[obm-l] Re: [obm-l] Um problema interessante sobre polinômio

[Anderson Torres]

Em 12 de fevereiro de 2017 20:46, Artur Costa Steiner
 escreveu:
> Oi amigos! Acho esse interessante.
>
> Mostre que o polinÃīmio
>
> P(x) = 793 x^(248) + 678 x^(197) - 984 x^(141) - 497 x^(98) + 2546 x^(87) - 
> 3251
>
> nÃĢo tem nenhuma raiz na qual as partes real e imaginÃĄria sejam ambas  
> racionais.
>

Algumas ideias preliminares:
Como este é um polinômio de coeficientes reais, suas raízes complexas
são pareadas. E se p,q são racionais, as raízes de x^2-2px+(p^2+q^2)=0
são os complexos p+qi e p-qi.

Mas, como reduzir?

> Abraços.
>
> Enviado do meu iPad
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruįões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Um problema interessante sobre polinômio

[Artur Costa Steiner]

Oi amigos! Acho esse interessante. 

Mostre que o polinômio 

P(x) = 793 x^(248) + 678 x^(197) - 984 x^(141) - 497 x^(98) + 2546 x^(87) - 3251

não tem nenhuma raiz na qual as partes real e imaginária sejam ambas  racionais.

Abraços. 

Enviado do meu iPad
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Re: [obm-l] Um Problema Interessante

[Marcos Martinelli]

   Consegui achar 6 como resposta para este somatório, através de uma
outra solução. Confere?

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] Um Problema Interessante

[Marcos Martinelli]

   Segue um problema que eu achei bem legal:

   Seja {T_n} uma seqüência definida por T_0=0, T_1=1 e T_2=2 e ainda
para todo n natural tal que n=2 temos T_(n+1)=T_n+T_(n-1)+T_(n-2).
Pede-se calcular o seguinte somatório(0=n=+ infinito){T_n/(2^n)}.

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Re: [obm-l] Um Problema Interessante

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Bem, vou dar as dicas...
Esta sequencia e da forma
A*r1^n+B*r2^n+C*r3^n
em que os erres sao as raizes de 

x^3=x^2+x+1

Entao T(n)/2^n e da forma
A*(r1/2)^n+B*(r2/2)^n+C*(r3/2)^n

Mas o lance e: É posível escrever
T(1)/2^1+...+T(n)/2^n
como uma recursao do mesmo tipo que T(n).
Vou dar um exemplo:

Se X(n)=2^n+3^n, temos

X(n+2)=5X(n+1)-6X(n)

Como seria S(n)=somatorio de X(i) de 1 até n?
Simples:
S(n+1)=S(n)+X(n), certo?
Então,
S(n+1)-S(n)=X(n)

(X(n+3)-X(n+2))=5(X(n+2)-X(n+1))-6(X(n+1)-X(n))
Bem, acho que enrolei demais... Mas e isso ai!


--- Marcos Martinelli [EMAIL PROTECTED]
escreveu:

Segue um problema que eu achei bem legal:
 
Seja {T_n} uma seqüência definida por T_0=0,
 T_1=1 e T_2=2 e ainda
 para todo n natural tal que n=2 temos
 T_(n+1)=T_n+T_(n-1)+T_(n-2).
 Pede-se calcular o seguinte somatório(0=n=+
 infinito){T_n/(2^n)}.
 

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Re: [obm-l] Um Problema Interessante

[Eduardo Wilner]

  Prezado Paulo

  Poderia dizer a fonte de onde recebeu o problema?
  
  Aguardei algum comentario sobre ele, mas...
  
  A minha solucao eh:
  
  2*area = soma com j=1 a n-1 {sen(j*2*pi/n)*[soma com

i=j a n-1((i+1)*(i-j+1))]}.
 
  Quanto aos valores de n para os quais a area eh
inteira, pareceu-me que o unico eh 4, e que para os
outros ela resulta irracional...

   Gostaria de ouvir, ou melhor, ler sua opiniao.

