Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Olá Luís! Gostaria de receber o pdf também. Obrigado! On 4/24/08, Luís Lopes [EMAIL PROTECTED] wrote: Sauda,c~oes, Primeiramente gostaria de me dirigir ao Nicolau. Não sei o que acontece mas recebo normalmente as mensagens da lista pelo email [EMAIL PROTECTED]. Entretanto, todas as mensagens que tento mandar para a lista voltam, (usando o [EMAIL PROTECTED]), como se houvesse um filtro bloqueando tal usuário. Você saberia me dizer o que está acontecendo? Oi Artur, outros interessados na mensagem deste assunto, O professor Rousseau me mandou um pdf com a solução (bem difícil) deste limite. Posso mandá-lo para os que quiserem vê-la. []'s Luís From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Date: Tue, 8 Apr 2008 17:41:45 -0300 Subject: RES: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Achei um link sobre este limite. Estou tentando entender http://www.whim.org/nebula/math/gammaratio.html Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Henrique
Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Olá Luís! Gostaria de receber o pdf também. Obrigado! Fernando Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Luís! Gostaria de receber o pdf também. Obrigado! On 4/24/08, Luís Lopes [EMAIL PROTECTED] wrote: Sauda,c~oes, Primeiramente gostaria de me dirigir ao Nicolau. Não sei o que acontece mas recebo normalmente as mensagens da lista pelo email [EMAIL PROTECTED]. Entretanto, todas as mensagens que tento mandar para a lista voltam, (usando o [EMAIL PROTECTED]), como se houvesse um filtro bloqueando tal usuário. Você saberia me dizer o que está acontecendo? Oi Artur, outros interessados na mensagem deste assunto, O professor Rousseau me mandou um pdf com a solução (bem difícil) deste limite. Posso mandá-lo para os que quiserem vê-la. []'s Luís From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Date: Tue, 8 Apr 2008 17:41:45 -0300 Subject: RES: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Achei um link sobre este limite. Estou tentando entender http://www.whim.org/nebula/math/gammaratio.html Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Henrique - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Pode mandar uma cópia pra mim tbm? A. Citando Fernando Reis [EMAIL PROTECTED]: Olá Luís! Gostaria de receber o pdf também. Obrigado! Fernando Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Luís! Gostaria de receber o pdf também. Obrigado! On 4/24/08, Luís Lopes [EMAIL PROTECTED] wrote: Sauda,c~oes, Primeiramente gostaria de me dirigir ao Nicolau. Não sei o que acontece mas recebo normalmente as mensagens da lista pelo email [EMAIL PROTECTED]. Entretanto, todas as mensagens que tento mandar para a lista voltam, (usando o [EMAIL PROTECTED]), como se houvesse um filtro bloqueando tal usuário. Você saberia me dizer o que está acontecendo? Oi Artur, outros interessados na mensagem deste assunto, O professor Rousseau me mandou um pdf com a solução (bem difícil) deste limite. Posso mandá-lo para os que quiserem vê-la. []'s Luís From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Date: Tue, 8 Apr 2008 17:41:45 -0300 Subject: RES: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Achei um link sobre este limite. Estou tentando entender http://www.whim.org/nebula/math/gammaratio.html Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Henrique - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! -- Arlane Manoel S Silva Departamento de Matemática Instituto de Matemática e Estatística-USP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Sauda,c~oes, Respondendo ao Rogerio Ponce mandei para muitos outros em BCC o arquivo pdf com a solução do limite. Quem pediu o arquivo e não recebeu favor escrever novamente. Boa leitura. []'s Luís = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Olá Luís, também gostaria da solução! obrigado, abraços, Salhab On Fri, Apr 25, 2008 at 2:07 PM, Luís Lopes [EMAIL PROTECTED] wrote: Sauda,c~oes, Respondendo ao Rogerio Ponce mandei para muitos outros em BCC o arquivo pdf com a solução do limite. Quem pediu o arquivo e não recebeu favor escrever novamente. Boa leitura. []'s Luís = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Oi Luís, Eu também gostaria de receber!! Obrigado, João Luís - Original Message - From: Luís Lopes [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, April 25, 2008 2:07 PM Subject: Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Sauda,c~oes, Respondendo ao Rogerio Ponce mandei para muitos outros em BCC o arquivo pdf com a solução do limite. Quem pediu o arquivo e não recebeu favor escrever novamente. Boa leitura. []'s Luís = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Ola' pessoal,
(repassando o material que o Luis Lopes me mandou...)
Vou utilizar as seguintes convencoes para Somatorio, Integral e Limite:
Sum{k:1,n}{k} = n*(n+1)/2
Int{0,a}{t*dt} = a**2/2
Lim{n-oo}{1/n} = 0
Assim, o problema e' provar que
Lim{n-oo}{ e**-n * Sum{k:0,n}{n**k/k!} } = 1/2
Por integracao elementar, sabemos que, para r=1,
1/r! * Int{0,L}{ t**r * e**-t * dt } =
-1/r! * L**r * e**-L +
1/(r-1)! * Int{0,L}{ t**(r-1) * e**-t * dt }
Repare que a 2a parcela pode ser novamente desmembrada,
de forma que o termo em r seja sucessivamente reduzido,
formando uma serie de integrais.
