Vou seguir um caminho diferente do que vcs estavam seguindo, porque sou ruim com demonstrações mais algébricas :)
Sabemos que f é periódica. Para facilitar as contas, digamos que 1 seja período de f (se não for, adaptar a demonstração é fácil). Digamos que g seja periódica, de período T. Vamos olhar para a parte positiva dos domínios de f e de g. Na semireta positiva, x-->x^2 é uma bijeção. Como o Claudio já mencionou lá em cima, quando transpomos o domínio de g de volta para o de f através dessa bijeção, as transposições dos períodos de f ficam cada vez menores à medida que os valores aumentam. O "primeiro período" de f é [0,1], que é levado em [0,1]. O segundo é [1,2], levado em [1,sqrt(2)]. O n-ésimo é [n,n+1], e é levado em [sqrt(n),sqrt(n+1)], que tem tamanho igual a sqrt(n+1)-sqrt(n) = 1/(sqrt(n)+sqrt(n+1)), que tende a zero. Isso tudo significa que, quando olhamos para x-->oo no domínio de g, cada período [kT, (k+1)T] de g engloba uma quantidade cada vez maior de períodos de f. Em particular, à medida que esse k aumenta, conseguimos fazer com que o intervalo [kT,kT+epsilon] englobe um período inteiro de f, e o menor epsilon necessário para isso tende a zero quando k--> Como [kT,kT+epsilon] engloba um período inteiro de f, a imagem desse intervalo sob g é igual à imagem (global) de f. Como g é periódica, essa imagem é a mesma que a imagem do intervalo [0,epsilon] sob g. Resumindo: para qualquer epsilon, a imagem do intervalo [0,epsilon] sob g é igual à imagem de f. Como f é contínua não-constante, a sua imagem é um intervalo fechado [a,b] com b>a. Isso significa que g não pode ser contínua em 0. Não sei se isso foi tiro de canhão para matar mosca, talvez a demonstração algébrica seja mais simples, mas eu gosto dessa :) 2018-04-14 13:27 GMT-03:00 Pedro Angelo <[email protected]>: > Acho que a definição mais abrangente de "função periódica" é "qualquer > função que apresente um período". Um "período" é qualquer número > positivo T tal que para todo x, f(x+T)=f(x). Eu dei o exemplo da > função indicadora dos racionais ali em cima: f(x)=1 quando x é > racional, e f(x)=0 quando x é irracional. Essa função é "periódica" > nessa definição, pois qualquer número racional é um período dessa > função (ou seja, se r é racional, então para todo x, f(x)=f(x+r)). Mas > essa função não apresenta um "menor período", justamente porque não > existe um menor racional negativo. > > Acho que matei a questão do g não ser periódica, mas na verdade não > precisei usar o fato de que f tem período fundamental, mas usei uma > ideia parecida. Vou enviar daqui a pouco. > > 2018-04-14 13:15 GMT-03:00 Claudio Buffara <[email protected]>: >> Mas a existência de um período fundamental (o menor real positivo T tal que >> f(x) = f(x+T) para todos x, x + T no domínio de f) não é o que define uma >> função periódica não-constante (contínua ou não)? >> >> >> 2018-04-14 13:03 GMT-03:00 Pedro Angelo <[email protected]>: >>> >>> Eu quando li o enunciado original, não reparei no "contínua". Tentei >>> provar, e não consegui. Sabendo que é contínua, dá pra usar o fato de >>> que uma função periódica não-constante contínua sempre tem um período >>> fundamental. Demonstração: seja f uma função periódica que não >>> apresenta período fundamental (por exemplo, a função indicadora dos >>> racionais, que aceita qualquer racional como período). Como não há >>> período mínimo, a imagem de qualquer intervalo é igual à imagem da >>> função inteira, e portanto a oscilação de f em [x,x+epsilon] é igual >>> para qualquer epsilon. Ou seja, essa oscilação é constante (igual à >>> oscilação global de f) à medida que epsilon tende a zero. Se essa >>> oscilação global for zero, a função é constante. Se não for zero, >>> então a função não é contínua em x. Como x é arbitrário, f não é >>> contínua em nenhum ponto. >>> >>> 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa >>> <[email protected]>: >>> > Oi Claudio, >>> > >>> > 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara <[email protected]>: >>> >> f é periódica (digamos, de período T > 0). >>> >> >>> >> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P. >>> >> >>> >> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) = >>> >> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==> >>> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N. >>> > >>> > não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é >>> > múltiplo do período. Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para >>> > todo a. >>> > >>> >> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) - >>> >> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que >>> >> contraria >>> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP. >>> > >>> > Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o >>> > limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais >>> > complicado. Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f >>> > contínua"... >>> > >>> >> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner >>> >> <[email protected]>: >>> >>> >>> >>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. >>> >>> Mostre >>> >>> que g(x) = f(x^2) não é periódica. >>> >>> >>> >>> Artur >>> > >>> > Abraços, >>> > -- >>> > Bernardo Freitas Paulo da Costa >>> > >>> > -- >>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> > acredita-se estar livre de perigo. >>> > >>> > >>> > >>> > ========================================================================= >>> > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> > >>> > ========================================================================= >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> ========================================================================= >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> ========================================================================= >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
