Re: [obm-l] alg-lin
Caros Artur e Felipe: O que voces disseram eh mais ou menos o que eu imaginava, mas da mesma forma que o Artur, eu nunca vi este ponto destacado em nenhum livro. De qualquer jeito, eh soh uma questao de definicao. Obrigado e um abraco, Claudio. on 02.12.03 03:13, Artur Coste Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: Boa noite. Embora nos livros que eu jah tive oportunidade de ver isto nao esteja categoricamente destacado, parece-me implicito que o(s) autovalor(es) de um operador devam estar no mesmo corpo sobre o qual o operador eh definido. Acho que isto eh de fato mais logico, pois a utilidade do conceito de autovalor estah diretamente ligada aa existencia dos autovetores. Dado que no seu exemplo o corpo do operador linear eh o conjunto dos reais, parece-me mais logico dizer que ele nao tem autovalores, da forma que, quando considerados sobre o corpo dos reais, o polinomio P(x) = x^2 - 2x + 2, assim como a funcao f(x) = e^x + 1, nao tem raizes. Se extendermos o corpo de definicao para os complexos, entao eh diferente. Parece-me tambem que consideracoes deste tipo sao gerais, estao restritas ao universo em que se trabalha. Por exemplo, se vc estah trabalhando com algoritmos de otimizacao, entao o conceito de solucao otima so faz sentido no universo que eh o conjunto das solucoes consideradas viaveis. Se algum vetor x maximiza ou minimiza sua funcao objetivo mas nao pertence ao conjunto viavel, entao ele nao eh solucao otima, pois sequer eh uma solucao. Abracos Artur Eu tenho uma duvida conceitual. A definicao de autovalor que o Fabio parece estar usando acima eh a de raiz do polinomio caracteristico do operador correspondente. Mas e se tivermos um operador sobre R^n cujo polinomio caracteristico tem apenas raizes complexas? Por exemplo, o operador T:R^2 - R^2 definido por T(x,y) = (x+y,-x+y) tem como polinomio caracteristico x^2 - 2x + 2, cujas raizes sao 1+i e 1-i. 1+i serah autovalor desse operador se existir algum vetor nao nulo (a,b) de R^2 tal que T(a,b) = (1+i)*(a,b), mas isso eh claramente impossivel. Entao eh correto dizer que T nao tem autovalores? Ou devemos dizer que os autovalores de T nao estao associados a nenhum autovetor? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] alg-lin
voce tem razão..eu errei.. a questão pedia exatamente isto:
prove que T e S "POSSUEM UM AUTOVETOR EM COMUM"Villard [EMAIL PROTECTED] wrote:
Você sempre tem um autovalor se considerar que seu espaço vetorial é complexo, aí sim são as raízes de det(A-x*I)=0.E o problema está errado... na verdade é "POSSUEM UM AUTOVETOR EM COMUM". Basta ver que I*0=0*I e 0 e I não possuem autovalores em comum. Prova:Considere o cunjunto U={v ; Sv=r*v} onder é um autovalor fixo de A. Veja que U ésubespaço invariante por T,pois se v estáem U, S(Tv)=T(Sv)=r*(Tv), logo Tv está em U. Então você pode considerar a restrição de T a U (uma transformação T`:U -U) que possui umautovetor vem U, tal que Tv=g*v e por definição de U, temos Sv=r*v, logo possuem um autovetor em comum.Abraços, Villard
- Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED]Para: "[EMAIL PROTECTED]" [EMAIL PROTECTED]
Re: [obm-l] alg-lin
Obrigado pela resposta. Foi muito esclarecedora. Eu perguntei isto porque, numa prova que fiz,havia a seguinte questão: Sejam T e S duas transformações lineares tais que TS = ST. Prove que T e S tem pelo menos um autovalor em comum. Na verdade haviam dois itens, mas o primeiro não influencia o segundo. Veja se estou certo ou errado. Se não posso garantir que Tou Stem autovalor, como vou tentar provar que, além disto, elas têm autovalor em comum? Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] wrote: From: "Guilherme Carlos Moreira e Silva" <[EMAIL PROTECTED]> É verdade que toda transformacao linear tem um subespaco invariante?Toda transformação linear do espaço em si mesmo L:E--E tem sempre doissubespaços invariantes: o espaço trivial só com o vetor zero e o espaçotodo. É verdade, também,, que toda transformação deste tipo possui umsupespeço invariante de dimensão 1 ou 2, se o corpo em questão é os reais; e1 se o corpo são os complexos. Existe diferenca entre subespaco invariante e autoespaco?Existe. Um autoespaço é o espaço associado a um autovalor. Todo autoespaço éinvariante, mas não vale a recíproca. Por exemplo a transformação L(x,y) =(-y,x) (rotação de 90 graus) não possui autoespaços, alem do trivial,contudo o R^2 é invariante por L.Abração,Duda. Desde já, grato pela atencao. __ Yahoo! Mail: 6MB, anti-spam e antivírus gratuito! Crie sua conta agora: http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
Re: [obm-l] alg-lin
On 12/01/03 13:12:42, Guilherme Carlos Moreira e Silva wrote: Obrigado pela resposta. Foi muito esclarecedora. Eu perguntei isto porque, numa prova que fiz, havia a seguinte questão: Sejam T e S duas transformações lineares tais que TS = ST. Prove que T e S tem pelo menos um autovalor em comum. Na verdade haviam dois itens, mas o primeiro não influencia o segundo. Veja se estou certo ou errado. Se não posso garantir que T ou S tem autovalor, como vou tentar provar que, além disto, elas têm autovalor em comum? [...] Toda transformação linear tem autovalores -- eles são as raízes de det(A - xI) = 0; só que eles não são necessariamente reais. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira GPG key ID: 6A539016BBF3190A (available at wwwkeys.pgp.net) pgp0.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] alg-lin
Toda transformação linear do espaço em si mesmo L:E--E tem sempre dois subespaços invariantes: o espaço trivial só com o vetor zero e o espaço todo. É verdade, também, que toda transformação deste tipo possui um supespeço invariante de dimensão 1 ou 2, se o corpo em questão é os reais; e 1 se o corpo são os complexos. Não seriam também Ker(L) e Im(L) dois exemplos de subespaços invariantes? Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] alg-lin
on 01.12.03 20:40, Fabio Dias Moreira at [EMAIL PROTECTED] wrote: On 12/01/03 13:12:42, Guilherme Carlos Moreira e Silva wrote: Obrigado pela resposta. Foi muito esclarecedora. Eu perguntei isto porque, numa prova que fiz, havia a seguinte questão: Sejam T e S duas transformações lineares tais que TS = ST. Prove que T e S tem pelo menos um autovalor em comum. Na verdade haviam dois itens, mas o primeiro não influencia o segundo. Veja se estou certo ou errado. Se não posso garantir que T ou S tem autovalor, como vou tentar provar que, além disto, elas têm autovalor em comum? [...] Toda transformação linear tem autovalores -- eles são as raízes de det(A - xI) = 0; só que eles não são necessariamente reais. []s, Eu tenho uma duvida conceitual. A definicao de autovalor que o Fabio parece estar usando acima eh a de raiz do polinomio caracteristico do operador correspondente. Mas e se tivermos um operador sobre R^n cujo polinomio caracteristico tem apenas raizes complexas? Por exemplo, o operador T:R^2 - R^2 definido por T(x,y) = (x+y,-x+y) tem como polinomio caracteristico x^2 - 2x + 2, cujas raizes sao 1+i e 1-i. 1+i serah autovalor desse operador se existir algum vetor nao nulo (a,b) de R^2 tal que T(a,b) = (1+i)*(a,b), mas isso eh claramente impossivel. Entao eh correto dizer que T nao tem autovalores? Ou devemos dizer que os autovalores de T nao estao associados a nenhum autovetor? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] alg-lin
Você sempre tem um autovalor se considerar que seu espaço
vetorial é complexo, aí sim são as raízes de det(A-x*I)=0.E o problema
está errado... na verdade é "POSSUEM UM AUTOVETOR EM COMUM". Basta ver que
I*0=0*I e 0 e I não possuem autovalores em comum. Prova:Considere o
cunjunto U={v ; Sv=r*v} onder é um autovalor fixo de A. Veja que U
ésubespaço invariante por T,pois se v estáem U,
S(Tv)=T(Sv)=r*(Tv), logo Tv está em U. Então você pode considerar a
restrição de T a U (uma transformação T`:U -U) que possui