Repare tambem que (este aqui correspondera' ao ultimo termo desta serie)
Int{0,L}{ e**-t * dt } = 1 - e**-L
Assim, podemos reescrever aquela expressao da seguinte forma:
1/r! * Int{0,L}{ t**r * e**-t * dt } =
1 - e**-L * Sum{k:0,r}{ L**k / k! }
Fazendo r=L=n obtemos (repare que e' a expressao que queremos avaliar)
e**-n * Sum{k:0,n}{n**k/k!} =
1 - 1/n! * Int{0,n}{ t**n * e**-t * dt }
Para calular essa integral, substituimos t=n*(1+u), conseguindo:
Int{0,n}{ t**n * e**-t * dt} =
Int{-1,0}{ e**[n*(log n + log(1+u) - (1+u))] * n * du } =
n * (n/e)**n * Int{-1,0}{ e**[n * (log(1+u) - u)] * du }
Aplicando o metodo de Laplace (argumentos assintoticos) sobre a ultima
integral, vemos que
Int{-1,0}{ e**[n * (log(1+u) - u)] * du } ~
Int{-oo,0}{ e**[-n * u**2 / 2 ] * du } =
sqrt(2*pi/n) / 2
Logo,
Int{0,n}{ t**n * e**-t * dt} ~
(n/e)**n * sqrt(2*pi*n) / 2 =
n!/2 (Stirling)
Portanto,
Lim{n-oo}{ e**-n * Sum{k:0,n}{n**k/k!} } =
1 - 1/n! * n!/2 = 1/2
CQD
[]'s
Rogerio Ponce
PS: Sugiro a leitura de
http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_steepest_descent
2008/4/2 Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]:
Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias soluções,
mas não deu certo.
Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma integral, mas não
consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é aplicar o
teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1. Também não
consegui ver como.
Alguem tem alguma sugestao?
Abracos
Artur
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Sauda,c~oes, Primeiramente gostaria de me dirigir ao Nicolau. Não sei o que acontece mas recebo normalmente as mensagens da lista pelo email [EMAIL PROTECTED]. Entretanto, todas as mensagens que tento mandar para a lista voltam, (usando o [EMAIL PROTECTED]), como se houvesse um filtro bloqueando tal usuário. Você saberia me dizer o que está acontecendo? Oi Artur, outros interessados na mensagem deste assunto, O professor Rousseau me mandou um pdf com a solução (bem difícil) deste limite. Posso mandá-lo para os que quiserem vê-la. []'s Luís From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Date: Tue, 8 Apr 2008 17:41:45 -0300 Subject: RES: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Achei um link sobre este limite. Estou tentando entender http://www.whim.org/nebula/math/gammaratio.html Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RES: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Eu gostaria de receber, por favor. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Luís Lopes Enviada em: quinta-feira, 24 de abril de 2008 14:52 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Sauda,c~oes, Primeiramente gostaria de me dirigir ao Nicolau. Não sei o que acontece mas recebo normalmente as mensagens da lista pelo email [EMAIL PROTECTED]. Entretanto, todas as mensagens que tento mandar para a lista voltam, (usando o [EMAIL PROTECTED]), como se houvesse um filtro bloqueando tal usuário. Você saberia me dizer o que está acontecendo? Oi Artur, outros interessados na mensagem deste assunto, O professor Rousseau me mandou um pdf com a solução (bem difícil) deste limite. Posso mandá-lo para os que quiserem vê-la. []'s Luís From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Date: Tue, 8 Apr 2008 17:41:45 -0300 Subject: RES: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Achei um link sobre este limite. Estou tentando entender http://www.whim.org/nebula/math/gammaratio.html Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Ola' Luis, por favor, mande para mim tambem. Obrigado! []'s Rogerio Ponce 2008/4/24 Luís Lopes [EMAIL PROTECTED]: Sauda,c~oes, Primeiramente gostaria de me dirigir ao Nicolau. Não sei o que acontece mas recebo normalmente as mensagens da lista pelo email [EMAIL PROTECTED]. Entretanto, todas as mensagens que tento mandar para a lista voltam, (usando o [EMAIL PROTECTED]), como se houvesse um filtro bloqueando tal usuário. Você saberia me dizer o que está acontecendo? Oi Artur, outros interessados na mensagem deste assunto, O professor Rousseau me mandou um pdf com a solução (bem difícil) deste limite. Posso mandá-lo para os que quiserem vê-la. []'s Luís = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Olá Luís, Estava acompanhando a discussão e me interessei pelo limite, poderia me enviar o PDF? Muito grato. On Thu, 24 Apr 2008 14:51:34 -0300 Luís Lopes [EMAIL PROTECTED] wrote: Sauda,c~oes, Primeiramente gostaria de me dirigir ao Nicolau. Não sei o que acontece mas recebo normalmente as mensagens da lista pelo email [EMAIL PROTECTED]. Entretanto, todas as mensagens que tento mandar para a lista voltam, (usando o [EMAIL PROTECTED]), como se houvesse um filtro bloqueando tal usuário. Você saberia me dizer o que está acontecendo? Oi Artur, outros interessados na mensagem deste assunto, O professor Rousseau me mandou um pdf com a solução (bem difícil) deste limite. Posso mandá-lo para os que quiserem vê-la. []'s Luís From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Date: Tue, 8 Apr 2008 17:41:45 -0300 Subject: RES: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Achei um link sobre este limite. Estou tentando entender http://www.whim.org/nebula/math/gammaratio.html Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Click to learn about options trading and get the latest information. http://ads.lavabit.com/fc/Ioyw6kdcX7rD4EJnUhmYdopazqKuzxMG5AAodaCJCXjz3rzs06MFmH/ -- Vitor Tomita [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Ola carissimo Artur e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Artur, aqui vai uma ideia que passo pra voce analisar :
Seja Xn = 1 + N + ( (N^2)/2!) + ( (N^3)/3!) + ... + ((N^N)/N!). Entao
e^N = Xn + RL, onde
RL e o RESTO DE LAGRANGE. Segue daqui o seguinte :
Xn/(e^N) = 1 - ((RL)/(e^N)) = LIM Xn/(e^N) = 1 - LIM ((RL)/(e^N))
Um Estudo do LIM ((RL)/(e^N)) mais as propriedade de Y(X)=e^X resolve a questao.