  P.S. Nao sei se o pessoal da lista nao gosta de
poligonais, pois postei um problema a respeito em 25
May deste ano denominado ' Geometria quase analitica'
e ... nada...
Voce nao viu ?
 
  
--- Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Ola Pessoal,
 
 Recebi o problema abaixo, que achei interessante.
 Estou repassando pra voces 
 :
 
 Suppose line segments of lengths proportional to
 1,2,3,...,n taken in that 
 order form a rectilineal figure each of whose
 exterior angle is 2*pi/n and 
 a polygon is formed by joining the endpoint of the
 last segment to the 
 starting point. Find a closed form expression for
 the area of the polygon. 
  For what values of 'n' is the area an integer?
 
 Um Abraco a Todos
 Paulo Santa Rita
 2,0931,130605
 

_
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 http://www.msn.com.br/discador
 

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[obm-l] Um Problema Interessante

[Paulo Santa Rita]

Ola Pessoal,

Recebi o problema abaixo, que achei interessante. Estou repassando pra voces 
:


Suppose line segments of lengths proportional to 1,2,3,...,n taken in that 
order form a rectilineal figure each of whose exterior angle is 2*pi/n and 
a polygon is formed by joining the endpoint of the last segment to the 
starting point. Find a closed form expression for the area of the polygon. 
For what values of 'n' is the area an integer?


Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
2,0931,130605

_
Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! 
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Re: [obm-l] Um problema interessante

[Lista OBM]

Meu caro Cláudio, não entendi a passagem abaixo:

M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2)
Grato.Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
Acho que dah ateh pra dizer mais: se E e F forem espacos vetoriais normados e E tiver dimensao finita (digamos, igual a n) sobre R e T: E - F for uma transformacao linear, entao T eh Lipschitziana e, portanto, uniformemente continua.Seja {a_1, a_2, ..., a_n} uma base ortonormal de E.T eh unicamente determinada pelos valores que assume nos a_i:b_1 = T(a_1), b_2 = T(a_2), ..., b_n = T(a_n).Seja M = max{||b_1||, ||b_2||, ..., ||b_n||}.Sejam x e y pertencentes a E. Podemos escrever:x = x_1*a_1 + ... + x_n*a_n e y = y_1*a_1 + ... + y_n*a_n, onde os x_i's e y_j's sao escalares reais.Teremos:||x - y|| =||(x_1 - y_1)*a_1 + ... + (x_n - y_n)*a_n|| =raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) (pois a base {a_i} eh ortonormal).Alem disso:||T(x) - T(y)|| = ||T(x
 - y)|| = ||(x_1 - y_1)*b_1 + ... + (x_n - y_n)*b_n|| =|x_1 - y_1|*||b_1|| + ... + |x_n - y_n|*||b_n|| =M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) =M*raiz(n)*||x - y||Ou seja, T eh Lipschitziana.Dado eps  0, se tomarmos delta = eps/(M*raiz(n)), teremos:||x - y||  delta == ||T(x) - T(y)|| = (M*raiz(n))*||x - y||  eps.Ou seja, T eh uniformemente continua.A condicao de E ser de dimensao finita eh essencial para a continuidade de T.O contra-exemplo classico eh o espaco vetorial dos reais sobre os racionais, cuja dimensao eh infinita (qualquer base de R sobre Q nao soh eh infinita como tambem eh nao-enumeravel).Dada uma base de R sobre Q, definimos T:R - R por:T(x) = soma das coordenadas de x em relacao a base fixada.Claramente, T eh linear. Soh que T(R) estah contida em Q.Logo, T nao obedece ao teorema do valor
 intermediario e, portanto, nao eh continua (em ponto algum de R).[]s,Claudio.on 15.06.04 16:23, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Um problema interessante: Sabemos que toda transformação linear T: R^n -- F, onde F é um espaço vetorial normado, é contínua. Será que isso é valido para todo espaço vet. normado E isomorfo ao  R^n, i.e., T: E -- F é contínua. Éder. 