umautovetor vem U, tal que Tv=g*v e por definição de U, temos
Sv=r*v, logo possuem um autovetor em comum.Abraços, Villard
- Mensagem Original De:
[EMAIL PROTECTED]Para: "[EMAIL PROTECTED]"
[EMAIL PROTECTED]Assunto: Re: [obm-l] alg-linData:
01/12/03 21:43on 01.12.03 20:40,
Fabio Dias Moreira at [EMAIL PROTECTED]wrote:
On 12/01/03 13:12:42, Guilherme Carlos Moreira e Silva
wrote: Obrigado pela resposta. Foi muito
esclarecedora. Eu perguntei isto porque, numa prova que fiz,
havia a seguinte questão: Sejam T e S
duas transformações lineares tais que TS = ST. Prove que T e S
tem pelo menos um autovalor em comum. Na verdade
haviam dois itens, mas o primeiro não influencia o
segundo. Veja se estou certo ou errado. Se não posso garantir
que T ou S tem autovalor, como vou tentar provar que, além
disto, elas têm autovalor em comum?
[...] Toda transformação linear tem autovalores -- eles são
as raízes de det(A - xI) = 0; só que eles não são necessariamente
reais. []s,Eu tenho uma duvida conceitual. A
definicao de autovalor que o Fabio pareceestar usando acima eh a de raiz
do polinomio caracteristico do operadorcorrespondente. Mas e se tivermos
um operador sobre R^n cujo polinomiocaracteristico tem apenas raizes
complexas?Por exemplo, o operador T:R^2 - R^2 definido por T(x,y) =
(x+y,-x+y) temcomo polinomio caracteristico x^2 - 2x + 2, cujas raizes
sao 1+i e 1-i.1+i serah autovalor desse operador se existir algum vetor
nao nulo (a,b) deR^2 tal que T(a,b) = (1+i)*(a,b), mas isso eh
claramente impossivel. Entaoeh correto dizer que T nao tem autovalores?
Ou devemos dizer que osautovalores de T nao estao associados a nenhum
autovetor?Um
abraco,Claudio.=Instruções
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] alg-lin
Eu tenho uma duvida conceitual. A definicao de autovalor que o Fabio parece estar usando acima eh a de raiz do polinomio caracteristico do operador correspondente. Mas e se tivermos um operador sobre R^n cujo polinomio caracteristico tem apenas raizes complexas? Por exemplo, o operador T:R^2 - R^2 definido por T(x,y) = (x+y,-x+y) tem como polinomio caracteristico x^2 - 2x + 2, cujas raizes sao 1+i e 1-i. 1+i serah autovalor desse operador se existir algum vetor nao nulo (a,b) de R^2 tal que T(a,b) = (1+i)*(a,b), mas isso eh claramente impossivel. Entao eh correto dizer que T nao tem autovalores? Ou devemos dizer que os autovalores de T nao estao associados a nenhum autovetor? Um abraco, Claudio. Oi Claudio, Se você considera R^2 como espaço vetorial sobre R, T não tem autovalores. Como você mesmo observou, x^2 - 2x + 2 não possui raízes reais. O único problema é que você roubou ao olhar para o conjunto dos complexos... Autovalores são elementos do corpo que você associou ao espaço vetorial.Tá vendo, quem mandou você escolher um corpo ruim!!! Se você não escolheu um corpo K algebricamente fechado, claramente terá problemas ao considerar as transformações lineares de K^n em K^n ( K^n E.V. sobre K ). Dizer que os autovalores de T não estão associados a nenhum autovetor não faz sentido. V espaço vetorial sobre o corpo K. T : V - V linear Caso exista x em K tal que ( T - xI ) seja não-injetora, dizemos que x é autovalor de T. Sabemos que ( T - xI ) é não-injetora = existe um vetor v não-nulo tal que ( T - xI )v = 0. Daí v é dito autovetor associado a x. Este =, na verdade, é herdado lá dos grupos... G grupo, f : G - G homomorfismo. Então f é injetora = ker(f) é trivial (somente o elemento identidade) Eu sei que você já sabe tudo isso, mas acredito que será útil para alguém ! -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] alg-lin
On 12/01/03 21:42:42, Henrique Patrício Sant'Anna Branco wrote:
Toda transformação linear do espaço em si mesmo L:E--E tem sempre
dois
subespaços invariantes: o espaço trivial só com o vetor zero e o
espaço
todo. É verdade, também, que toda transformação deste tipo possui
um
supespeço invariante de dimensão 1 ou 2, se o corpo em questão é os
reais;
e
1 se o corpo são os complexos.
