[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] questão trigonometria complicada
Professor novamente agradeço ao senhor pela resolução VERDADEIRAMENTE inteligente e digna de um trabalhador!!! obrigado e abs De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Segunda-feira, 27 de Junho de 2011 17:43 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] questão trigonometria complicada Hmmm, vejamos. Será que a gente arruma algum polinômio cujas raízes sejam as 3 parcelas da sua soma? Considere a famosa identidade trigonométrica sin7t=(8(cos2t)^3+4(cos2t)^2-4(cos2t)-1).sint (Desculpa, não pude resistir.) Note que t=kpi/7 (k=1,2,4) dá três raízes de sin7t, mas nenhum deles dá raiz de sint. Então estes valores de t devem anular o termo entre parênteses... Em outras palavras, se você considerar o polinômio P(x)=8x^3+4x^2-4x-1, você verá que suas raízes são exatamente cos(2pi/7), cos(4pi/7) e cos(8pi/7) -- exatamente porque é um polinômio do 3o grau, então se eu achei 3 raízes distintas, achei todas. (O argumento também vale para k=3,5,6, mas então obtemos cos(6pi/7)=cos(8pi/7), cos(10pi/7)=cos(4pi/7) e cos(12pi/7)=cos(2pi/7), que são aquelas raízes de novo) Em suma, o problema agora é: sejam a,b e c as raízes de P(x)=8x^3+4x^2-4x-1. Encontre a^(1/3)+b^(1/3)+c^(1/3). Vou escrever a^(1/3)=A, b^(1/3)=B e c^(1/3)=C. Mas, do polinômio sabemos que a+b+c=-1/2, isto é, A^3+B^3+C^3=-1/2 ab+ac+bc=1/2, isto é, A^3B^3+A^3C^3+B^3C^3=1/2 abc=-1/8, isto é, ABC=-1/2. Poxa, eu até consigo fazer o resto, mas é HORRENDO. Vamos lá. Agora, talvez você já tenha visto a identidade x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)((x+y+z)^2-3(xy+xz+yz)) Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(A,B,C) temos: -1/2+3/2=1=S(S^2-3D) (onde S=A+B+C e D=AB+AC+BC) Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(AB,AC,BC), temos: 1/2-3(1/4)=-1/4=D(D^2-3SP)=D(D^2+3S/2) (onde P=ABC=-1/2) Enfim, duas equações e duas incógnitas! Tire D da primeira e jogue na segunda -- fica horrendo, mas dá uma equação polinomial de grau 9 em S, com termos apenas em S^3, S^6 e S^9. Faça S^3=Z, resolva a equação cúbica em Z, S é a raiz cúbica de Z. Argh! Tá, fiquei sem vontade de terminar as contas, e devo ter errado algo no meio do caminho, mas saiu! Abraço, Ralph 2011/6/26 Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br Boa tarde senhores. Será que alguém poderia me iluminar nesta questão: Calcule o valor da soma (cos(2*pi/7)^1/3 + (cos(4*pi/7))^1/3 + (cos(8*pi/7))^1/3 ? abs
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] questão trigonometria complicada
Muito, muito , muito obrigado! Não foi fácil resolver. De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Segunda-feira, 27 de Junho de 2011 17:52 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] questão trigonometria complicada Ah, já vi errinho de sinal no meio do caminho, no sinal de ab+ac+bc e no de abc. Corrigi abaixo, mas deve haver outros. De qualquer forma, a ideia ainda vale. 2011/6/27 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Hmmm, vejamos. Será que a gente arruma algum polinômio cujas raízes sejam