Desculpa, mas eu só percebi o erro depois de enviar, eu não preciso supor xy
ou xy porque no último passo tem-se que |0||x-y| e o módulo de um numero |a|
qualquer real é sempre maior ou igual a zero então para a condição exposta pelo
problema é válida, foi uma desatenção minha, mil perdões.
Date: Mon, 8 Mar 2010 00:49:00 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Res: [obm-l] Média
Aritmética e Geométrica
From: fcostabarr...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Ah, claro, podemos ter x= y,
Então a hipótese seria x = y (ainda sem perda de generalidade).
Em 8 de março de 2010 00:25, Francisco Barreto fcostabarr...@gmail.com
escreveu:
Em 7 de março de 2010 23:19, Vitor Paschoal vitor_hugo_pasch...@hotmail.com
escreveu:
Boa noite pessoal da lista, pensei em uma forma de resolver essa inequação,
tenho dúvidas se esta correta ou não, mas ai vai:
Pela propriedade de tricotomia suponhamos que xy e que tanto x quanto y são
diferentes de 0, temos então -
(x.y)^1/2 (x+y)/2
Por que temos isso? Não entendi. Gostaria que você me explicasse isso.
Você pode continuar com sua hipótese de x y sem perda de generalidade, e
supor (por absurdo) que temos sqrt(xy) (x+y)/2 echegar a conclusão de que
deve se ter 0 x -y, o que pela hipótese não é possível. Daí você conclui que
sqrt(xy) = (x+y)/2.
Mas eu acho melhor provar de maneira direta.
Elevando ambos os lados da inequação ao quadrado temos:
((x.y)^1/2)^2 (x+y)^2/4
Pela monotonicidade multiplicativa podemos multiplicar ambos os lados por 4
sem mudar o sinal da desigualdade
4.x.y x^2+2.x.y+y^2
Pela monotonicidade aditiva podemos somar os opostos de 4.x.y a ambos os lados:
0 x^2-2.x.y+y^2
Sabendo que x^2-2.x.y+y^2 = (x-y)^2 e que 0^1/2=0 temos
0 x - y
como fora suposto anteriormente que xy logo x-y0, então a proposição é
verdadeira.
Date: Sun, 7 Mar 2010 21:52:25 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Res: [obm-l] Média Aritmética e Geométrica
From: fcostabarr...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Para o caso n=2 não há indução.
Em 7 de março de 2010 14:40, dnasime...@terra.com.br escreveu:
Tente usar indução finita para resolver a desigualdade
--Mensagem original--
De: Emanuel Valente
Remetente: owner-ob...@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Responder a: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Média Aritmética e Geométrica
Enviada: 6 Mar, 2010 16:01
Pessoal, eu tinha feito esse exercício no cursinho, mas não lembro por
onde saí. Alguma luz?
Sejam x,y numeros reais positivos. Prove que:
sqrt(x.y) (x+y)/2
--
Emanuel
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