[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos.
Verdade, não tinha percebido. Em dom, 24 de nov de 2019 14:17, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Esdras, > Não seria z>=3. > 3, 2, 2 dá um obtusângulo. > > Saudações, > PJMS > > Em sáb, 23 de nov de 2019 01:52, Esdras Muniz > escreveu: > >> Acho que a questão pressupõe que os lados devem ser inteiros. Daí se os >> lados são x, y e z, com x<=y> x^2+y^2x^2+y^2 e >> z> Daí, z é ao menos 4, vc sai contando caso a caso... >> >> Em sex, 22 de nov de 2019 20:39, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >>> Do jeito que está escrito, uma infinidade. >>> >>> Enviado do meu iPhone >>> >>> > Em 22 de nov de 2019, à(s) 19:18, Guilherme Abbehusen < >>> gui.abbehuse...@gmail.com> escreveu: >>> > >>> > >>> > Olá, >>> >  Preciso de ajuda com a seguinte questão: >>> > >>> > Tendo em vista a leis dos Cossenos, marque a quantidade de triângulos >>> obtusângulos que podemos formar com lados menores do que 7. >>> > a) 6 >>> > b) 7 >>> > c) 8 >>> > d) 9 >>> > e) 10 >>> > >>> > -- >>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> > acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> = >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> = >>> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos.
Boa tarde! Esdras, Não seria z>=3. 3, 2, 2 dá um obtusângulo. Saudações, PJMS Em sáb, 23 de nov de 2019 01:52, Esdras Muniz escreveu: > Acho que a questão pressupõe que os lados devem ser inteiros. Daí se os > lados são x, y e z, com x<=y x^2+y^2x^2+y^2 e > z Daí, z é ao menos 4, vc sai contando caso a caso... > > Em sex, 22 de nov de 2019 20:39, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Do jeito que está escrito, uma infinidade. >> >> Enviado do meu iPhone >> >> > Em 22 de nov de 2019, à(s) 19:18, Guilherme Abbehusen < >> gui.abbehuse...@gmail.com> escreveu: >> > >> > >> > Olá, >> >  Preciso de ajuda com a seguinte questão: >> > >> > Tendo em vista a leis dos Cossenos, marque a quantidade de triângulos >> obtusângulos que podemos formar com lados menores do que 7. >> > a) 6 >> > b) 7 >> > c) 8 >> > d) 9 >> > e) 10 >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos.
Acho que a questão pressupõe que os lados devem ser inteiros. Daí se os lados são x, y e z, com x<=yx^2+y^2 e z escreveu: > Do jeito que está escrito, uma infinidade. > > Enviado do meu iPhone > > > Em 22 de nov de 2019, à(s) 19:18, Guilherme Abbehusen < > gui.abbehuse...@gmail.com> escreveu: > > > > > > Olá, > >  Preciso de ajuda com a seguinte questão: > > > > Tendo em vista a leis dos Cossenos, marque a quantidade de triângulos > obtusângulos que podemos formar com lados menores do que 7. > > a) 6 > > b) 7 > > c) 8 > > d) 9 > > e) 10 > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos.
Achei 8 triângulos. Assim: seja c o lado maior, oposto ao ângulo C, e sejam a e b os demais lados, com a maior ou igual a b; C é obtuso, então -1 wrote: > Perdão, precisam ser lados inteiros. > > Em sex., 22 de nov. de 2019 às 20:39, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Do jeito que está escrito, uma infinidade. >> >> Enviado do meu iPhone >> >> > Em 22 de nov de 2019, à(s) 19:18, Guilherme Abbehusen < >> gui.abbehuse...@gmail.com> escreveu: >> > >> > >> > Olá, >> >  Preciso de ajuda com a seguinte questão: >> > >> > Tendo em vista a leis dos Cossenos, marque a quantidade de triângulos >> obtusângulos que podemos formar com lados menores do que 7. >> > a) 6 >> > b) 7 >> > c) 8 >> > d) 9 >> > e) 10 >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos.
Perdão, precisam ser lados inteiros. Em sex., 22 de nov. de 2019 às 20:39, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Do jeito que está escrito, uma infinidade. > > Enviado do meu iPhone > > > Em 22 de nov de 2019, à(s) 19:18, Guilherme Abbehusen < > gui.abbehuse...@gmail.com> escreveu: > > > > > > Olá, > >  Preciso de ajuda com a seguinte questão: > > > > Tendo em vista a leis dos Cossenos, marque a quantidade de triângulos > obtusângulos que podemos formar com lados menores do que 7. > > a) 6 > > b) 7 > > c) 8 > > d) 9 > > e) 10 > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos.
