[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular
Olá a todos! Alguns comentários remanescentes: A introdução... Por diletantismo, quis demonstrar (ou apenas mostrar, vá lá...) que, quando aumentamos o número de lados de um polígono regular, inscrito num círculo invariante, o perímetro também aumenta. Quis, ainda, que essa demonstração se valesse apenas de conceitos geométricos básicos, como se eu estivesse desenhando numa folha de papel. Sendo assim... 1) Ao caríssimo Nehab: Acho que o item 5 fica mais bem demonstrado através do desenho (do desenho!) da elipse, feito toscamente a partir da definição desta cônica. Isto para dispensar a trigonometria. 2) Ao caríssimo Bernardo: First of all, não reclame da sua idade, acho que sou mais velho do que você! Seu 1º comentário é: Na minha terra, uma quantidade que não diminui, pode aumentar. É claro que eu estava interessado apenas em demonstrar que o perímetro do triângulo diminuía. Daí, mostrei que, para que o perímetro ficasse constante, o ponto do meio deveria passear por uma elipse e, portanto, passear por fora do círculo. Para que o perímetro aumentasse, o passeio desse ponto deveria ser por fora da elipse, além, muito além daquela serra, que ainda azula no horizonte... (Ops! Muito além do círculo!). Aqui, acho que você quis ser ranzinza. Mas o seu comentário mais agudo refere-se à convergência do processo de tornar isósceles (no vértice N+1) os triângulos formados pelos vértices N, N+1 e N+2. Repare, entretanto, que esse processo é desnecessário. I.e., não é necessário demonstrar que quando transformamos um polígono irregular num regular, maximizamos o seu perímetro. O item 5 afirma a mesma coisa, mas vista ao contrário: Quando transformamos um polígono regular num irregular, seu perímetro diminui, porque os triângulos (N, N+1, N+2) deixam de ser isósceles. Explico-me: Considere um polígono regular. Vamos mexer em um de seus vértices o ponto X (aqui tem um gatinho mato-o depois). O perímetro vai diminuir, porque o triângulo (X-1, X, X+1) deixou de ser isósceles. Para que o perímetro volte à sua condição original (aumente), temos que mexer no ponto X+1, para tornar isósceles o triângulo (X, X+1, X+2). Mas, aí, o triângulo (X+1, X+2, X+3) deixa de ser isósceles e o perímetro ainda não voltou à condição original. Daí, temos que mexer no ponto X+2. E assim sucessivamente... A ideia, contudo, NÃO é demonstrar que esse processo converge para a restituição do polígono regular, fazendo apenas uma rotação do mesmo. A ideia é mostrar (não demonstrar!) que não se pode mexer no polígono regular sem que ele, coitado, perca um pedaço do seu perímetro. O gatinho é o seguinte: Podemos mexer em mais de um vértice! Mas este é um gato natimorto, no máximo, o gato de Schrödinger! Abraços, Albert Bouskela bousk...@gmail.com -Mensagem original- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Carlos Nehab Enviada em: 28 de março de 2012 20:26 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular Bouskela e Bernardo, Sem entrar no mérito do argumento como um todo, o item 5 pode ser desenvolvido de forma mais simples, não exigindo a elipse: Sendo O é o centro do circulo´e os vértices consecutivos A, B e C, façamos: AOC = alfa (fixo), AOB = beta e BOC = gama, O comprimento AB + BC é dado por 2Rsen(beta/2) + 2Rsen(gama/2) = 4Rsen(alfa/4).cos(beta/4-gama/4) que é máximo quando cos = 1 ou seja, beta = gama. Quanto à preocupação do Bernardo com a justificável precisão de convergência, etc, quem trabalha com meninos do nivel médio (como eu, em turmas de preparação ao IME/ITA) tem dúzias de preocupações assemelhadas e até em assuntos aparentemente óbvios. Por exemplo: prove que a área de um retângulo é igual ao produto dos lados. Acha fácil? Não é não, pois se os lados do retângulo são múltiplos racionais do lado do quadrado que serve de unidade de medida, tudo bem, mas se não forem, olha a confusão! Tem que falar em aproximação de irracionais por racionais ou coisa análoga ou ficar de boca fechada e tocar o bonde ou, se a turma for melhorzinha (tipo IME/ITA, etc) ai tá, damos uma pincelada na questão... E na primeira série? Soma das PGs ilimitadas são apresentadas sem nenhuma formalização do conceito de limite, etc e pronto; E dízimas para as pobres criancinhas... tantos noves ... tantos zeros quanto ! Agh. Sempre achei equivalente a assassinato o estudo de dízimas na época em que é feito. E por ai vai. Abraços Nehab PS: Acho que me excedi... e me empolguei. Faz parte. Em 28/03/2012 18:09, Bernardo Freitas Paulo da Costa escreveu: 2012/3/28 Albert Bouskelaalb...@themag.com.br: Ois! Antes de mais nada, parabéns ao Albert por ter matado o problema. Enfim, a sacada de gênio, claro, porque se eu estou escrevendo um mail a mais, é que eu ainda não estou satisfeito... mas é pura chatice minha. Coisas
[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular
Pois é, galera. A discussão foi muito interessante, e a solução geométrica muito legal. Mas não podemos negar que a questão é bastante difícil... acho difícil haver uma outra solução puramente geométrica. Enfim, o Colégio Naval é uma prova bastante interessante e, normalmente, os gabaritos que ocorrem em Matemática ocorrem por alunos em um nível bastante diferenciado em relação à média do ensino brasileiro... Essa questão torna-se simples ao conjecturarmos o perímetro como crescente, resolvendo-a tão somente para marcar a opção correta. Mas o fato é que, em outras, certos lemas não são tão evidentes... sempre gostei bastante das provas do CN. Em 29/03/12, Albert Bouskelabousk...@gmail.com escreveu: Olá a todos! Alguns comentários remanescentes: A introdução... Por diletantismo, quis demonstrar (ou apenas mostrar, vá lá...) que, quando aumentamos o número de lados de um polígono regular, inscrito num círculo invariante, o perímetro também aumenta. Quis, ainda, que essa demonstração se valesse apenas de conceitos geométricos básicos, como se eu estivesse desenhando numa folha de papel. Sendo assim... 1) Ao caríssimo Nehab: Acho que o item 5 fica mais bem demonstrado através do desenho (do desenho!) da elipse, feito toscamente a partir da definição desta cônica. Isto para dispensar a trigonometria. 2) Ao caríssimo Bernardo: First of all, não reclame da sua idade, acho que sou mais velho do que você! Seu 1º comentário é: Na minha terra, uma quantidade que não diminui, pode aumentar. É claro que eu estava interessado apenas em demonstrar que o perímetro do triângulo diminuía. Daí, mostrei que, para que o perímetro ficasse constante, o ponto do meio deveria passear por uma elipse e, portanto, passear por fora do círculo. Para que o perímetro aumentasse, o passeio desse ponto deveria ser por fora da elipse, além, muito além daquela serra, que ainda azula no horizonte... (Ops! Muito além do círculo!). Aqui, acho que você quis ser ranzinza. Mas o seu comentário mais agudo refere-se à convergência do processo de tornar isósceles (no vértice N+1) os triângulos formados pelos vértices N, N+1 e N+2. Repare, entretanto, que esse processo é desnecessário. I.e., não é necessário demonstrar que quando transformamos um polígono irregular num regular, maximizamos o seu perímetro. O item 5 afirma a mesma coisa, mas vista ao contrário: – Quando transformamos um polígono regular num irregular, seu perímetro diminui, porque os triângulos (N, N+1, N+2) deixam de ser isósceles. Explico-me: Considere um polígono regular. Vamos mexer em um de seus vértices – o ponto X (aqui tem um gatinho – mato-o depois). O perímetro vai diminuir, porque o triângulo (X-1, X, X+1) deixou de ser isósceles. Para que o perímetro volte à sua condição original (aumente), temos que mexer no ponto X+1, para tornar isósceles o triângulo (X, X+1, X+2). Mas, aí, o triângulo (X+1, X+2, X+3) deixa de ser isósceles e o perímetro ainda não voltou à condição original. Daí, temos que mexer no ponto X+2. E assim sucessivamente... A ideia, contudo, NÃO é demonstrar que esse processo converge para a restituição do polígono regular, fazendo apenas uma rotação do mesmo. A ideia é mostrar (não demonstrar!) que não se pode mexer no polígono regular sem que ele, coitado, perca um pedaço do seu perímetro. O gatinho é o seguinte: – Podemos mexer em mais de um vértice! Mas este é um gato natimorto, no máximo, o gato de Schrödinger! Abraços, Albert Bouskela bousk...@gmail.com -Mensagem original- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Carlos Nehab Enviada em: 28 de março de 2012 20:26 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular Bouskela e Bernardo, Sem entrar no mérito do argumento como um todo, o item 5 pode ser desenvolvido de forma mais simples, não exigindo a elipse: Sendo O é o centro do circulo´e os vértices consecutivos A, B e C, façamos: AOC = alfa (fixo), AOB = beta e BOC = gama, O comprimento AB + BC é dado por 2Rsen(beta/2) + 2Rsen(gama/2) = 4Rsen(alfa/4).cos(beta/4-gama/4) que é máximo quando cos = 1 ou seja, beta = gama. Quanto à preocupação do Bernardo com a justificável precisão de convergência, etc, quem trabalha com meninos do nivel médio (como eu, em turmas de preparação ao IME/ITA) tem dúzias de preocupações assemelhadas e até em assuntos aparentemente óbvios. Por exemplo: prove que a área de um retângulo é igual ao produto dos lados. Acha fácil? Não é não, pois se os lados do retângulo são múltiplos racionais do lado do quadrado que serve de unidade de medida, tudo bem, mas se não forem, olha a confusão! Tem que falar em aproximação de irracionais por racionais ou coisa análoga ou ficar de boca fechada e tocar o bonde ou, se a turma for melhorzinha (tipo IME/ITA, etc) ai tá, damos uma pincelada
