Ola Salhab, Penso que a melhor resposta e dizer que a designacao desta tecnica e"algo parecido" com "diagonalizacao". Explico. Em primeiro lugar,porque nao ha um nome padrao universalmente adotado; em segundo lugar,porque "diagonalizacao" e um termo familiar, por exemplo, para quemtrabalha com transformacoes lineares ( matrizes ). Assim, entre afalta de unanimidade do primeiro caso e a ambiguidade do segundo, ficocom "algo parecido" ou "algo em torno" de "diagonalizacao", "metodo dadiagonal" etc. Mas o que e importante nao e nome, mas a essencia da tecnica ou dometodo, pois este procedimento de alguma forma inaugurou osprocedimentos que hoje dispomos para lidar com os objetos "atualmente"infinitos ( como diria um filosofo ! ), algo absolutamente impensavelpara os matematicos em um passado nao tao distante ... lidar comobjetos cuja construcao exige uma quantidade infinita de passos, talcomo a sequencia T ja referida, era algo absolutamente inadmissivel,por exemplo, para Gauss : "Eu contesto o uso de um objeto infinitoo como um todo completo; emMatematica, essa operacao e proibida; o infinito e so um modo dedizer" (Gauss) Mas o desenvolvimento ulterior a Gauss veio apoiar - talvez "exigir"seja a palavra mais adeguada - a adocao desta "tecnica de abordagem",ou seja, ligar com objetos tais como se eles fossem completos eacabados mesmo que em suas descricoes/construcoes estejam envolvidosum numero infinito de passos. Seria aqui interessante perguntar se umatal atitude e necessaria ... Na Matematica, em muitos momentos, somos guiados pela beleza oucoerencia intrinseca das relacoes entre objetos... Tal como uma musainspira um poeta, a beleza e coerencia interna guiam os matematicoscriativos - exemplo atual : a teoria M -. Mas aquilo que percebemostao somente inspirados na beleza parece vir a se impor,posteriormente, como uma necessidade inexoravel que a todos se impoe... um exemplo obvio sao os numeros complexos. Surgidos sobretudo deconjecturas eminentemente "puras", nao só nos revelaram posteriormenterelacoes numericas insuspeitadas entre as grandezas "reais" como setornaram uma ferramente imprescindivel a praxis e a tecnologia. Assimparece estar ocorrendo com os numeros transfinitos, talvez osprimeiros exemplos daqueles objetos aos quais Gauss se referia e quenao aceitava. Hoje, existem "propriedades numericas", portanto reais e palpaveis,cuja veracidade so sabemos demonstrar lancando mao destes mesmosnumeros transfinitos, outrora pensados como inuteis e distanciados dapratica. Querem um exemplo ? Seja N um natural. Sabemos representar N numa base B qualquer.Digamos, N=9 e B= 2. Entao :N= 2^3 + 1. Ou seja, 9 na base 2 e 2^3+1. Agora, nos diremos que umnumero esta representado na base "B iterada" se TODOS os numeros quesurgem em sua representacao de base B tambem estiverem expressos nabase B. 9 na base 2 e 2^3 + 1 ; 9 na base 2 iterada e 2^(2+1) + 125 na base 2 e 2^4 + 2^3 + 1 ; na base 2 iterada e (2^(2^2)) + (2^(2+1)) + 1 Vamos agora definir uma operacao, DIL ( de "DILatacao") da seguinte maneira :DIL(p,N) = substitua todos os algarismos p da representacao de N nabase iterada p por p+1 Exemplo 1 :DIL(2,9)=3^(3+1) + 1Exemplo 2 :DIL(2,25)=(3^(3^3)) + (3^(3+1)) + 1 Vamos agora definir uma sequencia. Assim : Partindo de um natural N > 2, seja G(1,N) = N.Para todo i>1, seja G(i,N) =DIL(i,G(i-1,N)) - 1 E facil ver que partindo de um natural N qualquer ( chamado SEMENTE ),o crescimento da sequencia G e muito rapido. Exemplo : N=9. Entao G(1,9)=9G(2,9)=DIL(2,G(1,9)) - 1 = (3^(3^3)) + (3^(3+1)) + 1 - 1 = (3^(3^3)) + (3^(3+1))... Existe um Teorema, chamado TEOREMA DE GOODSTEIN, que incrivelmenteafirma que partindo de uma semente N qualquer, existira um natural Ktal que G(K,N) = 0 !!! Ou seja, mesmo que o crescimento inicial sejaincrivelmente rapido, ao final teremos G(K,N)=0 num NUMERO FINITO DEPASSOS ! Se voces fizerem alguns poucos exemplos ( com um bom softwarematematico, digamos, com o maple ) verificarao que o teorema seconfirma. ENTRETANTO, como provar isso no caso geral ? A unica provaque conhecemos ( pelo que eu sei ) necessariamente precisa recorreraos numeros transfinitos ...ou seja, os numeros transfinitos, assimcomo os complexos outrora, estao se tornando essencias inclusive paraconhecermos e provarmos fatos bens "chao chao" e "palpaveis" tais comoa incrivel propriedade das sequencias de goldstein. A prova e simples e direta, mas nao vou apresentar aqui. Eu apresenteieste resultado apenas para sugerir que aquilo que em principio podeparecer estranho e pouco digerivel e, em geral, prenhe depossibilidades insuspeitadas : so as mediocridades sao aceitas semadversidades ... Bom, faz bastante tempo que eu nao falo com voces. Mas vou ficando poraqui. Havendo tempo eu participo mais A todos, com os melhoresvotos de paz profunda,souPSR, 31301091812
G1(N) = N 2009/1/13 Marcelo Salhab Brogliato <msbro...@gmail.com>:> Olá Paulo,> por acaso esta "técnica" para montar a seqüência T é chamada de> Diagonalização, ou algo parecido?>> abraços,> Salhab>>>> 2009/1/13 Paulo Santa Rita <paulo.santar...@gmail.com>>>>> Ola Murilo,>> Por que a sequencia g:N->N nao pertence a "lista (enumeracao)>> desequencias" ? Acho que faltou tornar isto MAIS CLARO. Alem disso,faltou>> enunciar claramente que "suponhamos que as sequencias denumeros naturais>> seja enumeravel". Eis aqui uma demonstracao :>> Seja S o conjunto das sequencias de numeros naturais. SUPONHAMOS queeste>> conjunto seja enumeravel. Seja entao (s1, s2, ..., sn,...) umaenumeracao>> qualquer dos elementos deste conjunto. Vamos mostrar queexiste uma sequencia>> T de numeros naturais que nao esta na enumeracaoanterior :>> Facamos :>> T(1)=n1, tal que n1 # s1(1)T(2)=n2, tal que n2 # s2(2)...T(i)=ni, tal que>> n1 # si(i)>> Assim definida, T e uma sequencia de numeros naturais e,>> po! rtanto,necessita estar na enumeracao que fizemos, mas esta sequencia T>> naoesta na enumeracao pois ela e diferente de qualquer sequencia>> sn,n=1,2,... precisamente no ponto "n". o que e um absurdo, poisestavamos>> supondo que o conjunto S e enumeravel e que (s1, s2, ... )seria uma>> enumeracao dos seus elementos, abrigando portando TODAS assequencias de>> numeros naturais.>> Assim, a nossa tese e insustentavel e somos obrigados a admitir que>> oconjunto das sequencias de numeros naturais nao e enumeravel.>> EXERCICIO DE ANALISE : Mostre que QUALQUER CONJUNTO INFINITO pode>> serexpresso como uma uniao enumeravel de conjunto infinitos, dois a>> doisdisjuntos.>> Um AbracoPSR, 31301090847>>>>>> 2009/1/12 Murilo Krell <murilo.kr...@gmail.com>:> Pessoal,> continuando na>> labuta com a análise, fiz um exercício e queria colocar minha> resolução>> para um julgamento, acho que é a melhor forma de aprender.> (estou tentando>> deixar a construção de soluções e o formalismo a! purado, por> favor,>> sugestões são muito bem vindas)>> Enu! nciado: Prove que o conjunto das>> sequências de números natureais> (n1<n2<...) é não-enumerável.>>>> resolução:>> Sendo X(N,N) o conjunto de todas as sequências crescentes de>> números> naturais. vamos mostrar que nenhuma função F; N-> X (N,N) pode ser>>> sobrejetiva.> Indicando por fm o valor de f no ponto m pertencente a N>>>> Isto significa que fm pertence a X(N,N), ou seja, é uma sequência crescente>>> de naturais. Assim, para cada n pertencente a N, fm(n) é um número>> natural.>> Temos:>> f1:= ( f1(1) < f1(2 )< f1(3) <....< f1(n) < ... ) =>> F1(N)> f2:= ( f2(1) < f2(2 )< f2(3) <....< f2(n) < ... ) = F2(N)> .> .> fm:=>> ( fm(1) < fm(2 )< f!>> m(3) <....< fm(n) < ... ) = Fm(N)> .> .>> Agora, vamos "construir"uma>> sequência crescente g: N -> N que não esteja na> imagem de f.> Como N é>> infinito e ordenado, para n=1, coloque g(1) = f1(2) > f1(1)> No conjunto>> f2(N) coloque g(2) como sendo f2(1), ou seja, para g(n) vamos> tomar g(n) =>> fn(n-1)> assim f! ormamos uma nova sequência g que não pertence a lista de>> sequências> fn.>> Assim nenhuma lista enumerável pode esgotar todas as>> funções em X (N,N)>> abraços e muito obrigado,> Murilo>>>> =========================================================================>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html>> =========================================================================>> ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