EM TEMPO : Seria INTERESSANTE um estudo geral dos limites de expressoes como
esta, onde temos um quociente entre uma funcao, considerada somente em
seus valores
naturais, e a sua serie de Taylor, tambem considerada somente em
pontos naturais.
Um Abracao a Todos
Paulo Santa Rita
3,080A,080408
2008/4/7 Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]:
Gostei do argumento!
Vou pensar na questao do meio da serie. De imediato, nao sei.
Abracos
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa
Enviada em: sábado, 5 de abril de 2008 03:48
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n +
(n^2)/2!...+(n^n)/n!)
O difícil desse argumento é a famosa convergência uniforme. Eu acho
(como uma certa metade das pessoas que responderam aqui) que não está
certo, um pouco pelo fato de parecer meio roubado pegar o limite
assim. Usando umas coisas que eu escrevi na minha mensagem um pouco
acima (ou abaixo, dependendo do que você usa), note que os termos
importantes da soma estão no meio da série... e a gente truncou !
Vou tentar explicar (além do mais, acabei de ver que isso dá quase uma
prova de que a resposta é 1/2 ) :
Os termos a_k = n^k/k! (que é o que a gente soma) são crescentes até o
n^(n-1)/(n-1)! = n^n/n!. Antes, o quociente entre o a_(n-k) e
a_(n-k+1) é (n-k)/n = 1 - k/n. Depois, o quociente entre a_(n+k+1) e
a_(n+k) é n/(n+k+1) = 1 - (k+1)/(n+k+1).
Se a gente fosse arrumar isso num triângulo como na minha primeira
mensagem, depois de dividir por n^n/n!, fica :
(1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n)...(1/n)
+ ...
+ (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n)
+ (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)
+ (1 - 1/n )(1 - 2/n )
+ (1 - 1/n )
+ 1 + 1 ( os termos do meio n^n/n! = n^(n-1)/(n-1)! )
+ (1 - 1/(n+1) )
+ (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )
+ (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )(1 - 3/(n+3) )
+ (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )(1 - 3/(n+3) )(1 - 4/(n+4) )
+ ...
Note que quando n - inf, os termos de cada lado do 1+1 convergem pra
1 (de forma não uniforme) mas ainda mais, os de baixo convergem para
os de cima mais rápido ainda (não tenho muito tempo para detalhar
isso). Ou seja, se pararmos de somar no termo k = n^alpha com alpha
perto de 1 mas menor do que 1, temos uma convergência dos termos
depois aos termos antes do meio e com isso dá pra ver que na
verdade a gente só tem metade da série que realmente contribui para
e^n até os n primeiros termos (é aí que entra a tal história da
convergência uniforme, a gente precisa cada vez mais de termos para a
soma dar certo : com n fixo, a gente consegue majorar a soma por uma
PG de razão n/(n+1) a partir do primeiro termo depois, mas veja que
tanto a razão quanto o termo que a gente majora tendem pro lugar
errado com n - infinito). Faça as contas com n = 1,2,3, para ver como
os termos se comportam nessa série, é bem legal (e se você tiver maple
/ mathematica / matlab / scilab / octave / ... veja com n = 20 e em
torno!)
Artur : você acha que dá pra tentar formalizar essa idéia do meio da série
?
Rogério : passo a bola pra você me convencer !
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
2008/4/5 Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED]:
Oi Marcelo,
quando voces quiserem repetir a dose, e' so' avisar - e juro que o
Nehab tambem vai :-)
Bem, voltando 'a vaca fria, vou explicar um pouquinho melhor o que eu
vejo.
A questao original e' calcular
lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Repare que o segundo fator corresponde aos n primeiros termos da
expansao de Taylor para e^n.
O que eu sustento e' que, quando n vai para infinito, o segundo
fator passa a ser EXATAMENTE a expansao de Taylor para e^n. E neste
ponto, tanto faz que o n desse tal fator e^n esteja no infinito ou
nao, porque ele se anula com o -n do primeiro fator e^(-n).
Em outras palavras, a expressao valera' e^(-n) * e^(n) = 1 ,
simplesmente porque aquele segundo termo alcancou o valor de e^n.