Usa ma>=mg Em dom, 27 de out de 2019 19:27, Guilherme Abbehusen < gui.abbehuse...@gmail.com> escreveu: > Olá, poderiam me ajudar com essa questão? > > A hipotenusa de um triângulo retângulo tem medida igual "a" e os catetos > medidas iguais a "b" e "c" . Qual é o valor mínimo da equação: a/(b*c)^-1 ? > > Agradeco desde já. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos
Que tal quebrar uma vareta em 3 pedaços e calcular a probabilidade CONDICIONAL do pedaço mais longo exceder o mais curto em não mais do que 10%, DADO QUE é possível formar um triângulo com estes pedaços? Outro problema interessante (talvez até mais do que o original) é explicar PORQUE estas escolhas levam a respostas diferentes. Nesta linha, existe o paradoxo de Bertrand. Vide aqui: http://www.rpm.org.br/cdrpm/34/6.htm []s, Claudio. On Thu, Sep 26, 2019 at 8:30 PM Ralph Teixeira wrote: > Hmmm... Esse enunciado, como estah , nao funciona... O problema eh definir > o que significa escolher um triangulo "ao acaso". Algumas opcoes: > > -- Escolher 3 numeros uniformemente na regiao do R^3 definida por > 0 -- Escolher 3 pontos uniformemente dentro de um circulo de raio R, que > seriam os vertices. (Se necessario, tome R-> Inf depois.) > -- Escolher 3 pontos uniformemente dentro de um quadrado de lado R, que > seriam os vertices. (Se necessario, tome R-> Inf depois.) > -- Escolher 3 pontos uniformemente numa circunferencia de raio R, que > seriam os vertices. (Se necessario, tome R-> Inf depois.) > > Todas estas opcoes sao razoaveis para interpretar "ao acaso", mas nao > levam aa mesma resposta... :( > > Abraco, Ralph. > > On Thu, Sep 26, 2019 at 5:12 PM João Maldonado < > joao_maldona...@hotmail.com> wrote: > >> Eaí galera. >> Fica um problema legal de probabilidade pra vocês resolverem (e me >> ajudarem). >> >> Um triângulo é dito aproximadamente equilátero quando o maior de seus >> lados não excede o menor por 10%. Um triângulo é selecionado ao acaso. Qual >> a chance de ele ser aproximadamente equilátero? >> >> Pensei em prosseguir da seguinte forma. >> Sendo c o maior lado, b o do meio e a o menor. Sendo P1 a probabilidade >> pedida. >> Temos que: >> P1=6*P(a<= b<= c<= mín(1.1a, a+b))= 6*P(a<=b<=c<=1.1a) >> >> Aí eu pensei em pegar um cubo de lado 1 e fazer uma integral tripla com >> esses limites. >> O problema é que um cubo de lado 1 não é um subespaço amostral >> equivalente. Pense comigo: >> Se tivermos um dos lados valendo 0.9 o outro 0.7, o terceiro poderia >> valer até 1.6, e isso estaria fora do cubo, mesmo os dois primeiros estando >> dentro. Dessa forma não saberíamos qual seria o "denominador" do nosso P. >> >> Alguém consegue me ajudar? >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos
Hmmm... Esse enunciado, como estah , nao funciona... O problema eh definir o que significa escolher um triangulo "ao acaso". Algumas opcoes: -- Escolher 3 numeros uniformemente na regiao do R^3 definida por 0 Inf depois.) -- Escolher 3 pontos uniformemente dentro de um quadrado de lado R, que seriam os vertices. (Se necessario, tome R-> Inf depois.) -- Escolher 3 pontos uniformemente numa circunferencia de raio R, que seriam os vertices. (Se necessario, tome R-> Inf depois.) Todas estas opcoes sao razoaveis para interpretar "ao acaso", mas nao levam aa mesma resposta... :( Abraco, Ralph. On Thu, Sep 26, 2019 at 5:12 PM João Maldonado wrote: > Eaí galera. > Fica um problema legal de probabilidade pra vocês resolverem (e me > ajudarem). > > Um triângulo é dito aproximadamente equilátero quando o maior de seus > lados não excede o menor por 10%. Um triângulo é selecionado ao acaso. Qual > a chance de ele ser aproximadamente equilátero? > > Pensei em prosseguir da seguinte forma. > Sendo c o maior lado, b o do meio e a o menor. Sendo P1 a probabilidade > pedida. > Temos que: > P1=6*P(a<= b<= c<= mín(1.1a, a+b))= 6*P(a<=b<=c<=1.1a) > > Aí eu pensei em pegar um cubo de lado 1 e fazer uma integral tripla com > esses limites. > O problema é que um cubo de lado 1 não é um subespaço amostral > equivalente. Pense comigo: > Se tivermos um dos lados valendo 0.9 o outro 0.7, o terceiro poderia > valer até 1.6, e isso estaria fora do cubo, mesmo os dois primeiros estando > dentro. Dessa forma não saberíamos qual seria o "denominador" do nosso P. > > Alguém consegue me ajudar? > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos Pitagóricos
Marcone, 144 + b^2 = a^2 Logo: 144 = a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) Supondo que a e b são inteiros positivos, temos que a+b e a-b tem que ser divisores de 144. Como 144 = 2*2*2*2*3*3, todos os seus divisores são: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144 Agora basta testar (note que só precisamos testar até 12). Se estivermos testando para k, temos: a+b = k a-b = 144/k a = (k^2+144)/(2k) b = (k^2-144)/(2k) Basta checar se ambos são inteiros. Testando, temos: k = 12, 18, 24, 36, 72 E os pares pitagóricos são: (13, 5), (15, 9), (20, 16) e (37, 35) Não coloquei o k=12, visto que ficamos com um dos catetos nulos ;) abraços, Salhab 2010/8/29 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Como verificar q existem 4 triângulos pitagóricos com um cateto igual a 12?
