! http://sac.bol.com.br/discador.html Ainda não tem AcessoBOL? Assine já! http://sac.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re:[obm-l] desafio(correção)
Olá, Alguém seria capaz de provar o seguinte lim sem utilizar o lim fundamental do sen: lim x.tg(n/x)=n x-inf ou lim x.sen(n/x)=n x-inf oi.. Considera-se uma circunferência de centro A e raio R. E um triângulo retângulo ABC, sendo os cateto AB=R e BC, a é o ângulo CâB. Para a infinitamene pequeno, o cateto BC se confunde com a circunferência. Iguala-se ,então, o semi-perímetro da circunferência, calculado através do raio da circunferência e através d o somatório de vários CBs dispostos lado a lado com A no centro da circunferência. A partir daí, deduz-se o lim. proposto. Desculpem qualquer confusão causada pela falta de recurso do teclado... _(ver correção na questão) __ ___ Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador B OL ! http://sac.bol.com.br/discador.html Ainda não tem AcessoBOL? Assine já! http://sac.bol.co m. br = == == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] rio.br = == == ___ ___ Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador BOL ! http://sac.bol.com.br/discador.html Ainda não tem AcessoBOL? Assine já! http://sac.bol.com. br === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] === == __ Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador BOL! http://sac.bol.com.br/discador.html Ainda não tem AcessoBOL? Assine já! http://sac.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re:[obm-l] desafio(correção)
Esse seu argumento eh perigoso. Considere um segmento AB de comprimento x. Para ir de A a B, anda-se x. Pense agora num triangulo equilatero ABC. Para ir de A a B via C, anda-se 2x. Agora quebre AB ao meio, no ponto M. Para ir de A a B em linha reta via M, anda-se x. Faa a mesma coisa do triangulo equilatero sobre AM e sobre MB, anda-se 2x. Quebre AM e MB ao meio, etc. No limite, na reta voce anda x e no zigue-zague, 2x. So que no limite, a reta e o zigue-zague se confundem. Logo, x = 2x e 1=2. glauber.morais wrote: H52HKA$[EMAIL PROTECTED]"> Ol, Algum seria capaz de provar o seguinte lim sem utilizar o lim fundamental do sen: lim x.tg(n/x)=n x-inf ou lim x.sen(n/x)=n x-inf oi.. Considera-se uma circunferncia de centro "A" e raio "R". E um tringulo retngulo "ABC", sendo os cateto AB=R e BC, "a" o ngulo CB. Para "a" infinitamene pequeno, o cateto BC se confunde com a circunferncia.Iguala-se ,ento, o semi-permetro da circunferncia, calculado atravs do raio da circunferncia e atravs d o somatrio de vrios "CB"s dispostos lado a lado com "A" no centro da circunferncia. A partir da, deduz-se o lim. proposto. Desculpem qualquer confuso causada pela falta de recurso do teclado... _(ver correo na questo) __ ___ Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador B OL ! http://sac.bol.com.br/discador.htmlAinda no tem AcessoBOL? Assine j! http://sac.bol.co m. br = == == Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista [EMAIL PROTECTED]- rio.br = == == ___ ___ Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador BOL ! http://sac.bol.com.br/discador.htmlAinda no tem AcessoBOL? Assine j! http://sac.bol.com. br === == Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista [EMAIL PROTECTED]=== == __Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador BOL!http://sac.bol.com.br/discador.htmlAinda no tem AcessoBOL? Assine j! http://sac.bol.com.br=Instrues para entrar na
[obm-l] Re: [obm-l] Desafio [correção]
Caro Bruno e colegas,
minha conclusão foi errônea, como muitas de outras mensagens minhas.
O fato de P = (1 + RAIZ_n(4))^n implica, por exemplo que:
P = 2^n, já que 1 + RAIZ_n(4) 2
O meu erro foi achar que RAIZ_n(4) tende a zero quando n cresce, isso não é
verdade. Essa seqüência tende a 1, de modo descrescente.
Mesmo assim *acho* que a alternativa correta é e).
Pois para n=1, podemos fazer P=5. De modo que a) não pode valer. As
alternativas b) e d) certamente não valem. Não sei quanto a c). Vou pensar
mais a respeito.
Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED]
Caro Bruno,
a notação que você usou não está muito legível. Seria melhor adotar
índices
para os a's, por exemplo: a_1, a_2, a_3, ..., a_n. Para fazer
exponenciação
geralmente se usa ^, aí as alternativas seriam P2^(n+3), P5^n, e assim
por diante.
Quanto ao problema. Existe uma desigualdade, que aprendi a demonstrar por
indução (e talvez você já conheça ou queira provar como exercício) que diz
que se a_1, a_2, ..., a_n são números não-negativos então
(1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) = 1 + (a_1*a_2*...*a_n)
com a igualdade se e so se todos os a_i's forem iguais a zero.
No caso do seu problema. Temos
P = (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) 1 + (a_1*a_2*...*a_n) = 5.
Isso claramente não resolve o problema. Uma estratégia mais interessante
me
parece procurar pelo valor mínimo de P, após fixado o n.
Fazendo a multiplicação, temos
P = (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) = 1 + [a_1+a_2+...+a_n] +
[a_1a_2+a_1a_3+...+a_(n-1)a_n] + ... + [a_1a_2...a_n]
No primeiro colchetes temos os n termos a's solitários.
No segundo colchetes temos os produtos de pares de a's.
No terceiro, o produto de trincas. E assim por diante.
Vamos aplicar a desigualdade: média aritmética = média geométrica em cada
um dos colchetes.
P = 1 + n*[RAIZ_n {a_1a_2...a_n}] + n(n-1)/2*[RAIZ_n(n-1)/2
{(a_1a_2...a_n)^(n-1)}] + ... + [a_1a_2...a_n]
De forma mais compacta
P = 1 + SOMATÓRIO{ k=1...n :C(n,k) * RAIZ_C(n,k) {
(a_1a_2...a_n)^(C(n-1,k-1)) } } =
1 + SOMATÓRIO{ k=1...n :C(n,k) * (RAIZ_n (4^k) }
= (1 + RAIZ_n(4))^n
((Revisem as contas, fiz de modo simplificado))
Basta mostrar que a igualdade ocorre se e somente se a_1=a_2=...a_n, mas
isso é claro por termos usado a desigualdade média aritmética e
geométrica.
Portanto P = (1 + RAIZ_n(4))^n e a igualdade pode ocorrer para cada n.
Com isso fica fácil de ver que qualquer exponencial do tipo a^n (onde a1)
vai acabar superando P para algum n suficientemente grande, repare que 1 +
RAIZ_n(4), a base da nossa exponencial se aproxima de 1 a medida que n
cresce. De modo que nem a) nem b) nem c) nem d) são verdadeiras. Logo a
alternativa correta é e).
Um abraço!
Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
From: Bruno
Eu não consegui fazer este exercício do ITA e desafio todos dessa lista:
Suponha a', a'', ., an são números reais positivos, com n2 e que
a'.a''.a'''an=4
Nesta situação, a repeito do produto:
P=(1+a')(1+a'')...(1+an) temos:
n+3
a.)P2
n
b.)P5
n+1
c.)P2
n+1
d.)P5
e.)n.d.a.
=
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=