as 3 parcelas da sua soma? Considere a famosa identidade trigonométrica sin7t=(8(cos2t)^3+4(cos2t)^2-4(cos2t)-1).sint (Desculpa, não pude resistir.) Note que t=kpi/7 (k=1,2,4) dá três raízes de sin7t, mas nenhum deles dá raiz de sint. Então estes valores de t devem anular o termo entre parênteses... Em outras palavras, se você considerar o polinômio P(x)=8x^3+4x^2-4x-1, você verá que suas raízes são exatamente cos(2pi/7), cos(4pi/7) e cos(8pi/7) -- exatamente porque é um polinômio do 3o grau, então se eu achei 3 raízes distintas, achei todas. (O argumento também vale para k=3,5,6, mas então obtemos cos(6pi/7)=cos(8pi/7), cos(10pi/7)=cos(4pi/7) e cos(12pi/7)=cos(2pi/7), que são aquelas raízes de novo) Em suma, o problema agora é: sejam a,b e c as raízes de P(x)=8x^3+4x^2-4x-1. Encontre a^(1/3)+b^(1/3)+c^(1/3). Vou escrever a^(1/3)=A, b^(1/3)=B e c^(1/3)=C. Mas, do polinômio sabemos que a+b+c=-1/2, isto é, A^3+B^3+C^3=-1/2 ab+ac+bc=-1/2, isto é, A^3B^3+A^3C^3+B^3C^3=-1/2 abc=1/8, isto é, ABC=1/2. Poxa, eu até consigo fazer o resto, mas é HORRENDO. Vamos lá. Agora, talvez você já tenha visto a identidade x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)((x+y+z)^2-3(xy+xz+yz)) Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(A,B,C) temos: -1/2-3/2=-2=S(S^2-3D) (onde S=A+B+C e D=AB+AC+BC) Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(AB,AC,BC), temos: -1/2-3(1/4)=-5/4=D(D^2-3SP)=D(D^2-3S/2) (onde P=ABC=1/2) Enfim, duas equações e duas incógnitas! Tire D da primeira e jogue na segunda -- fica horrendo, mas dá uma equação polinomial de grau 9 em S, com termos apenas em S^3, S^6 e S^9. Faça S^3=Z, resolva a equação cúbica em Z, S é a raiz cúbica de Z. Argh! Tá, fiquei sem vontade de terminar as contas, e devo ter errado algo no meio do caminho, mas saiu! Abraço, Ralph 2011/6/26 Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br Boa tarde senhores. Será que alguém poderia me iluminar nesta questão: Calcule o valor da soma (cos(2*pi/7)^1/3 + (cos(4*pi/7))^1/3 + (cos(8*pi/7))^1/3 ? abs
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] questão trigonometria complicada
Este foi um problema da revista Kvant, na verdade um artigo. Eis o site (pra quem encarar um russinho básico...) http://kvant.mccme.ru/ Em 27/06/11, Ralph Teixeiraralp...@gmail.com escreveu: Ah, já vi errinho de sinal no meio do caminho, no sinal de ab+ac+bc e no de abc. Corrigi abaixo, mas deve haver outros. De qualquer forma, a ideia ainda vale. 2011/6/27 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Hmmm, vejamos. Será que a gente arruma algum polinômio cujas raízes sejam as 3 parcelas da sua soma? Considere a famosa identidade trigonométrica sin7t=(8(cos2t)^3+4(cos2t)^2-4(cos2t)-1).sint (Desculpa, não pude resistir.) Note que t=kpi/7 (k=1,2,4) dá três raízes de sin7t, mas nenhum deles dá raiz de sint. Então estes valores de t devem anular o termo entre parênteses... Em outras palavras, se você considerar o polinômio P(x)=8x^3+4x^2-4x-1, você verá que suas raízes são exatamente cos(2pi/7), cos(4pi/7) e cos(8pi/7) -- exatamente porque é um polinômio do 3o grau, então se eu achei 