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos
Observe , queessa soma é igual a altura do triangulo equilátero ,logo om lado do triangulo é 6 raiz de 3,agora é só aplica na formula do triangulo equilátero,loga a área será 27 raiz de 3. Espero ter ajudado. Cláudio Thor - Original Message - From: Alexandre Bastos To: OBM Sent: Thursday, June 22, 2006 10:09 AM Subject: [obm-l] Triângulos Bom dia, amigos. Tô precisando de ajuda por aqui. Aguém se habilita? A soma das distâncias de um ponto interior de um triângulo equilátero aos seus lados é 9. Assim, a medida do lado do triângulo é: Grato Alexandre Bastos Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
[obm-l] Re:[obm-l] Triângulos
Bom Dia! A resposta éseisraiz de três, 6*(3)^1/2 Abraços, Giuliano Pezzolo Giacaglia (Stuart)
[obm-l] RE: [obm-l] Triângulos
Para provar que essa medida é igual à altura, basta ligar o ponto interno aos 3 vértices, e ver que a soma das áreas dos triangulinhos é igual a do triangulão. --- From: Alexandre Bastos [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: OBM obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Triângulos Date: Thu, 22 Jun 2006 13:09:48 + (GMT) Bom dia, amigos. Tô precisando de ajuda por aqui. Aguém se habilita? A soma das distâncias de um ponto interior de um triângulo equilátero aos seus lados é 9. Assim, a medida do lado do triângulo é: Grato Alexandre Bastos - Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! _ Inscreva-se no novo Windows Live Mail beta e seja um dos primeiros a testar as novidades-grátis. Saiba mais: http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Triângulos
6*(3)^1/2 é o lado do triangulo equilátero, a área será 27*(3)^1/2. Cláudio Thor - Original Message - From: Giuliano (stuart) To: obm-l Sent: Thursday, June 22, 2006 2:58 PM Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Triângulos Bom Dia! A resposta éseisraiz de três, 6*(3)^1/2 Abraços, Giuliano Pezzolo Giacaglia (Stuart)
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos Pitagóricos (was:12^2 + 33^2 = 1233^2)
Acho que ele queria dizer aclamar com calma :p Júnior.Em 09/06/06, Ojesed Mirror [EMAIL PROTECTED] escreveu: Preciosidade vamos acalmar com calma, muito bom, vou usar muito.- Original Message -Wrom: NBOHMKHJYFMYXOEAIJJPHSCRTNHGSWZIDREXCAXZOWCONEUQZAAFXISHJEXXIMQZUIVOTQNQEMSFDULHPQQWOYIYZUNNYCGPKYLEJGDGVCJVTLBXFGGMEPYOQKEDOTWFAOBUZXUWLSZLKBRNVWWCUFPEGAUTFJMVRESKPNKMBIPBARHDMNNSKVFVWRKJVZCMHVIBGDADRZFSQHYUCDDJBLVLMHAALPTCXLYRWTQTIPWIGYOKSTTZRCLBDXRQBGJSNBOHMKHJYFMYXOEAIJJPHSCRTNHGSWZIDREXCAXZOWCONEUQZAAFXISHJEXXIMQZUIVOTQNQEMSFDULHPQQWOYIYZUNNYCGPKYLEJGDGVCJVTLBXFGGMEPYOQKEDOTWFAOBUZXUWLSZLKBRNVWWCUFPEGAUTFJMVRESKPNKMBIPBARHDMNNSKVFVWRKJVZCMHVIBGDADRZFSQHYUCDDJBLVLMHAALPTCXLYRWTQTIPWIGYOKSTTZRCLBDXRQBGJSNBOHMKHJYFMYXOEAIJJPHSCRTNHGSWZIDREXCAXZOWCONEUQZAAFXISHJEXXIMQZUIVOTQNQEMSFDULHPQQWOYIYZUNNYCGPKYLEJGDGVCJVTLBXFGGMEPYOQKEDOTWFAOBUZXUWLSZLKBRNVWWCUFPEGAUTFJMVRESKPNKMBIPBARHDMNNSKVFVWRKJVZCMHVIBGDADRZFSQHYUCDDJBLVLMHAALPTCXLYRWTQTIPWIGYOKSTTZRCLBDXRQBGJSNBOHMKHJYFMYXOEAIJJPHSCRTNHGSWZIDREXCAXZOWCONEUQZAAFXISHJEXXIMQZUIVOTQNQEMSFDULHPQQWOYIYZUNNYCGPKYLEJGDGVCJVTLBXFGGMEPYOQKEDOTWFAOBUZXUWLSZLKBRNVWWCUFPEGAUTFJMVRESKPNKMBIPBARHDMNNSKVFVWRKJVZCMHVIBGDADRZFSQHYUCDDJBLVLMHAALPTCXLYRWTQTIPWIGYOKSTTZRCLBDXRQBGJSNBOHMKHJYFMYXOEAIJJPHSCRTNHGSWZIDREXCAXZOWCONEUQZAAFXISHJEXXIMQZUIVOTQNQEMSFDULHPQQWOYIYZUNNYCGPKYLEJGDGVCJVTLBXFGGMEPYOQKEDOTWFAOBUZXUWLSZLKBRNVWWCUFPEGAUTFJMVRESKPNKMBIPBARHDMNNSKVFVWRKJVZCMHVIBGDADRZFSQHYUCDDJBLVLMHAALPTCXLYRWTQTIPWIGYOKSTTZRCLBDXRQBGJSNBOHMKHJYFMYXOEAIJJPHSCRTNHGSWZIDREXCAXZOWCONEUQZAAFXISHJEXXIMQZUIVOTQNQEMSFDULHPQQWOYIYZUNNYCGPKYLEJGDGVCJVTLBXFGGMEPYOQKEDOTWFAOBUZXUWLSZLKBRNVWWCUFPEGAUTFJMVRESKPNKMBIPBARHDMNNSKVFVWRKJVZCMHVIBGDADRZFSQHYUCDDJBLVLMHAALPTCXLYRWTQTIPWIGYOKSTTZRCLBDXRQBGJSNBOHMKHJYFMYXOEAIJJPHSCRTNHGSWZIDREXCAXZOWCONEUQZAAFXISHJEXXIMQZUIVOTQNQEMSFDULHPQQWOYIYZUNNYCGPKYLEJGDGVCJVTLBXFGGMEPYOQKEDOTWFAOBUZXUWLSZLKBRNVWWCUFPEGAUTFJMVRESKPNKMBIPBARHDMNNSKVFVWRKJVZCMHVIBGDADRZFSQHYUCDDJBLVLMHAALPTCXLYRWTQTIPWIGYOKSTTZRCLBDXRQBGJSNBOHMKHJYFMYXOEAIJJPHSCRTNHGSWZIDREXCAXZOWCONEUQZAAFXISHJEXXIMQZUIVOTQNQEMSFDULHPQQWOYIYZUNNYCGPKYLEJGDGVCJVTLBXFGGMEPYOQKEDOTWFAOBUZXUWLSZLKBRNVWWCUFPEGAUTFJMVRESKPNKMBIPBARHDMNNSKVFVWRKJVZCMHVIBGDADRZFSQHYUCDDJBLVLMHAALPTCXLYRWTQTIPWIGYOKSTTZRCLBDXRQBGJSNBOHMKHJYFMYXOEAIJJPHSCRTNHGSWZIDREXCAXZOWCONEUQZAAFXISHJEXXIMQZUIVOTQNQEMSFDULHPQQWOYIYZUNNYCGPKYLEJGDGVCJVTLBXFGGMEPYOQKEDOTWFAOBUZXUWLSZLKBRNVWWCUFPEGAUTFJMVRESKPNKMBIPBARHDMNNSKVFVWRKJVZCMHVIBGDADRZFSQHYUCDDJBLVLMHAALPTCXLYRWTQTIPWIGYOKSTTZRCLBDXRQBGJSNBOHMKHJYFMYXOEAIJJPHSCRTNHGSWZIDREXCAXZOWCONEUQZAAFXISHJEXXIMQZUIVOTQNQEMSFDULHPQQWOYIYZUNNYCGPKYLEJGDGVCJVTLBXFGGMEPYOQKEDOTWFAOBUZXUWLSZLKBRNVWWCUFPEGAUTFJMVRESKPNKMBIPBARHDMNNSKVFVWRKJVZCMHVIBGDADRZFSQHYUCDDJBLVLMHAALPTCXLYRWTQTIPWIGYOKSTTZRCLBDXRQBGJSNBOHMKHJYFMYXOEAIJJPHSCRTNHGSWZIDREXCAXZOWCONEUQZAAFXISHJEXXIMQZUIVOTQNQEMSFDULHPQQWOYIYZUNNYCGPKYLEJGDGVCJVTLBXFGGMEPYOQKEDOTWFAOBUZXUWLSZLKBRNVWWCUFPEGAUTFJMVRESKPNKMBIPBARHDMNNSKVFVWRKJVZCMHVIBGDADRZFSQHYUCDDJBLVLMHAALPTCXLYRWTQTIPWIGYOKSTTZRCLBDXRQBGJSNBOHMKHJYFMYXOEAIJJPHSCRTNHGSWZIDREXCAXZOWCONEUQZAAFXISHJEXXIMQZUIVOTQNQEMSFDULHPQQWOYIYZUNNYCGPKYLEJGDGVCJVTLBXFGGMEPYOQKEDOTWFAOBUZXUWLSZLKBRNVWWCUFPEGAUTFJMVRESKPNKMBIPBARHDMNNSKVFVWRKJVZCMHVIBGDADRZFSQHYUCDDJBLVLMHAALPTCXLYRWTQTIPWIGYOKSTTZRCLBDXRQBGJSNBOHMKHJYFMYXOEAIJJPHSCRTNHGSWZIDREXCAXZOWCONEU
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos Pitagóricos (was:12^2 + 3 3^2 = 1233^2)
Preciosidade vamos acalmar com calma, muito bom, vou usar muito. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, June 09, 2006 3:33 PM Subject: [obm-l] Triângulos Pitagóricos (was:12^2 + 33^2 = 1233^2) Oi pessoal, vamos acalmar com calma: Espero que essa mensagem possa ajudar neste problema (embora possa como todas as minhas outras possa ser apenas um pitaco sem nenhuma utilidade). Sabemos que: (n^2 - 1)^2 + (2n)^2 = (n^2 +1)^2 para n natural, n1 ela dá todos os triângulos pitagóricos. Ex: n=2 : 3^2 + 4^2 = 5^2 . A intenção é usar essa identidade para tentar obter quadrados perfeitos naturais da forma Delta^2 = b^2 - 4ac. Neste caso usamos: (n^2 - 1)^2 = (n^2 +1)^2 - (2n)^2 (n^2 - 1)^2 = (n^2 +1)^2 - 4 n^2 Supondo a = 1 (sempre dá para fazer a=1 em uma eq. do 2 grau). Temos então que ter: b = n^2 +1 c= n^2 == b = c+1 Bom... agora será que dá para aplicar isso à equação em jogo? 100a+b = a^2 + b^2 basta resolver essa eq de 2º grau com relação a a e temos a = 50 +- sqrt(2500+b-b^2) Para não causar confusão vamos trocar a por x e b por y: 100x + y = x^2 + y^2 x^2 -100x +y -y^2 = 0 Construindo o Delta: Delta^2 = 100^2 - 4*(y-y^2) com b = 100 e c = y-y^2 como b= c+1 100 = y-y^2 +1 Quais y naturais com 2 algarismos verificam isso? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.394 / Virus Database: 268.8.3/360 - Release Date: 9/6/2006 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos em grafos
tente generalizar e ai voce vai ver os pepinos desta sua demo...Mas ela
ta correta
-- Mensagem original --
Helptentei usar contagem (seguindo o esquema de vários teoremas do Proofs
from The Book), ficou interessante:
seja V = {1, 2, ..., 2n} e G = (V, E) nosso querido grafo.
defina d[i] como o grau do vértice i.
é claro que soma{d[i], i=1..2n} = 2|E| = 2(n²+1)
se (i, j) é uma aresta de E e d[i] + d[j] 2n então há um triângulo