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Re: [obm-l] Um problema interessante

[Lista OBM]

Meu caro Cláudio, não entendi a passagem abaixo:

M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) =
Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
Acho que dah ateh pra dizer mais: se E e F forem espacos vetoriais normados e E tiver dimensao finita (digamos, igual a n) sobre R e T: E - F for uma transformacao linear, entao T eh Lipschitziana e, portanto, uniformemente continua.Seja {a_1, a_2, ..., a_n} uma base ortonormal de E.T eh unicamente determinada pelos valores que assume nos a_i:b_1 = T(a_1), b_2 = T(a_2), ..., b_n = T(a_n).Seja M = max{||b_1||, ||b_2||, ..., ||b_n||}.Sejam x e y pertencentes a E. Podemos escrever:x = x_1*a_1 + ... + x_n*a_n e y = y_1*a_1 + ... + y_n*a_n, onde os x_i's e y_j's sao escalares reais.Teremos:||x - y|| =||(x_1 - y_1)*a_1 + ... + (x_n - y_n)*a_n|| =raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) (pois a base {a_i} eh ortonormal).Alem disso:||T(x) - T(y)|| = ||T(x
 - y)|| = ||(x_1 - y_1)*b_1 + ... + (x_n - y_n)*b_n|| =|x_1 - y_1|*||b_1|| + ... + |x_n - y_n|*||b_n|| =M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) =M*raiz(n)*||x - y||Ou seja, T eh Lipschitziana.Dado eps  0, se tomarmos delta = eps/(M*raiz(n)), teremos:||x - y||  delta == ||T(x) - T(y)|| = (M*raiz(n))*||x - y||  eps.Ou seja, T eh uniformemente continua.A condicao de E ser de dimensao finita eh essencial para a continuidade de T.O contra-exemplo classico eh o espaco vetorial dos reais sobre os racionais, cuja dimensao eh infinita (qualquer base de R sobre Q nao soh eh infinita como tambem eh nao-enumeravel).Dada uma base de R sobre Q, definimos T:R - R por:T(x) = soma das coordenadas de x em relacao a base fixada.Claramente, T eh linear. Soh que T(R) estah contida em Q.Logo, T nao obedece ao teorema do valor
 intermediario e, portanto, nao eh continua (em ponto algum de R).[]s,Claudio.on 15.06.04 16:23, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Um problema interessante: Sabemos que toda transformação linear T: R^n -- F, onde F é um espaço vetorial normado, é contínua. Será que isso é valido para todo espaço vet. normado E isomorfo ao  R^n, i.e., T: E -- F é contínua. Éder. 

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Re: [obm-l] Um problema interessante

[Lista OBM]

Meu caro Cláudio, não entendi a passagem abaixo:

M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2)
Grato.Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
Acho que dah ateh pra dizer mais: se E e F forem espacos vetoriais normados e E tiver dimensao finita (digamos, igual a n) sobre R e T: E - F for uma transformacao linear, entao T eh Lipschitziana e, portanto, uniformemente continua.Seja {a_1, a_2, ..., a_n} uma base ortonormal de E.T eh unicamente determinada pelos valores que assume nos a_i:b_1 = T(a_1), b_2 = T(a_2), ..., b_n = T(a_n).Seja M = max{||b_1||, ||b_2||, ..., ||b_n||}.Sejam x e y pertencentes a E. Podemos escrever:x = x_1*a_1 + ... + x_n*a_n e y = y_1*a_1 + ... + y_n*a_n, onde os x_i's e y_j's sao escalares reais.Teremos:||x - y|| =||(x_1 - y_1)*a_1 + ... + (x_n - y_n)*a_n|| =raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) (pois a base {a_i} eh ortonormal).Alem disso:||T(x) - T(y)|| = ||T(x
 - y)|| = ||(x_1 - y_1)*b_1 + ... + (x_n - y_n)*b_n|| =|x_1 - y_1|*||b_1|| + ... + |x_n - y_n|*||b_n|| =M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) =M*raiz(n)*||x - y||Ou seja, T eh Lipschitziana.Dado eps  0, se tomarmos delta = eps/(M*raiz(n)), teremos:||x - y||  delta == ||T(x) - T(y)|| = (M*raiz(n))*||x - y||  eps.Ou seja, T eh uniformemente continua.A condicao de E ser de dimensao finita eh essencial para a continuidade de T.O contra-exemplo classico eh o espaco vetorial dos reais sobre os racionais, cuja dimensao eh infinita (qualquer base de R sobre Q nao soh eh infinita como tambem eh nao-enumeravel).Dada uma base de R sobre Q, definimos T:R - R por:T(x) = soma das coordenadas de x em relacao a base fixada.Claramente, T eh linear. Soh que T(R) estah contida em Q.Logo, T nao obedece ao teorema do valor
 intermediario e, portanto, nao eh continua (em ponto algum de R).[]s,Claudio.on 15.06.04 16:23, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Um problema interessante: Sabemos que toda transformação linear T: R^n -- F, onde F é um espaço vetorial normado, é contínua. Será que isso é valido para todo espaço vet. normado E isomorfo ao  R^n, i.e., T: E -- F é contínua. Éder. 