Nunca estive preocupado com o valor do numerador de cada parcela, mas
apenas com o numero de parcelas da segundo termo. A partir dai e' que
estabeleco que o limite vale 1.
Grande abraco,
Rogerio Ponce.
Em 04/04/08, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá Ponce, quanto tempo...
eu penso um pouco diferente, vejamos:
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... = lim {u-inf} Sum{k=0 .. u} x^k
RES: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Eu tentei por aí, mas não deu certo. usi a fórmula de Stirling. Abracos Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Paulo Santa Rita Enviada em: terça-feira, 8 de abril de 2008 08:17 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Ola carissimo Artur e demais colegas desta lista ... OBM-L, Artur, aqui vai uma ideia que passo pra voce analisar : Seja Xn = 1 + N + ( (N^2)/2!) + ( (N^3)/3!) + ... + ((N^N)/N!). Entao e^N = Xn + RL, onde RL e o RESTO DE LAGRANGE. Segue daqui o seguinte : Xn/(e^N) = 1 - ((RL)/(e^N)) = LIM Xn/(e^N) = 1 - LIM ((RL)/(e^N)) Um Estudo do LIM ((RL)/(e^N)) mais as propriedade de Y(X)=e^X resolve a questao. EM TEMPO : Seria INTERESSANTE um estudo geral dos limites de expressoes como esta, onde temos um quociente entre uma funcao, considerada somente em seus valores naturais, e a sua serie de Taylor, tambem considerada somente em pontos naturais. Um Abracao a Todos Paulo Santa Rita 3,080A,080408 2008/4/7 Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]: Gostei do argumento! Vou pensar na questao do meio da serie. De imediato, nao sei. Abracos Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa Enviada em: sábado, 5 de abril de 2008 03:48 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) O difícil desse argumento é a famosa convergência uniforme. Eu acho (como uma certa metade das pessoas que responderam aqui) que não está certo, um pouco pelo fato de parecer meio roubado pegar o limite assim. Usando umas coisas que eu escrevi na minha mensagem um pouco acima (ou abaixo, dependendo do que você usa), note que os termos importantes da soma estão no meio da série... e a gente truncou ! Vou tentar explicar (além do mais, acabei de ver que isso dá quase uma prova de que a resposta é 1/2 ) : Os termos a_k = n^k/k! (que é o que a gente soma) são crescentes até o n^(n-1)/(n-1)! = n^n/n!. Antes, o quociente entre o a_(n-k) e a_(n-k+1) é (n-k)/n = 1 - k/n. Depois, o quociente entre a_(n+k+1) e a_(n+k) é n/(n+k+1) = 1 - (k+1)/(n+k+1). Se a gente fosse arrumar isso num triângulo como na minha primeira mensagem, depois de dividir por n^n/n!, fica : (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n)...(1/n) + ... + (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n) + (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n) + (1 - 1/n )(1 - 2/n ) + (1 - 1/n ) + 1 + 1 ( os termos do meio n^n/n! = n^(n-1)/(n-1)! ) + (1 - 1/(n+1) ) + (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) ) + (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )(1 - 3/(n+3) ) + (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )(1 - 3/(n+3) )(1 - 4/(n+4) ) + ... Note que quando n - inf, os termos de cada lado do 1+1 convergem pra 1 (de forma não uniforme) mas ainda mais, os de baixo convergem para os de cima mais rápido ainda (não tenho muito tempo para detalhar isso). Ou seja, se pararmos de somar no termo k = n^alpha com alpha perto de 1 mas menor do que 1, temos uma convergência dos termos depois aos termos antes do meio e com isso dá pra ver que na verdade a gente só tem metade da série que realmente contribui para e^n até os n primeiros termos (é aí que entra a tal história da convergência uniforme, a gente precisa cada vez mais de termos para a soma dar certo : com n fixo, a gente consegue majorar a soma por uma PG de razão n/(n+1) a partir do primeiro termo depois, mas veja que tanto a razão quanto o termo que a gente majora tendem pro lugar errado com n - infinito). Faça as contas com n = 1,2,3, para ver como os termos se comportam nessa série, é bem legal (e se você tiver maple / mathematica / matlab / scilab / octave / ... veja com n = 20 e em torno!) Artur : você acha que dá pra tentar formalizar essa idéia do meio da série ? Rogério : passo a bola pra você me convencer ! Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2008/4/5 Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED]: Oi Marcelo, quando voces quiserem repetir a dose, e' so' avisar - e juro que o Nehab tambem vai :-) Bem, voltando 'a vaca fria, vou explicar um pouquinho melhor o que eu vejo. A questao original e' calcular lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Repare que o segundo fator corresponde aos n primeiros termos da expansao de Taylor para e^n. O que eu sustento e' que, quando n vai para infinito, o segundo fator passa a ser EXATAMENTE a expansao de Taylor para e^n. E neste ponto, tanto faz que o n desse tal fator e^n esteja no infinito ou nao, porque ele se anula com o -n do primeiro fator e^(-n). Em outras palavras, a expressao valera' e^(-n) * e^(n) = 1 , simplesmente porque aquele segundo termo alcancou o valor de e^n. Nunca estive preocupado com o valor do numerador de cada parcela, mas apenas com o numero de parcelas da segundo termo
RES: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Achei um link sobre este limite. Estou tentando entender http://www.whim.org/nebula/math/gammaratio.html Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RES: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Gostei do argumento!
