Ola Salhab,
Penso que a melhor resposta e dizer que a designacao desta tecnica ealgo
parecido com diagonalizacao. Explico. Em primeiro lugar,porque nao ha um
nome padrao universalmente adotado; em segundo lugar,porque diagonalizacao e
um termo familiar, por exemplo, para quemtrabalha com transformacoes lineares
( matrizes ). Assim, entre afalta de unanimidade do primeiro caso e a
ambiguidade do segundo, ficocom algo parecido ou algo em torno de
diagonalizacao, metodo dadiagonal etc.
Mas o que e importante nao e nome, mas a essencia da tecnica ou dometodo, pois
este procedimento de alguma forma inaugurou osprocedimentos que hoje dispomos
para lidar com os objetos atualmenteinfinitos ( como diria um filosofo ! ),
algo absolutamente impensavelpara os matematicos em um passado nao tao distante
... lidar comobjetos cuja construcao exige uma quantidade infinita de passos,
talcomo a sequencia T ja referida, era algo absolutamente inadmissivel,por
exemplo, para Gauss :
Eu contesto o uso de um objeto infinitoo como um todo completo; emMatematica,
essa operacao e proibida; o infinito e so um modo dedizer (Gauss)
Mas o desenvolvimento ulterior a Gauss veio apoiar - talvez exigirseja a
palavra mais adeguada - a adocao desta tecnica de abordagem,ou seja, ligar
com objetos tais como se eles fossem completos eacabados mesmo que em suas
descricoes/construcoes estejam envolvidosum numero infinito de passos. Seria
aqui interessante perguntar se umatal atitude e necessaria ...
Na Matematica, em muitos momentos, somos guiados pela beleza oucoerencia
intrinseca das relacoes entre objetos... Tal como uma musainspira um poeta, a
beleza e coerencia interna guiam os matematicoscriativos - exemplo atual : a
teoria M -. Mas aquilo que percebemostao somente inspirados na beleza parece
vir a se impor,posteriormente, como uma necessidade inexoravel que a todos se
impoe... um exemplo obvio sao os numeros complexos. Surgidos sobretudo
deconjecturas eminentemente puras, nao só nos revelaram
posteriormenterelacoes numericas insuspeitadas entre as grandezas reais como
setornaram uma ferramente imprescindivel a praxis e a tecnologia. Assimparece
estar ocorrendo com os numeros transfinitos, talvez osprimeiros exemplos
daqueles objetos aos quais Gauss se referia e quenao aceitava.
Hoje, existem propriedades numericas, portanto reais e palpaveis,cuja
veracidade so sabemos demonstrar lancando mao destes mesmosnumeros
transfinitos, outrora pensados como inuteis e distanciados dapratica. Querem um
exemplo ?
Seja N um natural. Sabemos representar N numa base B qualquer.Digamos, N=9 e
B= 2. Entao :N= 2^3 + 1. Ou seja, 9 na base 2 e 2^3+1. Agora, nos diremos que
umnumero esta representado na base B iterada se TODOS os numeros quesurgem em
sua representacao de base B tambem estiverem expressos nabase B.
9 na base 2 e 2^3 + 1 ;9 na base 2 iterada e 2^(2+1) + 125 na base 2 e 2^4
+ 2^3 + 1 ; na base 2 iterada e (2^(2^2)) + (2^(2+1)) + 1
Vamos agora definir uma operacao, DIL ( de DILatacao) da seguinte maneira
:DIL(p,N) = substitua todos os algarismos p da representacao de N nabase
iterada p por p+1
Exemplo 1 :DIL(2,9)=3^(3+1) + 1Exemplo 2 :DIL(2,25)=(3^(3^3)) + (3^(3+1)) + 1
Vamos agora definir uma sequencia. Assim :
Partindo de um natural N 2, seja G(1,N) = N.Para todo i1, seja G(i,N)
=DIL(i,G(i-1,N)) - 1
E facil ver que partindo de um natural N qualquer ( chamado SEMENTE ),o
crescimento da sequencia G e muito rapido. Exemplo :
N=9. Entao G(1,9)=9G(2,9)=DIL(2,G(1,9)) - 1 = (3^(3^3)) + (3^(3+1)) + 1 - 1 =
(3^(3^3)) + (3^(3+1))...
Existe um Teorema, chamado TEOREMA DE GOODSTEIN, que incrivelmenteafirma que
partindo de uma semente N qualquer, existira um natural Ktal que G(K,N) = 0
!!! Ou seja, mesmo que o crescimento inicial sejaincrivelmente rapido, ao final
teremos G(K,N)=0 num NUMERO FINITO DEPASSOS !
Se voces fizerem alguns poucos exemplos ( com um bom softwarematematico,
digamos, com o maple ) verificarao que o teorema seconfirma. ENTRETANTO, como
provar isso no caso geral ? A unica provaque conhecemos ( pelo que eu sei )
necessariamente precisa recorreraos numeros transfinitos ...ou seja, os numeros
transfinitos, assimcomo os complexos outrora, estao se tornando essencias
inclusive paraconhecermos e provarmos fatos bens chao chao e palpaveis tais
comoa incrivel propriedade das sequencias de goldstein.
A prova e simples e direta, mas nao vou apresentar aqui. Eu apresenteieste
resultado apenas para sugerir que aquilo que em principio podeparecer estranho
e pouco digerivel e, em geral, prenhe depossibilidades insuspeitadas : so as
mediocridades sao aceitas semadversidades ...
Bom, faz bastante tempo que eu nao falo com voces. Mas vou ficando poraqui.
Havendo tempo eu participo mais
A todos, com os melhoresvotos de paz profunda,souPSR, 31301091812
G1(N) = N
2009/1/13 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com: Olá Paulo, por acaso
esta técnica para montar a seqüência T é
