Re: [obm-l] a^3+b^3+c^3 = 3abc
Pessoal, consegui fazendo (a+b+c)^3. Isto vai dar a^3 + b^3 + c^3 + 3ba^2 + 3ab^2 + 3ca^2 + 3ac^2 + 3bc^2 + 3cb^2 + 6abc = 0. a^3 + b^3 + c^3 + 3ab(a+b) + 3ac(a+c) + 3cb(b+c) + 6abc = 0. a^3 + b^3 + c^3 + 3ab(-c) + 3ac(-b) + 3cb(-a) + 6abc = 0. Abraços. Fabio Henrique. Gostaria de tentar uma resoluçao sobre o enunciado, só que fazendo um caminho inverso: Dado a+b+c=0, quero chegar em a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0. Partindo de: a^3 + b^3 + c^3 - 3abc Farei a linha acima por determinante: a b c c a b b c a A soma de cada linha deste deteminante eh a+b+c que como jah eh sabido eh zero. logo o determinante acima eh igual a zero. Assim temos: a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 e a^3 + b^3 + c^3 = 3abc Por favor me corrijam se eu estiver errado. Obrigado. -- Mensagem original -- Ola pessoal, Depois de alguns meses afastado da lista e sem estudar matematica, pois estava estudando para um concurso e acabei de faze-lo. Agora eh esperar ansioso pelo resultado que sairah em menos de 2 semanas. Para nao ficar off-topic vou re-comecar a postar minhas duvidas. Vamos la: 1) Prove que se a + b + c = 0, entao a^3 + b^3 + c^3 = 3abc Obs: Como estou voltando agora, desculpem me se o problema for trivial. Preciso me desenferrujar aos poucos ;-) em matematica e pegar o ritmo de novo. -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ Ofertas imperdíveis! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] a^3+b^3+c^3 = 3abc
há uma identidade notavel para isso jah, uhtil qndo se lida com as relações de girard, que poucos conhecem: (a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b + c)(ab + ac + bc) - 3abc sabendo que a + b + c = 0, resulta diretamente que: 0 = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc abraços On Sun, Nov 09, 2003 at 02:28:48PM -0200, Fabio Henrique wrote: Pessoal, consegui fazendo (a+b+c)^3. Isto vai dar a^3 + b^3 + c^3 + 3ba^2 + 3ab^2 + 3ca^2 + 3ac^2 + 3bc^2 + 3cb^2 + 6abc = 0. a^3 + b^3 + c^3 + 3ab(a+b) + 3ac(a+c) + 3cb(b+c) + 6abc = 0. a^3 + b^3 + c^3 + 3ab(-c) + 3ac(-b) + 3cb(-a) + 6abc = 0. Abraços. Fabio Henrique. Gostaria de tentar uma resoluçao sobre o enunciado, só que fazendo um caminho inverso: Dado a+b+c=0, quero chegar em a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0. Partindo de: a^3 + b^3 + c^3 - 3abc Farei a linha acima por determinante: a b c c a b b c a A soma de cada linha deste deteminante eh a+b+c que como jah eh sabido eh zero. logo o determinante acima eh igual a zero. Assim temos: a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 e a^3 + b^3 + c^3 = 3abc Por favor me corrijam se eu estiver errado. Obrigado. -- Mensagem original -- Ola pessoal, Depois de alguns meses afastado da lista e sem estudar matematica, pois estava estudando para um concurso e acabei de faze-lo. Agora eh esperar ansioso pelo resultado que sairah em menos de 2 semanas. Para nao ficar off-topic vou re-comecar a postar minhas duvidas. Vamos la: 1) Prove que se a + b + c = 0, entao a^3 + b^3 + c^3 = 3abc Obs: Como estou voltando agora, desculpem me se o problema for trivial. Preciso me desenferrujar aos poucos ;-) em matematica e pegar o ritmo de novo. -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ Ofertas imperdíveis! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] a^3 + b^3 + c^3 = 3abc
Daniel Não entendi como você fez para concluir que P(a, b, c) = (K1) . a E o que, precisamente, quer dizer esta expressão aí de cima? Também não soube interpretar. Abraço, Duda. From: Daniel Faria [EMAIL PROTECTED] Pensei numa outra forma: 1) a + b + c = 0 2) P( a , b , c ) = a^3 + b^3 + c^3 Considerando em (1) a=0, temos c=-b. Em (2): P( 0 , b , -b ) = 0^3 + b^3 + (-b)^3 = 0 Assim P é da forma: 3) P( a , b , c ) = ( K1) . a Considerando em (1) b=0, temos c=-a. Em (2): P( a , 0 , -a ) = a^3 + 0^3 + (-a)^3 = 0 Assim P é da forma: 4) P( a , b , c ) = ( K2) . b Considerando em (1) c=0, temos b=-a. Em (2): P( a , -a , 0 ) = a^3 + (-a)^3 + 0^3 = 0 Assim P é da forma: P( a , b , c ) = ( K3) . c Concluo por (3),(4) e (5) que: 6) P( a , b , c ) = k.a.b.c Substituo quaisquer valores nao nulos em a, b e c: pode ser (a = b = c = n ) 2) P( n , n , n ) = n^3 + n^3 + n^3 = 3n^3 6) P( n , n , n ) = k.n.n.n = kn^3 Logo K=3 P ( a , b , c ) = 3abc e finalmente: a^3 + b^3 + c^3 = 3abc _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] a^3+b^3+c^3 = 3abc
