prezados amigos da lista,
Poderiam me ajudar com algumas questões de séries?
1) dados a,b pertencente a R+ defina indutivamente as sequências (xn)
e (yn) pondo x1=(a.b)^(1/2) e y1 = (a+b)/2 e xn+1=(xn.yn)^1/2 e yn+1=
(xn+yn)/2. Prove que xn e yn convergem para o mesmo limite.
2) seja a =0,
Olá Murilo ,
Para o (2) :
Suponha que a seja menor do que ou igual a b ; então a^n
**b^n e b^n
** a^n +b^n ** 2.b^n já que a e b são não negativos , teremos b *
* (a^n + b^n)^(1/n) ** 2^(1/n) .b . Utilizando o Teorema do Confronto
temos que o limite será b , que é
1) E claro que para todo N temos que Xn = Yn, pois a media geometricanunca e
maior que a media aritmetica. Desta desigualdade pontualdecorre imediatamente o
seguinte :
Xn+1 = (Xn*Yn)^(1/2) = (Xn*Xn)^(1/2)=Xn = (Xn) e uma
sequencianao-decrescenteYn+1 =(Xn+Yn)/2 = (Yn+Yn)/2 = Yn = (Yn) e
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