3 raízes distintas, achei todas. (O argumento também vale para k=3,5,6, mas então obtemos cos(6pi/7)=cos(8pi/7), cos(10pi/7)=cos(4pi/7) e cos(12pi/7)=cos(2pi/7), que são aquelas raízes de novo) Em suma, o problema agora é: sejam a,b e c as raízes de P(x)=8x^3+4x^2-4x-1. Encontre a^(1/3)+b^(1/3)+c^(1/3). Vou escrever a^(1/3)=A, b^(1/3)=B e c^(1/3)=C. Mas, do polinômio sabemos que a+b+c=-1/2, isto é, A^3+B^3+C^3=-1/2 ab+ac+bc=-1/2, isto é, A^3B^3+A^3C^3+B^3C^3=-1/2 abc=1/8, isto é, ABC=1/2. Poxa, eu até consigo fazer o resto, mas é HORRENDO. Vamos lá. Agora, talvez você já tenha visto a identidade x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)((x+y+z)^2-3(xy+xz+yz)) Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(A,B,C) temos: -1/2-3/2=-2=S(S^2-3D) (onde S=A+B+C e D=AB+AC+BC) Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(AB,AC,BC), temos: -1/2-3(1/4)=-5/4=D(D^2-3SP)=D(D^2-3S/2) (onde P=ABC=1/2) Enfim, duas equações e duas incógnitas! Tire D da primeira e jogue na segunda -- fica horrendo, mas dá uma equação polinomial de grau 9 em S, com termos apenas em S^3, S^6 e S^9. Faça S^3=Z, resolva a equação cúbica em Z, S é a raiz cúbica de Z. Argh! Tá, fiquei sem vontade de terminar as contas, e devo ter errado algo no meio do caminho, mas saiu! Abraço, Ralph 2011/6/26 Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br Boa tarde senhores. Será que alguém poderia me iluminar nesta questão: Calcule o valor da soma (cos(2*pi/7)^1/3 + (cos(4*pi/7))^1/3 + (cos(8*pi/7))^1/3 ? abs -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] questão trigonometria complicada
Quero sair da lista obm-l -Mensagem original- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Johann Dirichlet Enviada em: terça-feira, 28 de junho de 2011 11:18 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] questão trigonometria complicada Este foi um problema da revista Kvant, na verdade um artigo. Eis o site (pra quem encarar um russinho básico...) http://kvant.mccme.ru/ Em 27/06/11, Ralph Teixeiraralp...@gmail.com escreveu: Ah, já vi errinho de sinal no meio do caminho, no sinal de ab+ac+bc e no de abc. Corrigi abaixo, mas deve haver outros. De qualquer forma, a ideia ainda vale. 2011/6/27 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Hmmm, vejamos. Será que a gente arruma algum polinômio cujas raízes sejam as 3 parcelas da sua soma? Considere a famosa identidade trigonométrica sin7t=(8(cos2t)^3+4(cos2t)^2-4(cos2t)-1).sint (Desculpa, não pude resistir.) Note que t=kpi/7 (k=1,2,4) dá três raízes de sin7t, mas nenhum deles dá raiz de sint. Então estes valores de t devem anular o termo entre parênteses... Em outras palavras, se você considerar o polinômio P(x)=8x^3+4x^2-4x-1, você verá que suas raízes são exatamente cos(2pi/7), cos(4pi/7) e cos(8pi/7) -- exatamente porque é um polinômio do 3o grau, então se eu achei 3 raízes distintas, achei todas. (O argumento também vale para k=3,5,6, mas então obtemos cos(6pi/7)=cos(8pi/7), cos(10pi/7)=cos(4pi/7) e cos(12pi/7)=cos(2pi/7), que são aquelas raízes de novo) Em suma, o problema agora é: sejam a,b e c as raízes de