Vou pensar na questao do meio da serie. De imediato, nao sei.
Abracos
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa
Enviada em: sábado, 5 de abril de 2008 03:48
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n +
(n^2)/2!...+(n^n)/n!)
O difícil desse argumento é a famosa convergência uniforme. Eu acho
(como uma certa metade das pessoas que responderam aqui) que não está
certo, um pouco pelo fato de parecer meio roubado pegar o limite
assim. Usando umas coisas que eu escrevi na minha mensagem um pouco
acima (ou abaixo, dependendo do que você usa), note que os termos
importantes da soma estão no meio da série... e a gente truncou !
Vou tentar explicar (além do mais, acabei de ver que isso dá quase uma
prova de que a resposta é 1/2 ) :
Os termos a_k = n^k/k! (que é o que a gente soma) são crescentes até o
n^(n-1)/(n-1)! = n^n/n!. Antes, o quociente entre o a_(n-k) e
a_(n-k+1) é (n-k)/n = 1 - k/n. Depois, o quociente entre a_(n+k+1) e
a_(n+k) é n/(n+k+1) = 1 - (k+1)/(n+k+1).
Se a gente fosse arrumar isso num triângulo como na minha primeira
mensagem, depois de dividir por n^n/n!, fica :
(1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n)...(1/n)
+ ...
+ (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n)
+ (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)
+ (1 - 1/n )(1 - 2/n )
+ (1 - 1/n )
+ 1 + 1 ( os termos do meio n^n/n! = n^(n-1)/(n-1)! )
+ (1 - 1/(n+1) )
+ (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )
+ (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )(1 - 3/(n+3) )
+ (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )(1 - 3/(n+3) )(1 - 4/(n+4) )
+ ...
Note que quando n - inf, os termos de cada lado do 1+1 convergem pra
1 (de forma não uniforme) mas ainda mais, os de baixo convergem para
os de cima mais rápido ainda (não tenho muito tempo para detalhar
isso). Ou seja, se pararmos de somar no termo k = n^alpha com alpha
perto de 1 mas menor do que 1, temos uma convergência dos termos
depois aos termos antes do meio e com isso dá pra ver que na
verdade a gente só tem metade da série que realmente contribui para
e^n até os n primeiros termos (é aí que entra a tal história da
convergência uniforme, a gente precisa cada vez mais de termos para a
soma dar certo : com n fixo, a gente consegue majorar a soma por uma
PG de razão n/(n+1) a partir do primeiro termo depois, mas veja que
tanto a razão quanto o termo que a gente majora tendem pro lugar
errado com n - infinito). Faça as contas com n = 1,2,3, para ver como
os termos se comportam nessa série, é bem legal (e se você tiver maple
/ mathematica / matlab / scilab / octave / ... veja com n = 20 e em
torno!)
Artur : você acha que dá pra tentar formalizar essa idéia do meio da série ?
Rogério : passo a bola pra você me convencer !
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
2008/4/5 Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED]:
Oi Marcelo,
quando voces quiserem repetir a dose, e' so' avisar - e juro que o
Nehab tambem vai :-)
Bem, voltando 'a vaca fria, vou explicar um pouquinho melhor o que eu vejo.
A questao original e' calcular
lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Repare que o segundo fator corresponde aos n primeiros termos da
expansao de Taylor para e^n.
O que eu sustento e' que, quando n vai para infinito, o segundo
fator passa a ser EXATAMENTE a expansao de Taylor para e^n. E neste
ponto, tanto faz que o n desse tal fator e^n esteja no infinito ou
nao, porque ele se anula com o -n do primeiro fator e^(-n).
Em outras palavras, a expressao valera' e^(-n) * e^(n) = 1 ,
simplesmente porque aquele segundo termo alcancou o valor de e^n.
Nunca estive preocupado com o valor do numerador de cada parcela, mas
apenas com o numero de parcelas da segundo termo. A partir dai e' que
estabeleco que o limite vale 1.
Grande abraco,
Rogerio Ponce.
Em 04/04/08, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá Ponce, quanto tempo...
eu penso um pouco diferente, vejamos:
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... = lim {u-inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
não vejo sentido, fazermos x = k do somatório... entende?
vejamos:
1 = e^(-x) * e^(x) = e^(-x) * lim {u-inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
lim {x-inf} e^(-x) * lim {u-inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
lim {x-inf} lim {u-inf} e^(-x) . Sum{k=0 .. u} x^k/k!
vou chamar x de n, entao:
1 = lim {n-inf} lim {u-inf} e^(-n) . Sum{k=0 .. u} n^k/k!
ou então:
1 = lim {n-inf} lim {u-inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^u/u!)
agora vem minha dúvida.. n e u tendem a infinito.. podemos dizer que:
lim {n-inf} lim {u-inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^u/u!) = lim
{n-inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^n/n!) ??
se sim, como provamos isso? vou tentar provar, caso consiga, mando aqui..
abraços,
Salhab
2008/4/4 Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED]:
Oi Artur,
minha conclusao e' que vale o mesmo que
e^(-n) * e^(n) = 1.