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Re: [obm-l] Um problema interessante

[Lista OBM]

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Grato.Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
Acho que dah ateh pra dizer mais: se E e F forem espacos vetoriais normados e E tiver dimensao finita (digamos, igual a n) sobre R e T: E - F for uma transformacao linear, entao T eh Lipschitziana e, portanto, uniformemente continua.Seja {a_1, a_2, ..., a_n} uma base ortonormal de E.T eh unicamente determinada pelos valores que assume nos a_i:b_1 = T(a_1), b_2 = T(a_2), ..., b_n = T(a_n).Seja M = max{||b_1||, ||b_2||, ..., ||b_n||}.Sejam x e y pertencentes a E. Podemos escrever:x = x_1*a_1 + ... + x_n*a_n e y = y_1*a_1 + ... + y_n*a_n, onde os x_i's e y_j's sao escalares reais.Teremos:||x - y|| =||(x_1 - y_1)*a_1 + ... + (x_n - y_n)*a_n|| =raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) (pois a base {a_i} eh ortonormal).Alem disso:||T(x) - T(y)|| = ||T(x
 - y)|| = ||(x_1 - y_1)*b_1 + ... + (x_n - y_n)*b_n|| =|x_1 - y_1|*||b_1|| + ... + |x_n - y_n|*||b_n|| =M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) =M*raiz(n)*||x - y||Ou seja, T eh Lipschitziana.Dado eps  0, se tomarmos delta = eps/(M*raiz(n)), teremos:||x - y||  delta == ||T(x) - T(y)|| = (M*raiz(n))*||x - y||  eps.Ou seja, T eh uniformemente continua.A condicao de E ser de dimensao finita eh essencial para a continuidade de T.O contra-exemplo classico eh o espaco vetorial dos reais sobre os racionais, cuja dimensao eh infinita (qualquer base de R sobre Q nao soh eh infinita como tambem eh nao-enumeravel).Dada uma base de R sobre Q, definimos T:R - R por:T(x) = soma das coordenadas de x em relacao a base fixada.Claramente, T eh linear. Soh que T(R) estah contida em Q.Logo, T nao obedece ao teorema do valor
 intermediario e, portanto, nao eh continua (em ponto algum de R).[]s,Claudio.on 15.06.04 16:23, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Um problema interessante: Sabemos que toda transformação linear T: R^n -- F, onde F é um espaço vetorial normado, é contínua. Será que isso é valido para todo espaço vet. normado E isomorfo ao  R^n, i.e., T: E -- F é contínua. Éder. 

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Re: [obm-l] Um problema interessante

[Lista OBM]

Meu caro cláudio, não entendi a passagem abaixo:

M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2)