P(x)=8x^3+4x^2-4x-1. Encontre a^(1/3)+b^(1/3)+c^(1/3). Vou escrever a^(1/3)=A, b^(1/3)=B e c^(1/3)=C. Mas, do polinômio sabemos que a+b+c=-1/2, isto é, A^3+B^3+C^3=-1/2 ab+ac+bc=-1/2, isto é, A^3B^3+A^3C^3+B^3C^3=-1/2 abc=1/8, isto é, ABC=1/2. Poxa, eu até consigo fazer o resto, mas é HORRENDO. Vamos lá. Agora, talvez você já tenha visto a identidade x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)((x+y+z)^2-3(xy+xz+yz)) Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(A,B,C) temos: -1/2-3/2=-2=S(S^2-3D) (onde S=A+B+C e D=AB+AC+BC) Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(AB,AC,BC), temos: -1/2-3(1/4)=-5/4=D(D^2-3SP)=D(D^2-3S/2) (onde P=ABC=1/2) Enfim, duas equações e duas incógnitas! Tire D da primeira e jogue na segunda -- fica horrendo, mas dá uma equação polinomial de grau 9 em S, com termos apenas em S^3, S^6 e S^9. Faça S^3=Z, resolva a equação cúbica em Z, S é a raiz cúbica de Z. Argh! Tá, fiquei sem vontade de terminar as contas, e devo ter errado algo no meio do caminho, mas saiu! Abraço, Ralph 2011/6/26 Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br Boa tarde senhores. Será que alguém poderia me iluminar nesta questão: Calcule o valor da soma (cos(2*pi/7)^1/3 + (cos(4*pi/7))^1/3 + (cos(8*pi/7))^1/3 ? abs -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] questão trigonometria complicada
Hmmm, vejamos. Será que a gente arruma algum polinômio cujas raízes sejam as 3 parcelas da sua soma? Considere a famosa identidade trigonométrica sin7t=(8(cos2t)^3+4(cos2t)^2-4(cos2t)-1).sint (Desculpa, não pude resistir.) Note que t=kpi/7 (k=1,2,4) dá três raízes de sin7t, mas nenhum deles dá raiz de sint. Então estes valores de t devem anular o termo entre parênteses... Em outras palavras, se você considerar o polinômio P(x)=8x^3+4x^2-4x-1, você verá que suas raízes são exatamente cos(2pi/7), cos(4pi/7) e cos(8pi/7) -- exatamente porque é um polinômio do 3o grau, então se eu achei 3 raízes distintas, achei todas. (O argumento também vale para k=3,5,6, mas então obtemos cos(6pi/7)=cos(8pi/7), cos(10pi/7)=cos(4pi/7) e cos(12pi/7)=cos(2pi/7), que são aquelas raízes de novo) Em suma, o problema agora é: sejam a,b e c as raízes de P(x)=8x^3+4x^2-4x-1. Encontre a^(1/3)+b^(1/3)+c^(1/3). Vou escrever a^(1/3)=A, b^(1/3)=B e c^(1/3)=C. Mas, do polinômio sabemos que a+b+c=-1/2, isto é, A^3+B^3+C^3=-1/2 ab+ac+bc=1/2, isto é, A^3B^3+A^3C^3+B^3C^3=1/2 abc=-1/8, isto é, ABC=-1/2. Poxa, eu até consigo fazer o resto, mas é HORRENDO. Vamos lá. Agora, talvez você já tenha visto a identidade x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)((x+y+z)^2-3(xy+xz+yz)) Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(A,B,C) temos: -1/2+3/2=1=S(S^2-3D) (onde S=A+B+C e D=AB+AC+BC) Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(AB,AC,BC), temos: 1/2-3(1/4)=-1/4=D(D^2-3SP)=D(D^2+3S/2) (onde P=ABC=-1/2) Enfim, duas equações e duas incógnitas! Tire D da primeira e jogue na segunda -- fica horrendo, mas dá uma equação polinomial de grau 9 em S, com termos apenas em S^3, S^6 e S^9. Faça S^3=Z, resolva a equação cúbica em Z, S é a raiz cúbica de Z. Argh! Tá, fiquei sem vontade de terminar as contas, e devo ter errado algo no meio do caminho, mas saiu! Abraço, Ralph 2011/6/26 Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br Boa tarde senhores. Será que alguém poderia me iluminar nesta questão: Calcule o valor da soma (cos(2*pi/7)^1/3 + (cos(4*pi/7))^1/3 + (cos(8*pi/7))^1/3 ? abs