[]'s
Rogerio Ponce
Em 04
Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Oi, Ponce, Arthur, Salhab e Bernardo, Ia ficar calado, pois no consegui matar a questo que Arthur postou (para variar tima, n), mas um amigo chiou. O mximo que consegui fazer, entretanto, apelando para um "programete", foi perceber, como o Bernardo (timas idias que ele deu), que a seqncia decrescente e o limite "sem dvida 1/2", como no incio colocou o Arthur. Mas confesso que minha cartola est quase esgotada e tambm ainda no consegu nada interessante. De qualquer forma t no caminho do teorema do Poisson (o que conduz distribuio dele) pois acho que por ai sai. Espero conseguir finalizar algo util... Abraos, Nehab Rogerio Ponce escreveu: Oi Artur, minha conclusao e' que vale o mesmo que e^(-n) * e^(n) = 1. []'s Rogerio Ponce Em 04/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu: Mas como concluir que 1/2? Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Rogerio Ponce Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 16:58 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Ola' Artur, acho que e' mais simples que voce imagina. O numero de termos da expansao de Taylor ja' e' infinito. E quando "n" aumenta, a 2a parte da sua expressao simplesmente se aproxima da expansao de Taylor. No limite, havera' infinitos termos (e todos iguais) nas duas expressoes. []'s Rogerio Ponce Em 02/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu: No, no. Seria 1 se fosse um limite do tipo e^(x) (1 + x + x^2/2!...+x^n/n!), com x independente de n. Mas no o caso. Veja q ue x =n, x depende de n. Quando voc aumenta o n, alm de aumentar o nmero de termos no polinmio de Taylor, aumenta o argumento, Temos algo bem mais complicado. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Rogerio Ponce Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 10:26 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Oi Artur, a expansao de Taylor para e^n vale e^n = 1 + n + n^2/2! + n^3/3! + ... Assim, esse limite deve ser igual a 1. []'s Rogerio Ponce Em 02/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu: Este limite 1/2, mas no sei como demonstrar. J tentei vrias solues, mas no deu certo. Uma possibilidade mostra que este limite iguala-se a uma integral, mas no consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, aplicar o teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com mdia 1. Tambm no consegui ver como. Alguem tem alguma sugestao? Abracos Artur = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Ola' Artur, acho que e' mais simples que voce imagina. O numero de termos da expansao de Taylor ja' e' infinito. E quando n aumenta, a 2a parte da sua expressao simplesmente se aproxima da expansao de Taylor. No limite, havera' infinitos termos (e todos iguais) nas duas expressoes. []'s Rogerio Ponce Em 02/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu: Não, não. Seria 1 se fosse um limite do tipo e^(x) (1 + x + x^2/2!...+x^n/n!), com x independente de n. Mas não é o caso. Veja q ue x =n, x depende de n. Quando você aumenta o n, além de aumentar o número de termos no polinômio de Taylor, aumenta o argumento, Temos algo bem mais complicado. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rogerio Ponce Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 10:26 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Oi Artur, a expansao de Taylor para e^n vale e^n = 1 + n + n^2/2! + n^3/3! + ... Assim, esse limite deve ser igual a 1. []'s Rogerio Ponce Em 02/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu: Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias soluções, mas não deu certo. Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma integral, mas não consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é aplicar o teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1. Também não consegui ver como. Alguem tem alguma sugestao? Abracos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RES: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Mas como concluir que é 1/2? Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rogerio Ponce Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 16:58 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Ola' Artur, acho que e' mais simples que voce imagina. O numero de termos da expansao de Taylor ja' e' infinito. E quando n aumenta, a 2a parte da sua expressao simplesmente se aproxima da expansao de Taylor. No limite, havera' infinitos termos (e todos iguais) nas duas expressoes. []'s Rogerio Ponce Em 02/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu: Não, não. Seria 1 se fosse um limite do tipo e^(x) (1 + x + x^2/2!...+x^n/n!), com x independente de n. Mas não é o caso. Veja q ue x =n, x depende de n. Quando você aumenta o n, além de aumentar o número de termos no polinômio de Taylor, aumenta o argumento, Temos algo bem mais complicado. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rogerio Ponce Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 10:26 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Oi Artur, a expansao de Taylor para e^n vale e^n = 1 + n + n^2/2! + n^3/3! + ... Assim, esse limite deve ser igual a 1. []'s Rogerio Ponce Em 02/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu: Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias soluções, mas não deu certo. Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma integral, mas não consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é aplicar o teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1. Também não consegui ver como. Alguem tem alguma sugestao? Abracos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Olá Ponce, quanto tempo...
eu penso um pouco diferente, vejamos:
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... = lim {u-inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
não vejo sentido, fazermos x = k do somatório... entende?
vejamos:
1 = e^(-x) * e^(x) = e^(-x) * lim {u-inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
lim {x-inf} e^(-x) * lim {u-inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
lim {x-inf} lim {u-inf} e^(-x) . Sum{k=0 .. u} x^k/k!
vou chamar x de n, entao:
1 = lim {n-inf} lim {u-inf} e^(-n) . Sum{k=0 .. u} n^k/k!
ou então:
1 = lim {n-inf} lim {u-inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^u/u!)
agora vem minha dúvida.. n e u tendem a infinito.. podemos dizer que:
lim {n-inf} lim {u-inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^u/u!) = lim
{n-inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^n/n!) ??
se sim, como provamos isso? vou tentar provar, caso consiga, mando aqui..
abraços,
Salhab
2008/4/4 Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED]:
Oi Artur,
minha conclusao e' que vale o mesmo que
e^(-n) * e^(n) = 1.