Grato pela solução.Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
Acho que dah ateh pra dizer mais: se E e F forem espacos vetoriais normados e E tiver dimensao finita (digamos, igual a n) sobre R e T: E - F for uma transformacao linear, entao T eh Lipschitziana e, portanto, uniformemente continua.Seja {a_1, a_2, ..., a_n} uma base ortonormal de E.T eh unicamente determinada pelos valores que assume nos a_i:b_1 = T(a_1), b_2 = T(a_2), ..., b_n = T(a_n).Seja M = max{||b_1||, ||b_2||, ..., ||b_n||}.Sejam x e y pertencentes a E. Podemos escrever:x = x_1*a_1 + ... + x_n*a_n e y = y_1*a_1 + ... + y_n*a_n, onde os x_i's e y_j's sao escalares reais.Teremos:||x - y|| =||(x_1 - y_1)*a_1 + ... + (x_n - y_n)*a_n|| =raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) (pois a base {a_i} eh ortonormal).Alem disso:||T(x) - T(y)|| = ||T(x
 - y)|| = ||(x_1 - y_1)*b_1 + ... + (x_n - y_n)*b_n|| =|x_1 - y_1|*||b_1|| + ... + |x_n - y_n|*||b_n|| =M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) =M*raiz(n)*||x - y||Ou seja, T eh Lipschitziana.Dado eps  0, se tomarmos delta = eps/(M*raiz(n)), teremos:||x - y||  delta == ||T(x) - T(y)|| = (M*raiz(n))*||x - y||  eps.Ou seja, T eh uniformemente continua.A condicao de E ser de dimensao finita eh essencial para a continuidade de T.O contra-exemplo classico eh o espaco vetorial dos reais sobre os racionais, cuja dimensao eh infinita (qualquer base de R sobre Q nao soh eh infinita como tambem eh nao-enumeravel).Dada uma base de R sobre Q, definimos T:R - R por:T(x) = soma das coordenadas de x em relacao a base fixada.Claramente, T eh linear. Soh que T(R) estah contida em Q.Logo, T nao obedece ao teorema do valor
 intermediario e, portanto, nao eh continua (em ponto algum de R).[]s,Claudio.on 15.06.04 16:23, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Um problema interessante: Sabemos que toda transformação linear T: R^n -- F, onde F é um espaço vetorial normado, é contínua. Será que isso é valido para todo espaço vet. normado E isomorfo ao  R^n, i.e., T: E -- F é contínua. Éder. 

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Re: [obm-l] Um problema interessante

[Claudio Buffara]

Title: Re: [obm-l] Um problema interessante



Isso eh consequencia da desigualdade entre as medias aritmetica e quadratica de numeros nao negativos:

Se a_1, a_2, ..., a_n sao reais nao negativos, entao:
(a_1 + a_2 + ... + a_n)/n = raiz((a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)/n) ==
a_1 + a_2 + ... + a_n = raiz(n)*raiz(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)

Fazendo a_i = |x_i - y_i|, voce obtem o resultado usado na passagem abaixo.

Pra provar a desigualdade, faca o seguinte:
f(x) = (x - a_1)^2 + (x - a_2)^2 + ... + (x - a_n)^2 = 0 para todo x real ==
f(x) = nx^2 - 2(a_1 + a_2 + ... + a_n)x + (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2) = 0 ==
delta = 0 ==
4(a_1 + a_2 + ... + a_n)^2 - 4n(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n)^2 = 0 ==
(a_1 + a_2 + ... + a_n)^2 = n(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2) ==
a_1 + a_2 + ... + a_n = raiz(n)*raiz(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)

[]s,
Claudio.

on 18.06.04 17:39, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Meu caro Cláudio, não entendi a passagem abaixo:
 
M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =
M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2)
Grato.

Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
Acho que dah ateh pra dizer mais: se E e F forem espacos vetoriais normados e E tiver dimensao finita (digamos, igual a n) sobre R e T: E - F for uma transformacao linear, entao T eh Lipschitziana e, portanto, uniformemente continua.

Seja {a_1, a_2, ..., a_n} uma base ortonormal de E.
T eh unicamente determinada pelos valores que assume nos a_i:
b_1 = T(a_1), b_2 = T(a_2), ..., b_n = T(a_n).

Seja M = max{||b_1||, ||b_2||, ..., ||b_n||}.
 
Sejam x e y pertencentes a E. Podemos escrever:
x = x_1*a_1 + ... + x_n*a_n e y = y_1*a_1 + ... + y_n*a_n, 
onde os x_i's e y_j's sao escalares reais.