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Bouskela e Bernardo, Sem entrar no mérito do argumento como um todo, o item 5 pode ser desenvolvido de forma mais simples, não exigindo a elipse: Sendo O é o centro do circulo´e os vértices consecutivos A, B e C, façamos: AOC = alfa (fixo), AOB = beta e BOC = gama, O comprimento AB + BC é dado por 2Rsen(beta/2) + 2Rsen(gama/2) = 4Rsen(alfa/4).cos(beta/4-gama/4) que é máximo quando cos = 1 ou seja, beta = gama. Quanto à preocupação do Bernardo com a justificável precisão de convergência, etc, quem trabalha com meninos do nivel médio (como eu, em turmas de preparação ao IME/ITA) tem dúzias de preocupações assemelhadas e até em assuntos aparentemente óbvios. Por exemplo: prove que a área de um retângulo é igual ao produto dos lados. Acha fácil? Não é não, pois se os lados do retângulo são múltiplos racionais do lado do quadrado que serve de unidade de medida, tudo bem, mas se não forem, olha a confusão! Tem que falar em aproximação de irracionais por racionais ou coisa análoga ou ficar de boca fechada e tocar o bonde ou, se a turma for melhorzinha (tipo IME/ITA, etc) ai tá, damos uma pincelada na questão... E na primeira série? Soma das PGs ilimitadas são apresentadas sem nenhuma formalização do conceito de limite, etc e pronto; E dízimas para as pobres criancinhas... tantos noves ... tantos zeros quanto ! Agh. Sempre achei equivalente a assassinato o estudo de dízimas na época em que é feito. E por ai vai. Abraços Nehab PS: Acho que me excedi... e me empolguei. Faz parte. Em 28/03/2012 18:09, Bernardo Freitas Paulo da Costa escreveu: 2012/3/28 Albert Bouskelaalb...@themag.com.br: Ois! Antes de mais nada, parabéns ao Albert por ter matado o problema. Enfim, a sacada de gênio, claro, porque se eu estou escrevendo um mail a mais, é que eu ainda não estou satisfeito... mas é pura chatice minha. Coisas da idade. 3)Mantendo-se invariante o número de vértices, o polígono inscrito num círculo que tem (refiro-me ao polígono) o maior perímetro é o polígono regular! 4)Prova: – Peguem 3 pontos consecutivos (adjacentes) de um polígono. O 1º e o 3º formam a corda que nos interessa. Os 3 pontos formam um triângulo. Para que o perímetro desse triângulo seja máximo, ele deve ser isósceles (prova adiante). I.e., o 2º ponto deve coincidir com a interseção da maior flecha da corda formada pelos 1º e 3º pontos – i.e., a mediatriz da corda – com o círculo. Por quê? Eu não diria que é o perímetro do triângulo, mas apenas AB + BC (onde A, B e C são, nessa ordem, os pontos consecutivos). Claro que como apenas B mexe, somar AC é uma constante, logo não muda nada. Mas o importante ainda está por vir. 5)Porque quando o ponto do meio (o 2º) passeia ao longo do arco compreendido pela corda, a partir do ponto central (o ponto de interseção da mediatriz da corda com o círculo), o perímetro do triângulo diminui! Caso não diminuísse (ficasse constante), Na minha terra, uma quantidade que não diminui, pode aumentar. o LG do 2º ponto seria uma elipse, com polos no 1º e 3º pontos – lembrem-se da definição da elipse (é o LG dos pontos cuja soma das distâncias do ponto considerado até dois pontos fixos, os polos, é invariante). Esta elipse passaria “por fora” do círculo, tangenciando-o no ponto de interseção da mediatriz da corda com o círculo. Mas o argumento da elipse ainda assim é válido. Mas tem que dar uns detalhes a mais: considere a elipse de focos A e C passando por B. Como B está na mediatriz de AC, a elipse é tangente ao círculo em B. As posições de uma elipse e um círculo são bem simples: é uma questão de curvatura. Ora, a elipse com certeza passa fora do círculo na altura da reta AC, logo ela também tem que estar do lado de fora acima, logo a semi-elipse A'BC' contém o arco ABC. Como os pontos dentro da elipse são os que têm a soma MENOR do que AB+BC, acabou. 6)Já que o triângulo deve ser isósceles, então o polígono deve ser regular! Muita calma nessa hora. Seja P um polígono que não é regular. Seja P' o polígono obtido de P isoscelizando dois lados contíguos como o Albert fez. Então per(P) per(P'). Em particular, se P for regular, o procedimento do Albert não permite aumentar o comprimento, mas é só isso. Claro que se você tomar outro polígono (que não seja regular, portanto) ele não será o de maior perímetro, mas isso não implica que o regular seja o maximizador. Assim, aqui vem a minha chatice maior. Falta um de dois argumentos. Um de convergência (se a gente tiver sorte, para o máximo), o outro de existência do dito máximo. A existência é um treco chato, e eu não sei provar sem análise/topologia. O máximo existe porque o comprimento de um polígono é uma função contínua dos ângulos dos vértices do mesmo, que vivem num conjunto compacto (o círculo) e são em número finito. Sabendo da existência, acabou: seja P o polígono que é de maior perímetro. A construção do Bouskela diz que P tem que ser regular, já que, se