[obm-l] Re: [obm-l] questão trigonometria complicada
Ah, já vi errinho de sinal no meio do caminho, no sinal de ab+ac+bc e no de abc. Corrigi abaixo, mas deve haver outros. De qualquer forma, a ideia ainda vale. 2011/6/27 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Hmmm, vejamos. Será que a gente arruma algum polinômio cujas raízes sejam as 3 parcelas da sua soma? Considere a famosa identidade trigonométrica sin7t=(8(cos2t)^3+4(cos2t)^2-4(cos2t)-1).sint (Desculpa, não pude resistir.) Note que t=kpi/7 (k=1,2,4) dá três raízes de sin7t, mas nenhum deles dá raiz de sint. Então estes valores de t devem anular o termo entre parênteses... Em outras palavras, se você considerar o polinômio P(x)=8x^3+4x^2-4x-1, você verá que suas raízes são exatamente cos(2pi/7), cos(4pi/7) e cos(8pi/7) -- exatamente porque é um polinômio do 3o grau, então se eu achei 3 raízes distintas, achei todas. (O argumento também vale para k=3,5,6, mas então obtemos cos(6pi/7)=cos(8pi/7), cos(10pi/7)=cos(4pi/7) e cos(12pi/7)=cos(2pi/7), que são aquelas raízes de novo) Em suma, o problema agora é: sejam a,b e c as raízes de P(x)=8x^3+4x^2-4x-1. Encontre a^(1/3)+b^(1/3)+c^(1/3). Vou escrever a^(1/3)=A, b^(1/3)=B e c^(1/3)=C. Mas, do polinômio sabemos que a+b+c=-1/2, isto é, A^3+B^3+C^3=-1/2 ab+ac+bc=-1/2, isto é, A^3B^3+A^3C^3+B^3C^3=-1/2 abc=1/8, isto é, ABC=1/2. Poxa, eu até consigo fazer o resto, mas é HORRENDO. Vamos lá. Agora, talvez você já tenha visto a identidade x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)((x+y+z)^2-3(xy+xz+yz)) Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(A,B,C) temos: -1/2-3/2=-2=S(S^2-3D) (onde S=A+B+C e D=AB+AC+BC) Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(AB,AC,BC), temos: -1/2-3(1/4)=-5/4=D(D^2-3SP)=D(D^2-3S/2) (onde P=ABC=1/2) Enfim, duas equações e duas incógnitas! Tire D da primeira e jogue na segunda -- fica horrendo, mas dá uma equação polinomial de grau 9 em S, com termos apenas em S^3, S^6 e S^9. Faça S^3=Z, resolva a equação cúbica em Z, S é a raiz cúbica de Z. Argh! Tá, fiquei sem vontade de terminar as contas, e devo ter errado algo no meio do caminho, mas saiu! Abraço, Ralph 2011/6/26 Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br Boa tarde senhores. Será que alguém poderia me iluminar nesta questão: Calcule o valor da soma (cos(2*pi/7)^1/3 + (cos(4*pi/7))^1/3 + (cos(8*pi/7))^1/3 ? abs
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Boa tarde senhores. Será que alguém poderia me iluminar nesta questão: Calcule o valor da soma (cos(2*pi/7)^1/3 + (cos(4*pi/7))^1/3 + (cos(8*pi/7))^1/3 ? abs
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Boa tarde senhores. Será que alguém poderia me iluminar nesta questão: Calcule o valor da soma (cos(2*pi/7)^1/3 + (cos(4*pi/7))^1/3 + (cos(8*pi/7))^1/3 ? abs