Não seriam também Ker(L) e Im(L) dois exemplos de subespaços
invariantes?
[...]
L(Ker(L)) = {0}, por definição de Ker(L).
Tome L: R^2 - R^2; (x, y) |- (y, 0). Então Im(L) = {(a, 0), a real},
mas L(Im(L)) = {(0, 0)}, já que Im(L) == Ker(L).
[]s,
--
Fábio ctg \pi Dias Moreira
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RE: [obm-l] alg-lin
Boa noite. Embora nos livros que eu jah tive oportunidade de ver isto nao esteja categoricamente destacado, parece-me implicito que o(s) autovalor(es) de um operador devam estar no mesmo corpo sobre o qual o operador eh definido. Acho que isto eh de fato mais logico, pois a utilidade do conceito de autovalor estah diretamente ligada aa existencia dos autovetores. Dado que no seu exemplo o corpo do operador linear eh o conjunto dos reais, parece-me mais logico dizer que ele nao tem autovalores, da forma que, quando considerados sobre o corpo dos reais, o polinomio P(x) = x^2 - 2x + 2, assim como a funcao f(x) = e^x + 1, nao tem raizes. Se extendermos o corpo de definicao para os complexos, entao eh diferente. Parece-me tambem que consideracoes deste tipo sao gerais, estao restritas ao universo em que se trabalha. Por exemplo, se vc estah trabalhando com algoritmos de otimizacao, entao o conceito de solucao otima so faz sentido no universo que eh o conjunto das solucoes consideradas viaveis. Se algum vetor x maximiza ou minimiza sua funcao objetivo mas nao pertence ao conjunto viavel, entao ele nao eh solucao otima, pois sequer eh uma solucao. Abracos Artur Eu tenho uma duvida conceitual. A definicao de autovalor que o Fabio parece estar usando acima eh a de raiz do polinomio caracteristico do operador correspondente. Mas e se tivermos um operador sobre R^n cujo polinomio caracteristico tem apenas raizes complexas? Por exemplo, o operador T:R^2 - R^2 definido por T(x,y) = (x+y,-x+y) tem como polinomio caracteristico x^2 - 2x + 2, cujas raizes sao 1+i e 1-i. 1+i serah autovalor desse operador se existir algum vetor nao nulo (a,b) de R^2 tal que T(a,b) = (1+i)*(a,b), mas isso eh claramente impossivel. Entao eh correto dizer que T nao tem autovalores? Ou devemos dizer que os autovalores de T nao estao associados a nenhum autovetor? Um abraco, Claudio. === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
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Re: [obm-l] alg-lin
From: Guilherme Carlos Moreira e Silva [EMAIL PROTECTED] É verdade que toda transformacao linear tem um subespaco invariante? Toda transformação linear do espaço em si mesmo L:E--E tem sempre dois subespaços invariantes: o espaço trivial só com o vetor zero e o espaço todo. É verdade, também, que toda transformação deste tipo possui um supespeço invariante de dimensão 1 ou 2, se o corpo em questão é os reais; e 1 se o corpo são os complexos. Existe diferenca entre subespaco invariante e autoespaco? Existe. Um autoespaço é o espaço associado a um autovalor. Todo autoespaço é invariante, mas não vale a recíproca. Por exemplo a transformação L(x,y) = (-y,x) (rotação de 90 graus) não possui autoespaços, alem do trivial, contudo o R^2 é invariante por L. Abração, Duda. Desde já, grato pela atencao. __ Yahoo! Mail: 6MB, anti-spam e antivírus gratuito! Crie sua conta agora: http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
