Re: [obm-l] cos(2*pi/17)
On Thu, Aug 25, 2005 at 01:19:04AM -0300, Jefferson Franca wrote: Nem vou perguntar de onde tirou essa idéia, mas valeu pela solução. Em um curso de álgebra que cubra teoria de Galois este tipo de coisa é explicada com mais contexto. Eu dei um esboço rápido e elementar. Aliás, todos estes prove que são braçais. Para isso, tome a = cos(2*pi/17) + i sen(2*pi/17) de tal forma que xk = a^k + a^(17-k). Expanda tudo em termos de a, use o fato que 1+a+a^2+...+a^16 = 0, faça muitas contas com polinômios com coeficientes inteiros e tudo segue. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] cos(2*pi/17)
Bem, se eu nao me engano foi mais ou menos esta a ideia de Gauss. --- Jefferson Franca [EMAIL PROTECTED] escreveu: Nem vou perguntar de onde tirou essa idéia, mas valeu pela solução. Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu:On Mon, Aug 22, 2005 at 01:26:34PM -0300, Jefferson Franca wrote: Como posso calcular o cosseno de 2pi/17 ? Vou dar só um esboço e a resposta. Defina x1, x2, ..., x8 como xk = 2*cos(2*k*pi/17). Prove que w1=x1+x2+x4+x8 e w2=x3+x5+x6+x7 são as raízes de w^2+w-4, donde w1 = (-1+sqrt(17))/2, w2 = (-1-sqrt(17))/2. Sejam z1=x1+x4 e z2=x2+x8. Prove que z1*z2 = -1. Como z1+z2=w1, conclua que z1 = (-1+sqrt(17)+sqrt(34-2*sqrt(17)))/4, z2 = (-1+sqrt(17)-sqrt(34-2*sqrt(17)))/4. Sejam y1=x1*x4, y2=x2*x8, y3=x3*x5, y4=x6*x7. Prove que y1*y2=-1. Sejam u1=y1+y2, u2=y3+y4. Prove que u1 e u2 são raízes de u^2+u-4 donde u1=w2, u2=w1. Conclua que y1 e y2 são raízes de y^2 - u1*y - 1, donde y1 = (-1-sqrt(17)+sqrt(34+2*sqrt(17)))/4, y2 = (-1-sqrt(17)-sqrt(34+2*sqrt(17)))/4. Como conhecemos os valores de z1=x1+x4 e y1=x1*x4, fica fácil obter x1. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] cos(2*pi/17)
Ola Carissimo Prof Nicolau e demais colegas desta lista ... OBM-L, Em verdade, nao e so o poligono regular de 17 lados que e estranhamente construtivel. Um poligono de N lados e construtivel ( com regua e compasso ) se fi(N) for uma potencia de dois, vale dizer, se N=(2^k)*p1*p2*..*ps, onde os pi's sao primos de Fermat. Um Primo de Fermat e um numero primo da forma (2^(2^m)) + 1. Exemplos destes primos sao 3, 5, 17, 257 etc. Note que dai conclui-se que o poligono regular de 257 lados e construtivel. Em teoria de Galois isto e mais facilmente compreenssivel. Um Abraco Paulo Santa Rita 5,1050,250805 From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] cos(2*pi/17) Date: Thu, 25 Aug 2005 10:13:13 -0300 On Thu, Aug 25, 2005 at 01:19:04AM -0300, Jefferson Franca wrote: Nem vou perguntar de onde tirou essa idéia, mas valeu pela solução. Em um curso de álgebra que cubra teoria de Galois este tipo de coisa é explicada com mais contexto. Eu dei um esboço rápido e elementar. Aliás, todos estes prove que são braçais. Para isso, tome a = cos(2*pi/17) + i sen(2*pi/17) de tal forma que xk = a^k + a^(17-k). Expanda tudo em termos de a, use o fato que 1+a+a^2+...+a^16 = 0, faça muitas contas com polinômios com coeficientes inteiros e tudo segue. []s, N. _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] cos(2*pi/17)
