[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

[Pedro Angelo]

Vou seguir um caminho diferente do que vcs estavam seguindo, porque
sou ruim com demonstrações mais algébricas :)

Sabemos que f é periódica. Para facilitar as contas, digamos que 1
seja período de f (se não for, adaptar a demonstração é fácil).
Digamos que g seja periódica, de período T.

Vamos olhar para a parte positiva dos domínios de f e de g. Na
semireta positiva, x-->x^2 é uma bijeção. Como o Claudio já mencionou
lá em cima, quando transpomos o domínio de g de volta para o de f
através dessa bijeção, as transposições dos períodos de f ficam cada
vez menores à medida que os valores aumentam. O "primeiro período" de
f é [0,1], que é levado em [0,1]. O segundo é [1,2], levado em
[1,sqrt(2)]. O n-ésimo é [n,n+1], e é levado em [sqrt(n),sqrt(n+1)],
que tem tamanho igual a sqrt(n+1)-sqrt(n) = 1/(sqrt(n)+sqrt(n+1)), que
tende a zero.

Isso tudo significa que, quando olhamos para x-->oo no domínio de g,
cada período [kT, (k+1)T] de g engloba uma quantidade cada vez maior
de períodos de f. Em particular, à medida que esse k aumenta,
conseguimos fazer com que o intervalo [kT,kT+epsilon] englobe um
período inteiro de f, e o menor epsilon necessário para isso tende a
zero quando k-->

Como [kT,kT+epsilon] engloba um período inteiro de f, a imagem desse
intervalo sob g é igual à imagem (global) de f. Como g é periódica,
essa imagem é a mesma que a imagem do intervalo [0,epsilon] sob g.
Resumindo: para qualquer epsilon, a imagem do intervalo [0,epsilon]
sob g é igual à imagem de f. Como f é contínua não-constante, a sua
imagem é um intervalo fechado [a,b] com b>a. Isso significa que g não
pode ser contínua em 0.

Não sei se isso foi tiro de canhão para matar mosca, talvez a
demonstração algébrica seja mais simples, mas eu gosto dessa :)

2018-04-14 13:27 GMT-03:00 Pedro Angelo :
> Acho que a definição mais abrangente de "função periódica" é "qualquer
> função que apresente um período".  Um "período" é qualquer número
> positivo T tal que para todo x, f(x+T)=f(x). Eu dei o exemplo da
> função indicadora dos racionais ali em cima: f(x)=1 quando x é
> racional, e f(x)=0 quando x é irracional. Essa função é "periódica"
> nessa definição, pois qualquer número racional é um período dessa
> função (ou seja, se r é racional, então para todo x, f(x)=f(x+r)). Mas
> essa função não apresenta um "menor período", justamente porque não
> existe um menor racional negativo.
>
> Acho que matei a questão do g não ser periódica, mas na verdade não
> precisei usar o fato de que f tem período fundamental, mas usei uma
> ideia parecida. Vou enviar daqui a pouco.
>
> 2018-04-14 13:15 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>> Mas a existência de um período fundamental (o menor real positivo T tal que
>> f(x) = f(x+T) para todos x, x + T no domínio de f) não é o que define uma
>> função periódica não-constante (contínua ou não)?
>>
>>
>> 2018-04-14 13:03 GMT-03:00 Pedro Angelo :
>>>
>>> Eu quando li o enunciado original, não reparei no "contínua". Tentei
>>> provar, e não consegui. Sabendo que é contínua, dá pra usar o fato de
>>> que uma função periódica não-constante contínua sempre tem um período
>>> fundamental. Demonstração: seja f uma função periódica que não
>>> apresenta período fundamental (por exemplo, a função indicadora dos
>>> racionais, que aceita qualquer racional como período). Como não há
>>> período mínimo, a imagem de qualquer intervalo é igual à imagem da
>>> função inteira, e portanto a oscilação de f em [x,x+epsilon] é igual
>>> para qualquer epsilon. Ou seja, essa oscilação é constante (igual à
>>> oscilação global de f) à medida que epsilon tende a zero. Se essa
>>> oscilação global for zero, a função é constante. Se não for zero,
>>> então a função não é contínua em x. Como x é arbitrário, f não é
>>> contínua em nenhum ponto.
>>>
>>> 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>> :
>>> > Oi Claudio,
>>> >
>>> > 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>>> >> f é periódica (digamos, de período T > 0).
>>> >>
>>> >> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>>> >>
>>> >> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
>>> >> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
>>> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>>> >
>>> > não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é
>>> > múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
>>> > todo a.
>>> >
>>> >> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
>>> >> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que
>>> >> contraria
>>> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>>> >
>>> > Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
>>> > limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
>>> > complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
>>> > contínua"...
>>> >
>>> 

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

[Pedro Angelo]

Acho que a definição mais abrangente de "função periódica" é "qualquer
função que apresente um período".  Um "período" é qualquer número
positivo T tal que para todo x, f(x+T)=f(x). Eu dei o exemplo da
função indicadora dos racionais ali em cima: f(x)=1 quando x é
racional, e f(x)=0 quando x é irracional. Essa função é "periódica"
nessa definição, pois qualquer número racional é um período dessa
função (ou seja, se r é racional, então para todo x, f(x)=f(x+r)). Mas
essa função não apresenta um "menor período", justamente porque não
existe um menor racional negativo.

Acho que matei a questão do g não ser periódica, mas na verdade não
precisei usar o fato de que f tem período fundamental, mas usei uma
ideia parecida. Vou enviar daqui a pouco.

2018-04-14 13:15 GMT-03:00 Claudio Buffara :
> Mas a existência de um período fundamental (o menor real positivo T tal que
> f(x) = f(x+T) para todos x, x + T no domínio de f) não é o que define uma
> função periódica não-constante (contínua ou não)?
>
>
> 2018-04-14 13:03 GMT-03:00 Pedro Angelo :
>>
>> Eu quando li o enunciado original, não reparei no "contínua". Tentei
>> provar, e não consegui. Sabendo que é contínua, dá pra usar o fato de
>> que uma função periódica não-constante contínua sempre tem um período
>> fundamental. Demonstração: seja f uma função periódica que não
>> apresenta período fundamental (por exemplo, a função indicadora dos
>> racionais, que aceita qualquer racional como período). Como não há
>> período mínimo, a imagem de qualquer intervalo é igual à imagem da
>> função inteira, e portanto a oscilação de f em [x,x+epsilon] é igual
>> para qualquer epsilon. Ou seja, essa oscilação é constante (igual à
>> oscilação global de f) à medida que epsilon tende a zero. Se essa
>> oscilação global for zero, a função é constante. Se não for zero,
>> então a função não é contínua em x. Como x é arbitrário, f não é
>> contínua em nenhum ponto.
>>
>> 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa
>> :
>> > Oi Claudio,
>> >
>> > 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>> >> f é periódica (digamos, de período T > 0).
>> >>
>> >> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>> >>
>> >> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
>> >> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
>> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>> >
>> > não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é
>> > múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
>> > todo a.
>> >
>> >> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
>> >> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que
>> >> contraria
>> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>> >
>> > Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
>> > limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
>> > complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
>> > contínua"...
>> >
>> >> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner
>> >> :
>> >>>
>> >>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante.
>> >>> Mostre
>> >>> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>> >>>
>> >>> Artur
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>> > Abraços,
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