contendo a aresta (i, j). (isso me parece óbvio, mas se não for para o
leitor, faça um desenho, é aplicação imediata do PCP).
suponha que d[i] + d[j] = 2n para toda aresta (i, j) de E.
então, somando sobre toda aresta de E:
S := soma{d[i] + d[j], (i, j) em E} = soma{d[i]², i=1..2n} = 1/(2n) *
soma{d[i], i = 1..2n}² = 2|E|²/n
(aqui eu uso a desigualdade de Cauchy)
por outro lado, temos que S = 2n|E|
logo 2n|E| = 2|E|²/n = n²|E| = |E|², o que é absurdo!
isso já mostra que existe pelo menos um triângulo... estou sem tempo pra
verificar a parte mais legal, mas talvez saia desta mesma lógica.
[ ]'s
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE
CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI INSIGNIA TRIBVUERE
--
Use o melhor sistema de busca da Internet
Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes
Title: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes -- From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes Date: Thu, Jan 9, 2003, 11:42 AM Caro Eduardo: Obviamente, esta é a solução que vai para o LIVRO. No entanto, pelo menos para mim, a maior dificuldade que existe em problemas de geometria é determinar a construção auxiliar (no caso, o segmento EF e, por conseguinte, paralelogramo BDFE) que mata o problema. Existe alguma maneira sistemática de se buscar estas construções auxiliares ou infelizmente, só podemos contar com a experiência e a esperança de algum insight genial? E se, por acaso, existir tal maneira, você recomenda alguma bibliografia em particular? A resposta eh nao. Se existisse, a atividade de resolver problemas nao teria a menor graca. Mas as tentativas em obter construcoes auxiliares nao ocorrem inteiramente ao acaso. Tracar uma paralela, uma perpendicular, fazer uma rotacao, uma simetria (entre outras coisas), frequentemente permitem reunir os dados do problema em outra posicao, permitindo encontrar uma relacao entre eles. Observe na resolucao deste problema, qual foi a ideia da criacao do paralelogramo: conectar as bissetrizes iguais formando um triangulo isosceles! Isto eh algum metodo. Se em algum problema ha dois segmentos iguais, devemos imaginar uma maneira de conecta-los. A melhor fonte para conseguir construcoes auxiliares eh certamente a experiencia. Conhecer muitos problemas e observar cuidadosamente o porque da construcao. Eu pergunto isso porque tenho observado que muitos problemas (possivelmente todos) que são resolvidos via estas construções auxiliares podem também ser resolvidos via trigonometria, apesar destas soluções serem muito mais longas e deselegantes, envolvendo uma quantidade razoável de álgebra. Minha suspeita é que talvez haja alguma relação profunda e geral entre soluções via construção auxiliar e soluções trigonométricas. Sua suspeita nao eh so sua. Muitas vezes se consegue obter a solucao via construcoes auxiliares depois da solucao trigonometrica. Mas, nem sempre. Um abraço, Claudio Buffara. - Original Message - From: Eduardo Wagner mailto:[EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, January 11, 2003 12:27 AM Subject: Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes O problema é: Prove que se um triângulo tem duas bissetrizes internas iguais, então ele é isósceles. Solucao: Desenhe o triangulo ABC e as bissetrizes BD e CE. Construa o paralelogramo BDFE e trace CF. Assinale os angulos: ABC = 2b, ACB = 2c, EFD = b, DFC = x, DCF = y. EF = BD = EC. Logo, b + x = c + y. Suponha que os angulos B e C sejam desiguais, B C, por exemplo, e observe as implicacoes: B C b c x y DC DF DC BE DBC = b c = EBC (contradicao). Logo, os angulos B e C sao iguais. Abracos, E. Wagner.