Mais uma vez , eu agradeço a ajuda e agora acho que posso dormir em paz, mesmo depois do árduo trabalho que terei para resolver esta questão. Valeu"Nicolau C. Saldanha" [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Thu, Aug 25, 2005 at 01:19:04AM -0300, Jefferson Franca wrote: Nem vou perguntar de onde tirou essa idéia, mas valeu pela solução.Em um curso de álgebra que cubra teoria de Galois este tipo de coisaé explicada com mais contexto. Eu dei um esboço rápido e elementar.Aliás, todos estes "prove que" são braçais. Para isso, tomea = cos(2*pi/17) + i sen(2*pi/17) de tal forma quexk = a^k + a^(17-k). Expanda tudo em termos de a, use o fatoque 1+a+a^2+...+a^16 = 0, faça muitas contas com polinômioscom coeficientes inteiros e tudo segue.[]s, N.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
Re: [obm-l] cos(2*pi/17)
Nem vou perguntar de onde tirou essa idéia, mas valeu pela solução."Nicolau C. Saldanha" [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Mon, Aug 22, 2005 at 01:26:34PM -0300, Jefferson Franca wrote: Como posso calcular o cosseno de 2pi/17 ?Vou dar só um esboço e a resposta.Defina x1, x2, ..., x8 como xk = 2*cos(2*k*pi/17).Prove que w1=x1+x2+x4+x8 e w2=x3+x5+x6+x7 são as raízes de w^2+w-4,donde w1 = (-1+sqrt(17))/2, w2 = (-1-sqrt(17))/2.Sejam z1=x1+x4 e z2=x2+x8. Prove que z1*z2 = -1. Como z1+z2=w1, conclua quez1 = (-1+sqrt(17)+sqrt(34-2*sqrt(17)))/4,z2 = (-1+sqrt(17)-sqrt(34-2*sqrt(17)))/4.Sejam y1=x1*x4, y2=x2*x8, y3=x3*x5, y4=x6*x7. Prove que y1*y2=-1.Sejam u1=y1+y2, u2=y3+y4.Prove que u1 e u2 são raízes de u^2+u-4 donde u1=w2, u2=w1.Conclua que y1 e y2 são raízes de y^2 - u1*y - 1, dondey1 = (-1-sqrt(17)+sqrt(34+2*sqrt(17)))/4,y2 = (-1-sqrt(17)-sqrt(34+2*sqrt(17)))/4.Como conhecemos os valores de z1=x1+x4 e y1=x1*x4,! fica fácil obter x1.[]s, N.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] cos(2*pi/17)
On Mon, Aug 22, 2005 at 01:26:34PM -0300, Jefferson Franca wrote: Como posso calcular o cosseno de 2pi/17 ? Vou dar só um esboço e a resposta. Defina x1, x2, ..., x8 como xk = 2*cos(2*k*pi/17). Prove que w1=x1+x2+x4+x8 e w2=x3+x5+x6+x7 são as raízes de w^2+w-4, donde w1 = (-1+sqrt(17))/2, w2 = (-1-sqrt(17))/2. Sejam z1=x1+x4 e z2=x2+x8. Prove que z1*z2 = -1. Como z1+z2=w1, conclua que z1 = (-1+sqrt(17)+sqrt(34-2*sqrt(17)))/4, z2 = (-1+sqrt(17)-sqrt(34-2*sqrt(17)))/4. Sejam y1=x1*x4, y2=x2*x8, y3=x3*x5, y4=x6*x7. Prove que y1*y2=-1. Sejam u1=y1+y2, u2=y3+y4. Prove que u1 e u2 são raízes de u^2+u-4 donde u1=w2, u2=w1. Conclua que y1 e y2 são raízes de y^2 - u1*y - 1, donde y1 = (-1-sqrt(17)+sqrt(34+2*sqrt(17)))/4, y2 = (-1-sqrt(17)-sqrt(34+2*sqrt(17)))/4. Como conhecemos os valores de z1=x1+x4 e y1=x1*x4, fica fácil obter x1. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