Ola Daniel e demais colegas desta lista ... OBM-L, Muito legal a prova por determinante. Vou tentar produzir uma prova diferente : a + b + c= 0 = a + b = -c = (a+b)^3 = (-c)^3 a^3 + 3(a^2)b + 3a(b^2) + b^3 = -c^3 a^3 + b^3 + c^3 = -3(a^2)b - 3a(b^2) a^3 + b^3 + c^3 = -3ab(a + b) como a + b = -c : a^3 + b^3 + c^3 = -3ab(-c) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 um outro legal, bem simples, na mesma linha de raciocinio : Se A + B CeD + E F entao ( A,B,C,D,E,F sao reais positivos ) : raiz_quad(A^2 + E^2) + raiz_quad(B^2 + D^2) raiz_quad(C^2 + F^2) From: Daniel Faria [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] a^3+b^3+c^3 = 3abc Date: Wed, 05 Nov 2003 03:06:56 -0200 MIME-Version: 1.0 X-Originating-IP: [200.173.170.47] X-Originating-Email: [EMAIL PROTECTED] Received: from mc2-f38.hotmail.com ([65.54.237.45]) by mc2-s6.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Tue, 4 Nov 2003 21:10:26 -0800 Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc2-f38.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Tue, 4 Nov 2003 21:09:12 -0800 Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id DAA29324for obm-l-MTTP; Wed, 5 Nov 2003 03:07:29 -0200 Received: from hotmail.com (bay8-f8.bay8.hotmail.com [64.4.27.8])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id CAA29320for [EMAIL PROTECTED]; Wed, 5 Nov 2003 02:07:28 -0300 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Tue, 4 Nov 2003 21:06:56 -0800 Received: from 200.173.170.47 by by8fd.bay8.hotmail.msn.com with HTTP;Wed, 05 Nov 2003 05:06:56 GMT X-Message-Info: HQbIehuYceSItGGrcCSeWiDHpA256mgG71rW/dGB/hs= Message-ID: [EMAIL PROTECTED] X-OriginalArrivalTime: 05 Nov 2003 05:06:56.0697 (UTC) FILETIME=[A29B3290:01C3A35A] Sender: [EMAIL PROTECTED] Precedence: bulk Return-Path: [EMAIL PROTECTED] Gostaria de tentar uma resoluçao sobre o enunciado, só que fazendo um caminho inverso: Dado a+b+c=0, quero chegar em a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0. Partindo de: a^3 + b^3 + c^3 - 3abc Farei a linha acima por determinante: a b c c a b b c a A soma de cada linha deste deteminante eh a+b+c que como jah eh sabido eh zero. logo o determinante acima eh igual a zero. Assim temos: a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 e a^3 + b^3 + c^3 = 3abc Por favor me corrijam se eu estiver errado. Obrigado. -- Mensagem original -- Ola pessoal, Depois de alguns meses afastado da lista e sem estudar matematica, pois estava estudando para um concurso e acabei de faze-lo. Agora eh esperar ansioso pelo resultado que sairah em menos de 2 semanas. Para nao ficar off-topic vou re-comecar a postar minhas duvidas. Vamos la: 1) Prove que se a + b + c = 0, entao a^3 + b^3 + c^3 = 3abc Obs: Como estou voltando agora, desculpem me se o problema for trivial. Preciso me desenferrujar aos poucos ;-) em matematica e pegar o ritmo de novo. -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] a^3+b^3+c^3 = 3abc
Uma variante interessante dessa expressao eh a fatoracao: a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc) Nao soh eh imediata a implicacao original, mas tambem se supusermos que a, b, c sao positivos, concluiremos que ambos os fatores do lado direito serao nao-negativos (com igualdade se e somente se a = b = c). Isso implica que a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0, com igualdade == a = b = c. Fazendo a^3 = x, b^3 = y e c^3 = z, obteremos: x + y + z - 3*(xyz)^(1/3) = 0 == (x + y + z)/3 = (xyz)^(1/3), com igualdade == x = y = z. Essa eh a demonstracao mais simples que eu conheco pro caso n = 3 desigualdade MA = MG. Um abraco, Claudio. on 05.11.03 10:21, Paulo Santa Rita at [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola Daniel e demais colegas desta lista ... OBM-L, Muito legal a prova por determinante. Vou tentar produzir uma prova diferente : a + b + c= 0 = a + b = -c = (a+b)^3 = (-c)^3 a^3 + 3(a^2)b + 3a(b^2) + b^3 = -c^3 a^3 + b^3 + c^3 = -3(a^2)b - 3a(b^2) a^3 + b^3 + c^3 = -3ab(a + b) como a + b = -c : a^3 + b^3 + c^3 = -3ab(-c) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 um outro legal, bem simples, na mesma linha de raciocinio : Se A + B CeD + E F entao ( A,B,C,D,E,F sao reais positivos ) : raiz_quad(A^2 + E^2) + raiz_quad(B^2 + D^2) raiz_quad(C^2 + F^2) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] a^3+b^3+c^3 = 3abc
Sua resoluçao esta certissima.Alias isto ja e meio famoso, mas que historia e essa de caminho inverso?Daniel Faria [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria de tentar uma resoluçao sobre o enunciado, só que fazendo um caminho inverso:Dado a+b+c=0,quero chegar ema^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0.Partindo de:a^3 + b^3 + c^3 - 3abcFarei a linha acima por determinante:a b cc a bb c aA soma de cada linha deste deteminante eh a+b+c que como jah eh sabido eh zero.logo o determinante acima eh igual a zero.Assim temos:a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0ea^3 + b^3 + c^3 = 3abcPor favor me corrijam se eu estiver errado.Obrigado.-- Mensagem original -- Ola pessoal, Depois de alguns meses afastado da lista e ssem estudar matematica, pois estava estudando para um concurso e acabei de faze-lo. Agora eh esperaransioso pelo resultado que sairah em menos de 2 semanas. Para nao ficar off-topic vou re-comecar a postar minhas duvidas. Vamos la: 1) Prove que se a + b + c = 0, entao a^3 + b^3 + c^3 = 3abc Obs: Como estou voltando agora, desculpem me se o problema for trivial. Preciso me desenferrujar aos poucos ;-) em matematica e pegar o ritmo de novo. --Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaaruol.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=_MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
[obm-l] a^3 + b^3 + c^3 = 3abc
Pensei numa outra forma: 1) a + b + c = 0 2) P( a , b , c ) = a^3 + b^3 + c^3 Considerando em (1) a=0, temos c=-b. Em (2): P( 0 , b , -b ) = 0^3 + b^3 + (-b)^3 = 0 Assim P é da forma: 3) P( a , b , c ) = ( K1) . a Considerando em (1) b=0, temos c=-a. Em (2): P( a , 0 , -a ) = a^3 + 0^3 + (-a)^3 = 0 Assim P é da forma: 4) P( a , b , c ) = ( K2) . b Considerando em (1) c=0, temos b=-a. Em (2): P( a , -a , 0 ) = a^3 + (-a)^3 + 0^3 = 0 Assim P é da forma: P( a , b , c ) = ( K3) . c Concluo por (3),(4) e (5) que: 6) P( a , b , c ) = k.a.b.c Substituo quaisquer valores nao nulos em a, b e c: pode ser (a = b = c = n ) 2) P( n , n , n ) = n^3 + n^3 + n^3 = 3n^3 6) P( n , n , n ) = k.n.n.n = kn^3 Logo K=3 P ( a , b , c ) = 3abc e finalmente: a^3 + b^3 + c^3 = 3abc _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] a^3+b^3+c^3 = 3abc
Gostaria de tentar uma resoluçao sobre o enunciado, só que fazendo um caminho inverso: Dado a+b+c=0, quero chegar em a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0. Partindo de: a^3 + b^3 + c^3 - 3abc Farei a linha acima por determinante: a b c c a b b c a A soma de cada linha deste deteminante eh a+b+c que como jah eh sabido eh zero. logo o determinante acima eh igual a zero. Assim temos: a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 e a^3 + b^3 + c^3 = 3abc Por favor me corrijam se eu estiver errado. Obrigado. -- Mensagem original -- Ola pessoal, Depois de alguns meses afastado da lista e sem estudar matematica, pois estava estudando para um concurso e acabei de faze-lo. Agora eh esperar ansioso pelo resultado que sairah em menos de 2 semanas. Para nao ficar off-topic vou re-comecar a postar minhas duvidas. Vamos la: 1) Prove que se a + b + c = 0, entao a^3 + b^3 + c^3 = 3abc Obs: Como estou voltando agora, desculpem me se o problema for trivial. Preciso me desenferrujar aos poucos ;-) em matematica e pegar o ritmo de novo. -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