Teremos:
||x - y|| =
||(x_1 - y_1)*a_1 + ... + (x_n - y_n)*a_n|| =
raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) 
(pois a base {a_i} eh ortonormal).

Alem disso:
||T(x) - T(y)|| = ||T(x - y)|| = 
||(x_1 - y_1)*b_1 + ... + (x_n - y_n)*b_n|| =
|x_1 - y_1|*||b_1|| + ... + |x_n - y_n|*||b_n|| =
M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =
M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) =
M*raiz(n)*||x - y||

Ou seja, T eh Lipschitziana.

Dado eps  0, se tomarmos delta = eps/(M*raiz(n)), teremos:
||x - y||  delta == ||T(x) - T(y)|| = (M*raiz(n))*||x - y||  eps.

Ou seja, T eh uniformemente continua.



A condicao de E ser de dimensao finita eh essencial para a continuidade de T.

O contra-exemplo classico eh o espaco vetorial dos reais sobre os racionais, cuja dimensao eh infinita (qualquer base de R sobre Q nao soh eh infinita como tambem eh nao-enumeravel).

Dada uma base de R sobre Q, definimos T:R - R por:
T(x) = soma das coordenadas de x em relacao a base fixada.

Claramente, T eh linear. Soh que T(R) estah contida em Q.
Logo, T nao obedece ao teorema d! o valor intermediario e, portanto, nao eh continua (em ponto algum de R).

[]s,
Claudio.

on 15.06.04 16:23, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Um problema interessante: 



Sabemos que toda transformação linear T: R^n -- F, onde F é um espaço vetorial normado, é contínua. Será que isso é valido para todo espaço vet. normado E isomorfo ao R^n, i.e., T: E -- F é contínua. 



Éder. 



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Re: [obm-l] Um problema interessante

[Claudio Buffara]

Title: Re: [obm-l] Um problema interessante



Acho que dah ateh pra dizer mais: se E e F forem espacos vetoriais normados e E tiver dimensao finita (digamos, igual a n) sobre R e T: E - F for uma transformacao linear, entao T eh Lipschitziana e, portanto, uniformemente continua.

Seja {a_1, a_2, ..., a_n} uma base ortonormal de E.
T eh unicamente determinada pelos valores que assume nos a_i:
b_1 = T(a_1), b_2 = T(a_2), ..., b_n = T(a_n).

Seja M = max{||b_1||, ||b_2||, ..., ||b_n||}.
 
Sejam x e y pertencentes a E. Podemos escrever:
x = x_1*a_1 + ... + x_n*a_n e y = y_1*a_1 + ... + y_n*a_n, 
onde os x_i's e y_j's sao escalares reais.

Teremos:
||x - y|| =
||(x_1 - y_1)*a_1 + ... + (x_n - y_n)*a_n|| =
raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) 
(pois a base {a_i} eh ortonormal).

Alem disso:
||T(x) - T(y)|| = 
||T(x - y)|| = 
||(x_1 - y_1)*b_1 + ... + (x_n - y_n)*b_n|| =
|x_1 - y_1|*||b_1|| + ... + |x_n - y_n|*||b_n|| =
M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =
M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) =
M*raiz(n)*||x - y||

Ou seja, T eh Lipschitziana.

Dado eps  0, se tomarmos delta = eps/(M*raiz(n)), teremos:
||x - y||  delta == ||T(x) - T(y)|| = (M*raiz(n))*||x - y||  eps.

Ou seja, T eh uniformemente continua.



A condicao de E ser de dimensao finita eh essencial para a continuidade de T.

O contra-exemplo classico eh o espaco vetorial dos reais sobre os racionais, cuja dimensao eh infinita (qualquer base de R sobre Q nao soh eh infinita como tambem eh nao-enumeravel).

Dada uma base de R sobre Q, definimos T:R - R por:
T(x) = soma das coordenadas de x em relacao a base fixada.

Claramente, T eh linear. Soh que T(R) estah contida em Q.
Logo, T nao obedece ao teorema do valor intermediario e, portanto, nao eh continua (em ponto algum de R).