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-cont.
Ola Prof Jose Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Bem-Vindo a lista OBM-L Prof Jose Claudio ! É bom ve-lo participar ! São notaveis estes pontos de intersecção de cevianas, não ? Exemplos bem conhecidos sao o ortocentro ( alturas ), o incentro ( bissetrizes internas ) e o baricentro ( medianas ). Quais são as condições necessarias e suficientes para que tres cevianas, cada uma partindo de um vertice, tenham um ponto comum ? Seria o Teorema-Recíproco do Teorema de Ceva ? Um Abraço a Todos ! Paulo Santa Rita 7,2327,110103 From: Claudio [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-cont. Date: Mon, 6 Jan 2003 18:08:53 -0200 Sim, é verdade que se duas bissetrizes se interceptam num ponto, a terceira também passa por esse ponto. Mas nem sempre o poto de tangência entre a circunferência inscrita num triângulo e um dos seus lados corresponde à intersecção entre esse lado e a bissetriz do ângulo oposto. Isso só ocorre se o triângulo for isósceles ou equilátero. Se fosse verdade, poderíamos usar seus argumentos para provar que todos os triângulo são isósceles ou equiláteros, ou seja, que não existem triângulos escalenos, o que logicamente nao é verdade. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes
Title: Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes Caro Eduardo: Obviamente, esta é a solução que vai para o "LIVRO". No entanto, pelo menos para mim, a maior dificuldade que existe em problemas de geometria é determinar a construção auxiliar (no caso, o segmento EF e, por conseguinte, paralelogramo BDFE) que "mata" o problema. Existe alguma maneira sistemática de se buscar estas construções auxiliares ou infelizmente, só podemos contar com a experiência e a esperança de algum "insight" genial? E se, por acaso, existir tal maneira, vocêrecomenda alguma bibliografia em particular? Eu pergunto isso porque tenho observado que muitos problemas (possivelmente todos) que são resolvidos via estas construções auxiliares podem também ser resolvidos via trigonometria, apesar destas soluções serem muito mais longas e deselegantes, envolvendo uma quantidade razoável de álgebra. Minha suspeita é que talvez haja alguma relação profunda e geral entre soluções via construção auxiliar e soluções trigonométricas. Um abraço, Claudio Buffara. - Original Message - From: Eduardo Wagner To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, January 11, 2003 12:27 AM Subject: Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes O problema é: Prove que se um triângulo tem duas bissetrizes internas iguais, então ele é isósceles.Solucao:Desenhe o triangulo ABC e as bissetrizes BD e CE.Construa o paralelogramo BDFE e trace CF.Assinale os angulos:ABC = 2b, ACB = 2c, EFD = b, DFC = x, DCF = y.EF = BD = EC. Logo, b + x = c + y.Suponha que os angulos B e C sejam desiguais,B C, por exemplo, e observe as implicacoes:B Cb cx yDC DFDC BEDBC = b c = EBC (contradicao).Logo, os angulos B e C sao iguais.Abracos,E. Wagner.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-continuação
Calma,nao viaje desse jeito!!As bissetrizes nao necessariamente se encaixam com os raios do incirculo.Assim sendo nao da para fazer a subtraçao e dizer que BI=IC. [EMAIL PROTECTED] wrote: -- Mensagem original --Olá,As demonstrações aqui apresentadas do Teorema de que, dado um ttriânguloABC,este é isósceles se, e só se, suas bissetrizes são iguais não foram totalmentecompletas. Isto é, foi demonstrado que, se um triângulo é isósceles, entãosuas bissetrizes BD e CE são iguais. Agora, falta demonstrar a recíproca,ainda não provada:===OBS: Anexei uma figura para melhor visualização .Olá Eduardo , ai vai uma possível demonstração ;Se BD e CE são iguais e sabendo que o ponto de encontro das bissetrizes- incentro - é o centro da circunferência inscrita , temos ;BI = IC , poisEC = BDEC - r = BD - rEntão o triângulo IBC é isósceles .Agora observamos que os ângulos ICB e IBC são iguais .Como os segmentos CE e BD são bissetrizes , os ângulos ACI = ICB = IBC =ABI .Dae ficamos com os ângulos ;ACI + ICB = CIB + ABI ou então ; ângulo ABC = ângulo ACBProvando que o triângulo ABC é ISÓSCELES.Abraço .Rick|-=Rick-C.R.B.=- ||ICQ 124805654 ||e-mail [EMAIL PROTECTED] |--Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaruol.com.br ATTACHMENT part 2 image/gif Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-cont.
