Ola Aline,
A demonstracao direta costuma esconder a essencia da coisa. E
necessário voce visualiza-la antes de monta-la. No caso particular sob
consideracao, IMAGINE o ponto medio entre a e b, isto e, imagine
c=(a+b) / 2. Vai chegar um momento que os Yn's ESTARAO e PERMANECERAO
a direita de c e os X's ESTARAO e PERMANECERAO a esquerda de c.
Quando isso ocorre teremos que Xn Yn ...
Rigorosamente falando, podemos escrever assim :
Seja E = (b - a) / 2. Entao E 0, pois b a. Logo, por definicao de
LIMITE, temos que :
1) Existe um natural N1 tal que n N1 implica Xn pertence a (a - E, a
+ E). Como E=(b-a)/2 segue que existe N1 tal que n N1 implica Xn
a+E = (a+b) /2, isto e, n N1 = Xn (a+b) / 2
2) Existe um natural N2 tal que n N2 implica Yn pertence a
(b-E,b+E). Como E=(b-a)/2 segue que
existe N2 talo que n N2 implica Yn b-E = (a+b) /2
Tomando N3 = max{N1,N2} vemos que para n N3 implica que Xn (a+b)/2
Yn, ou seja , para todo natural n N3 teremos que Xn Yn, que é o
que queriamos demonstrar.
Um abraco a todos !
PSR,21807091207
Como a b, seja E = (b - a) / 2. Entao E 0. Por definicao existe
um natural No tal que N No implica que Yn pertence a (b-E,b+E), vale
dizer,
2009/7/6 Aline Correa alineuerj1...@gmail.com:
Estou tentando resolver os exercícios do capítulo 3 do livro de Análise Real
I do Elon e não estou conseguindo fazer algumas questões. Alguém poderia me
ajudar?
Segue abaixo as questões:
Sejam lim xn = a e lim yn = b. Se a b, prove que existe n0 pertence N tal
que n n0 = xn yn.
Diz-se que (xn) é uma sequência de Cauch quando, para todo E 0 dado,
existe n0 pertence N tal que m, n n0 = |xm - xn| E.
Desde já grata.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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