[]s,
Claudio.

on 15.06.04 16:23, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Um problema interessante: 

 

Sabemos que toda transformação linear T: R^n -- F, onde F é um espaço vetorial normado, é contínua. Será que isso é valido para todo espaço vet. normado E isomorfo ao R^n, i.e., T: E -- F é contínua. 

 

Éder. 


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[obm-l] Um problema interessante

[Lista OBM]

Um problema interessante:

Sabemos que toda transformação linear T: R^n -- F, onde F é um espaço vetorial normado, é contínua. Será que isso é valido para todo espaço vet. normado E isomorfo ao  R^n, i.e., T: E -- F é contínua.

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[obm-l] Um Problema Interessante

[Danilo notes]

Pessoal , será que podem me ajudar a resolver esse probleminha?

" Sejam A e B matrizes reais nxn tais que AB + A + B = 0. Prove que AB=BA".



abs.
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Re: [obm-l] Um Problema Interessante

[Nicolau C. Saldanha]

On Thu, Feb 26, 2004 at 08:06:33PM -0300, Danilo notes wrote:
 Sejam  A e B matrizes reais  nxn  tais que  AB + A  +  B = 0.
 Prove que AB=BA.

(A+I)(B+I) = AB + A + B + I = I

Como A e B são quadradas isto implica em (A+I)^(-1) = (B+I)
donde (A+I) e (B+I) comutam donde A e B comutam.

[]s, N.
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Um Problema Interessante

[Henrique Patrício Sant'Anna Branco]

Ah sim... Lembre-se também que a matriz identidade é idempotente.
Logo, I^n = I.

Henrique.

 Pessoal , será que podem me ajudar a resolver esse probleminha?

  Sejam  A e B matrizes reais  nxn  tais que  AB + A  +  B = 0.  Prove que
AB=BA.

=
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Re: [obm-l] Um Problema Interessante

[Henrique Patrício Sant'Anna Branco]

  Sejam  A e B matrizes reais  nxn  tais que  AB + A  +  B = 0.  Prove que
AB=BA.

Soma a identidade dos dois lados...

AB + A + B + I = I == (A + I)(B + I) = I
Isso implica que A + I é a inversa de B + I e, como são quadradas, elas
comutam.
Então temos (A + I)(B + I) = (B + I)(A + I)  == A + B + AB + I = B + A + BA
+ I == AB = BA
Acho que é isso...

Abraços,
Henrique.

=
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[obm-l] Um Problema Interessante ...

[Paulo Santa Rita]

Ola Pessoal !

Em muitas Linguagens de Programacao de Computadores e possivel criarmos 
funcoes recurssivas, vale dizer, e possivel criarmos funcoes que chamam a si 
mesmas um numero arbitrario de vezes. A recurssividade pode ser de mais de 
um tipo e, em geral, usa intensamente o recurso de variaveis locais para 
guardar o status das inumeras iteracoes.

Matematicamente falando, a recurssividade pode ser modelada pelo processo de 
composicao de uma funcao com ela mesma. Se Y1=F(X), entao Y1=F(F(X)) seria 
uma rrecurssao.

Em programacao, em geral, nos nao estamos preocupados com a recurssao em si. 
mas sim na potencialidade de tal possibilidade representa, pois muitos 
algoritmicos se tornam de solucao facil e elegante se o implementamos por 
recurssao. Mas e claro que toda solucao recurssiva exige um conhecimento 
interno da funcao.

Por muitas razoes, eu estou precisando resolver o seguinte problema :

Seja Y=H(X) uma funcao continua, conhecida, e A, B e C inteiros e N um 
natural
maior que 2. Que condicoes Y=H(X) deve atender para que exista F(X) tal que 
:

A*F^N(X)  +  B*F^(N-1)(X) + C*F(X) = H(X)

Onde F^N(X) e a composicao de F(X) consigo mesma N vezes, isto e :

F^N(X) = FoFoFoFo...oF(X)N vezes

Pode ser que eu esteja querendo resolver um problema que ja foi resolvido. 
Neste caso, alguem sabe onde posso ver a solucao ?

Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
2,1609,210703
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