Hm, tem uma solução que não precisa desses fatos
relativamente avançados (de fato, esse problema foi o
problema mais difícil da OBM 2005, nível 1). Caso
vocês perguntem, não me lembro se alguém resolveu, mas
me lembro que alguns alunos chegaram muito, mas muito
perto de resolver. Então, como problema mais difícil
da prova, eu o considero adequado.
Seja n^2 = 2^(2k)*M^2, em que M é ímpar (note que tudo
o que fizemos é separar os fatores 2 de n^2, não
perdemos generalidade aqui). Provaremos que n^2 não é
um número perfeito (ou seja, que a soma de seus
divisores positivos não é 2n^2) mostrando que a soma
de todos os seus divisores positivos (incluindo n^2) é
ímpar.
Para isso, basta somarmos os divisores ímpares de n^2,
já que os pares não alteram a paridade da soma. Mas os
divisores ímpares de n^2 são os divisores de M^2.
Fazemos então os pares {d, M^2/d} de divisores de M^2,
que particionam, junto com o par {M, M} = {M}, o
conjunto dos divisores de M^2. Cada par tem soma par,
com exceção do conjunto unitário {M}. Assim, a soma
dos divisores de M^2 é ímpar e, consequentemente, a
soma dos divisores positivos de n^2 é ímpar. Logo n^2
não pode ser um número perfeito.
É claro que quam já conhece a fórmula da soma dos
divisores de n pode verificar isso imediatamente: tal
soma é s(n^2) = produto(1 + p + p^2 + ... + p^(2k)),
sendo que p é primo divisor de n^2 e p^(2k) é a maior
potência de p que divide n^2 (o expoente deve ser par
porque n é um quadrado perfeito). Se p = 2, a soma 1 +
p + p^2 + ... + p^(2k) é ímpar; se p é ímpar, como a
soma 1 + p + p^2 + ... + p^(2k) tem 2k + 1 parcelas, é
ímpar. Logo s(n^2) é o produto de ímpares, que é
ímpar.
Agora, eu estou curioso sobre a afirmação sobre
números perfeitos ímpares. Quando eu tiver algum tempo
vou pensar.
[]'s
Shine
--- claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Os únicos números perfeitos conhecidos são aqueles
da forma:
N = 2^(p-1)*(2^p-1) onde p e 2^p-1 são primos ==
o primo 2^p-1 aparece com expoente 1 na decomposição
de N ==
N não pode ser quadrado perfeito.
Para o caso de um número perfeito ímpar (se existir
algum...) a conclusão decorre do seguinte resultado,
cuja demonstração eu proponho aqui como um
exercício:
Se N for um número perfeito ímpar, então N é da
forma p^(4k+1)*M^2, onde p é um primo == 1 (mod 4),
k é um inteiro não-negativo e M é um inteiro ímpar
primo com p.
[]s,
Claudio.
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:Tue, 25 Jul 2006 13:08:17 + (GMT)
Assunto:[obm-l] numeros perfeitos
gostaria de saber como provar que todo numero
perfeito nunca pode ser quadrado
perfeito
O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!
__
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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