- Original Message - From: Andre Linhares To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 12:29 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-cont. Sim, é verdade quese duas bissetrizes se interceptam num ponto, a terceira também passapor esse ponto. Mas nem sempre o poto de tangência entre a circunferência inscrita num triângulo e um dos seus lados corresponde à intersecção entre esse lado e a bissetriz do ângulo oposto. Isso só ocorre se o triângulo for isósceles ou equilátero. Sefosse verdade, poderíamos usar seus argumentos paraprovar que todos os triângulo são isósceles ou equiláteros, ou seja, que não existem triângulos escalenos, o quelogicamente nao é verdade. From: Eduardo Estrada <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Triângulos-cont. Date: Wed, 1 Jan 2003 18:48:30 -0300 (ART) Olá, larryp, Não conferi passo a passo sua demonstração, mas creio que ela deve sair também algebricamente, digamos, isto é, fazendo mais contas. Por isso, ela é também correta, dado que você chegou naquilo que queria demonstrar sem assumir nenhuma hipótese errônea. Entretanto, a dem. do Luiz Henrique, pela sua síntese, é mais elegante, na minha opinião. Ah, e gostaria de dizer que se duas bissetrizes se interceptam num ponto, a terceira também se intercepta com as outras no mesmo ponto. Além disso, os pontos de intersecção dessas bissetrizes com as bases são sim os pontos de tangência da circunferência inscrita no triângulo. Ah, também gostaria de dizer que todo triângulo tem uma circ. inscrita, o que é garantido pelo que disse acima e que, numa outra oportunidade, poderia reproduzir aqui essas demonstrações. Atenciosamente, Eduardo - Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. Faça o seu agora. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-continuação
Se voce e quem eu penso que e,tenho coisas a te dizer: 1)O incirculo,e nao o circuncirculo,toca os caras do triangulo :-) 2)A soluçao pode ou nao ser forçada,mas e errada.O que voce esta dizendo implicitamente e que oincirculo toca os lados no mesmo lugar das bissetrizes.Isso so valeno triangulo equilatero. :0 [EMAIL PROTECTED] wrote: ==Eu não forcei nada , acho que minha demostração é válida.Sempre aprendi que o circuncentro tóca todos os lados do triângulo .Ou não ?Já que você tem dus bissetrizes , o ponto de encontro das duas , só podeser o ponto de encontro da terceira .Não sei se me entendeu ,mais acho minha solução é válida , não é cheiade conta igual a sua , mais não vejo problema algum em faze-la.Você disse que nem em todos os triângulos o circulo inscrito tengenciatodos os lados ? Desconheço isso .Na demostração , eu entendi que partindo do fato de que tenho duas bissetrizesIGUAIS , provar que os lados são iguais .== =|-=Rick-C.R.B.=- ||ICQ 124805654 ||e-mail [EMAIL PROTECTED] |--Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaruol.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-cont.
Sim, é verdade quese duas bissetrizes se interceptam num ponto, a terceira também passapor esse ponto. Mas nem sempre o poto de tangência entre a circunferência inscrita num triângulo e um dos seus lados corresponde à intersecção entre esse lado e a bissetriz do ângulo oposto. Isso só ocorre se o triângulo for isósceles ou equilátero. Sefosse verdade, poderíamos usar seus argumentos paraprovar que todos os triângulo são isósceles ou equiláteros, ou seja, que não existem triângulos escalenos, o quelogicamente nao é verdade. From: Eduardo Estrada <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Triângulos-cont. Date: Wed, 1 Jan 2003 18:48:30 -0300 (ART) Olá, larryp, Não conferi passo a passo sua demonstração, mas creio que ela deve sair também algebricamente, digamos, isto é, fazendo mais contas. Por isso, ela é também correta, dado que você chegou naquilo que queria demonstrar sem assumir nenhuma hipótese errônea. Entretanto, a dem. do Luiz Henrique, pela sua síntese, é mais elegante, na minha opinião. Ah, e gostaria de dizer que se duas bissetrizes se interceptam num ponto, a terceira também se intercepta com as outras no mesmo ponto. Além disso, os pontos de intersecção dessas bissetrizes com as bases são sim os pontos de tangência da circunferência inscrita no triângulo. Ah, também gostaria de dizer que todo triângulo tem uma circ. inscrita, o que é garantido pelo que disse acima e que, numa outra oportunidade, poderia reproduzir aqui essas demonstrações. Atenciosamente, Eduardo - Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. Faça o seu agora. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-continuação
Luiz Henrique, Com essa observação de que o ponto de encontro das bissetrizes de um triângulo é também o centro da circunferência inscrita no triângulo (a qual não me tinha ocorrido) ficou bem legal a demonstração. Agora, sim, estou convencido da veracidade do Teorema! Saudações, EduardoBusca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-continuação