[]'s
Rogerio Ponce
Em 04/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Mas como concluir que é 1/2?
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Rogerio Ponce
Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 16:58
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n +
(n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Ola' Artur,
acho que e' mais simples que voce imagina.
O numero de termos da expansao de Taylor ja' e' infinito.
E quando n aumenta, a 2a parte da sua expressao simplesmente se
aproxima da expansao de Taylor.
No limite, havera' infinitos termos (e todos iguais) nas duas
expressoes.
[]'s
Rogerio Ponce
Em 02/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Não, não. Seria 1 se fosse um limite do tipo e^(x) (1 + x +
x^2/2!...+x^n/n!), com x independente de n. Mas não é o caso. Veja q ue x
=n, x depende de n. Quando você aumenta o n, além de aumentar o número de
termos no polinômio de Taylor, aumenta o argumento, Temos algo bem mais
complicado.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Rogerio Ponce
Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 10:26
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n +
(n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Oi Artur,
a expansao de Taylor para e^n vale
e^n = 1 + n + n^2/2! + n^3/3! + ...
Assim, esse limite deve ser igual a 1.
[]'s
Rogerio Ponce
Em 02/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias
soluções,
mas não deu certo.
Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma
integral, mas não
consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é
aplicar o
teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1.
Também não
consegui ver como.
Alguem tem alguma sugestao?
Abracos
Artur
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Oi Marcelo,
quando voces quiserem repetir a dose, e' so' avisar - e juro que o
Nehab tambem vai :-)
Bem, voltando 'a vaca fria, vou explicar um pouquinho melhor o que eu vejo.
A questao original e' calcular
lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Repare que o segundo fator corresponde aos n primeiros termos da
expansao de Taylor para e^n.
O que eu sustento e' que, quando n vai para infinito, o segundo
fator passa a ser EXATAMENTE a expansao de Taylor para e^n. E neste
ponto, tanto faz que o n desse tal fator e^n esteja no infinito ou
nao, porque ele se anula com o -n do primeiro fator e^(-n).
Em outras palavras, a expressao valera' e^(-n) * e^(n) = 1 ,
simplesmente porque aquele segundo termo alcancou o valor de e^n.
Nunca estive preocupado com o valor do numerador de cada parcela, mas
apenas com o numero de parcelas da segundo termo. A partir dai e' que
estabeleco que o limite vale 1.
Grande abraco,
Rogerio Ponce.
Em 04/04/08, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá Ponce, quanto tempo...
eu penso um pouco diferente, vejamos:
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... = lim {u-inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
não vejo sentido, fazermos x = k do somatório... entende?
vejamos:
1 = e^(-x) * e^(x) = e^(-x) * lim {u-inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
lim {x-inf} e^(-x) * lim {u-inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
lim {x-inf} lim {u-inf} e^(-x) . Sum{k=0 .. u} x^k/k!
vou chamar x de n, entao:
1 = lim {n-inf} lim {u-inf} e^(-n) . Sum{k=0 .. u} n^k/k!
ou então:
1 = lim {n-inf} lim {u-inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^u/u!)
agora vem minha dúvida.. n e u tendem a infinito.. podemos dizer que:
lim {n-inf} lim {u-inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^u/u!) = lim
{n-inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^n/n!) ??
se sim, como provamos isso? vou tentar provar, caso consiga, mando aqui..
abraços,
Salhab
2008/4/4 Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED]:
Oi Artur,
minha conclusao e' que vale o mesmo que
e^(-n) * e^(n) = 1.
[]'s
Rogerio Ponce
Em 04/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Mas como concluir que é 1/2?
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Rogerio Ponce
Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 16:58
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n +
(n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Ola' Artur,
acho que e' mais simples que voce imagina.
O numero de termos da expansao de Taylor ja' e' infinito.
E quando n aumenta, a 2a parte da sua expressao simplesmente se
aproxima da expansao de Taylor.
No limite, havera' infinitos termos (e todos iguais) nas duas
expressoes.
[]'s
Rogerio Ponce
Em 02/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Não, não. Seria 1 se fosse um limite do tipo e^(x) (1 + x +
x^2/2!...+x^n/n!), com x independente de n. Mas não é o caso. Veja q ue x
=n, x depende de n. Quando você aumenta o n, além de aumentar o número de
termos no polinômio de Taylor, aumenta o argumento, Temos algo bem mais
complicado.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Rogerio Ponce
Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 10:26
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n +
(n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Oi Artur,
a expansao de Taylor para e^n vale
e^n = 1 + n + n^2/2! + n^3/3! + ...
Assim, esse limite deve ser igual a 1.
[]'s
Rogerio Ponce
Em 02/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias
soluções,
mas não deu certo.
Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma
integral, mas não
consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é
aplicar o
teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1.
Também não
consegui ver como.
Alguem tem alguma sugestao?