-- Mensagem original -- Olá, As demonstrações aqui apresentadas do Teorema de que, dado um triângulo ABC, este é isósceles se, e só se, suas bissetrizes são iguais não foram totalmente completas. Isto é, foi demonstrado que, se um triângulo é isósceles, então suas bissetrizes BD e CE são iguais. Agora, falta demonstrar a recíproca, ainda não provada: === OBS: Anexei uma figura para melhor visualização . Olá Eduardo , ai vai uma possível demonstração ; Se BD e CE são iguais e sabendo que o ponto de encontro das bissetrizes - incentro - é o centro da circunferência inscrita , temos ; BI = IC , pois EC = BD EC - r = BD - r Então o triângulo IBC é isósceles . Agora observamos que os ângulos ICB e IBC são iguais . Como os segmentos CE e BD são bissetrizes , os ângulos ACI = ICB = IBC = ABI . Dae ficamos com os ângulos ; ACI + ICB = CIB + ABI ou então ; ângulo ABC = ângulo ACB Provando que o triângulo ABC é ISÓSCELES. Abraço . Rick |-=Rick-C.R.B.=- | |ICQ 124805654 | |e-mail [EMAIL PROTECTED] | -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br attachment: Tri_inc.gif
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-continuação
A demonstração da volta (no triângulo ABC, sejam BD e CE bissetrizes dos ângulos ABC e ACB, respectivamente; se BD = CE então ABC é isosceles) sai por meio do uso de dois teoremas: 1. A bissetriz de um ângulo divide o lado oposto a este ângulo em partes proporcionais aos outros dois lados; e 2. Lei dos cossenos. No triângulo ABC, temos: BC = a, AC = b, AB = c, BD = CE = x. Usando o teorema (1), teremos: D divide AC em partes proporcionais a AB e BC, ou seja: AD = b*c/(a+c) CD = a*b/(a+c) E divide AB em partes proporcionais a AC e BC, ou seja: AE = b*c/(a+b) BE = a*c/(a+b) Agora o passo mais importante da demonstração: Aplicamos a lei dos cossenos aos triângulos AEC e BEC, mas ao invés de usar os ângulos ACE e BCE (que seriam a escolha óbvia, já queque são iguais, pois CE é bissetriz) usamos os ângulos AEC e BEC, que sâo suplementares: cos(AEC) = -cos(BEC) = M. Em AEC: AC^2 = AE^2 + CE^2 - 2*AE*CE*cos(AEC) Em BEC: BC^2 = BE^2 + CE^2 - 2*BE*CE*cos(BEC) Ou seja, b^2 = [b*c/(a+b)]^2 + x^2 - 2*x*b*c/(a+b)*M a^2 = [a*c/(a+b)]^2 + x^2+ 2*x*a*c/(a+b)*M Agora, M não tem nada a ver com o que queremos provar. Assim, a idéia é fazer M desaparecer. Para isso, multiplicamos a primeira equação por a, a segunda por b: a*b^2 = a*[b*c/(a+b)]^2 + a*x^2 - 2*x*a*b*c/(a+b)*M b*a^2 = b*[a*c/(a+b)]^2 + b*x^2+ 2*x*a*b*c/(a+b)*M E somamos as duas equações: a*b*(a+b)= a*b*c^2/(a+b) + (a+b)*x^2 Dividindo por a+b: a*b = a*b*c^2/(a+b)^2 + x^2 Resolvendo para x^2: x^2 = a*b*[ 1 - c^2/(a+b)^2 ] De maneira inteiramente análoga, usando os triângulos ADB e BDC (sem esquecer que BD = EC = x), obtemos: x^2 = a*c*[ 1 - b^2/(a+c)^2 ] Ou seja, b - b*c^2/(a+b)^2 = c - b^2*c/(a+c)^2 == b - c = b*c*[ c/(a+b)^2 - b/(a+c)^2 ] Suponhamos agora que b c. Então, por esta última expressão, teremos que ter, necessariamente: c/(a+b)^2 b/(a+c)^2. No entanto b c ==a+b a+c == (a+b)^2 (a+c)^2 == 1/(a+c)^2 1/(a+b)^2 == b/(a+c)^2 c/(a+b)^2 == CONTRADIÇÃO Analogamente, se supusermos que b c também cairemos em contradição. A única conclusão possível é que b = c, ou seja, AB = AC e ABC é isosceles. - Original Message - From: Eduardo Estrada To: Olimpíada Matemática Sent: Tuesday, December 31, 2002 12:11 AM Subject: [obm-l] Triângulos-continuação Olá, Asdemonstrações aqui apresentadas do Teorema de que, dado um triângulo ABC, este é isósceles se, e só se, suas bissetrizes são iguais não foram totalmente completas. Isto é, foi demonstrado que, se um triângulo é isósceles, então suas bissetrizes BD e CE são iguais. Agora,falta demonstrar a recíproca, ainda nãoprovada: 1) Tomem-se os triângulos ABD e AEC (adotando o mesmo esquema); 2) BD = CE (hip.); 3) BÂD = CÂE (comum); 4) A partir daqui, não consegui enxergar mais muita coisa e queria também ajuda, lembrando que, na verdade, temos que concluir que AB = AC; Obrigado, Eduardo Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-continuação
== Eu não forcei nada , acho que minha demostração é válida. Sempre aprendi que o circuncentro tóca todos os lados do triângulo . Ou não ? Já que você tem dus bissetrizes , o ponto de encontro das duas , só pode ser o ponto de encontro da terceira . Não sei se me entendeu ,mais acho minha solução é válida , não é cheia de conta igual a sua , mais não vejo problema algum em faze-la. Você disse que nem em todos os triângulos o circulo inscrito tengencia todos os lados ? Desconheço isso . Na demostração , eu entendi que partindo do fato de que tenho duas bissetrizes IGUAIS , provar que os lados são iguais . == = |-=Rick-C.R.B.=- | |ICQ 124805654 | |e-mail [EMAIL PROTECTED] | -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