Abracos
Artur
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Oi Arthur, Eu resolvi brincar com o limite, e o último termo me chamou atenção porque ele é o termo de Stirling : temos que lim n-inf n^n/(n! e^(n) raiz(n)) = 1/raiz(2 pi). Calculando os quocientes entre cada um dos termos da soma (e invertendo a ordem) temos (n^(n-k)/(n-k)!) / (n^(n-k-1)/(n-k-1)! ) = (n - k - 1)/n = 1 - (k+1)/n 1 + 1 (esses são os dois últimos termos, que são iguais !) + (1 - 1/n ) + (1 - 1/n )(1 - 2/n ) + (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n) + (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n) + ... + (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n)...(1/n) Repare que quando o fator ficar significativamente menor do que 1/raiz(n) a gente já pode parar de fazer as contas (porque tem um raiz(n) que tá sobrando no denominador, e a soma tem n termos no total, logo os termos 1/raiz(n) mesmo somados tendem a zero. Eu estou parado aqui... mas talvez tenha uma dica para o TLC : usando o limite que eu dei (e você dizer que o limite é 1/2) provar o limite é equivalente a provar que lim n - inf ( 1/raiz(n) \sum_0^n (n,k) k!/n^k ) ) = \raiz(pi/2) onde (n,k) é o coeficiente binomial. Repare que se não fosse o k!, a gente teria a soma de Euler que convergiria para e/raiz(n). Mas justamente o k! faz aumentar o fim da soma. Estou até agora tentando achar uma convolução ou coisa do gênero para fazer aparecer o k! 2008/4/2 Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]: Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias soluções, mas não deu certo. Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma integral, mas não consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é aplicar o teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1. Também não consegui ver como. Alguem tem alguma sugestao? Abracos Artur -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias soluções, mas não deu certo. Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma integral, mas não consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é aplicar o teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1. Também não consegui ver como. Alguem tem alguma sugestao? Abracos Artur
Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Oi Artur, a expansao de Taylor para e^n vale e^n = 1 + n + n^2/2! + n^3/3! + ... Assim, esse limite deve ser igual a 1. []'s Rogerio Ponce Em 02/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu: Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias soluções, mas não deu certo. Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma integral, mas não consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é aplicar o teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1. Também não consegui ver como. Alguem tem alguma sugestao? Abracos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Olá colegas da lista, bom dia! Vocês poderiam me ajudar no exercício abaixo? Desculpe-me pela insistência a respeito disso, mas é que a minha solução não está batendo com o gabarito oficial. Esta questão é, na verdade, de múltipla escolha. Eu o escrevi no formato de uma pergunta no final para que alguém faça a gentileza de enviar a solução. Aí vai ele. Uma escada está apoiada em uma parede, mede 2,50 m de comprimento e tem nove degraus. O primeiro degrau mede 0,84 m e dista 0,69 m do quarto degrau, que mede 18 cm a menos que o primeiro. Qual é a medida do penúltimo degrau? Amplexo. Fernando - Original Message - From: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, April 02, 2008 10:25 AM Subject: Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Oi Artur, a expansao de Taylor para e^n vale e^n = 1 + n + n^2/2! + n^3/3! + ... Assim, esse limite deve ser igual a 1. []'s Rogerio Ponce Em 02/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu: Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias soluções, mas não deu certo. Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma integral, mas não consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é aplicar o teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1. Também não consegui ver como. Alguem tem alguma sugestao? Abracos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RES: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Não, não. Seria 1 se fosse um limite do tipo e^(x) (1 + x + x^2/2!...+x^n/n!), com x independente de n. Mas não é o caso. Veja q ue x =n, x depende de n. Quando você aumenta o n, além de aumentar o número de termos no polinômio de Taylor, aumenta o argumento, Temos algo bem mais complicado. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rogerio Ponce Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 10:26 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Oi Artur, a expansao de Taylor para e^n vale e^n = 1 + n + n^2/2! + n^3/3! + ... Assim, esse limite deve ser igual a 1. []'s Rogerio Ponce Em 02/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu: Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias soluções, mas não deu certo. Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma integral, mas não consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é aplicar o teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1. Também não consegui ver como. Alguem tem alguma sugestao? Abracos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Ola' Artur, acho que e' mais simples que voce imagina. O numero de termos da expansao de Taylor ja' e' infinito. E quando n aumenta, a 2a parte da sua expressao simplesmente se aproxima da expansao de Taylor. No limite, havera' infinitos termos (e todos iguais) nas duas expressoes. []'s Rogerio Ponce Em 02/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu: Não, não. Seria 1 se fosse um limite do tipo e^(x) (1 + x + x^2/2!...+x^n/n!), com x independente de n. Mas não é o caso. Veja q ue x =n, x depende de n. Quando você aumenta o n, além de aumentar o número de termos no polinômio de Taylor, aumenta o argumento, Temos algo bem mais complicado. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rogerio Ponce Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 10:26 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Oi Artur, a expansao de Taylor para e^n vale e^n = 1 + n + n^2/2! + n^3/3! + ... Assim, esse limite deve ser igual a 1. []'s Rogerio Ponce Em 02/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu: Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias soluções, mas não deu certo. Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma integral, mas não consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é aplicar o teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1. Também não consegui ver como. Alguem tem alguma sugestao? Abracos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
