1) E claro que para todo N temos que Xn = Yn, pois a media geometricanunca e
maior que a media aritmetica. Desta desigualdade pontualdecorre imediatamente o
seguinte :
Xn+1 = (Xn*Yn)^(1/2) = (Xn*Xn)^(1/2)=Xn = (Xn) e uma
sequencianao-decrescenteYn+1 =(Xn+Yn)/2 = (Yn+Yn)/2 = Yn = (Yn) e uma
sequencia nao-crescente
E tambem o seguinte :
Yn = Xn para todo N, Xn = X1 para todo N = X1 = (Yn) = Y1 paratodo N =
(Yn) e limitada.Xn = Yn para todo N, Yn = Y1 para todo N = X1 = (Xn) = Y1
paratodo N = (Xn) e limitada
E concluimos :
(Xn) e (Yn) sao monotonas e limitadas = (Xn) e (Yn) sao convergentes.
Sejam A = lim Xn= sup{X1, X2, ... } e B = lim Yn = inf{Y1, Y2, ...}
Nao pode ser B A porque sendo B um infimo isto implicaria aexistencia de um
Yp A e a monotonicidade de (Yn) implicaria que Yn A para todo n = p. Ora,
tomando um E 0 tal que A-E Yp teriamosque Xn Yp para todo N
suficientemente grande = Xn Yn para Nsuficientemente grande ... ABSURDO !
Nao pode ser B A porque teriamos Yn+1 =(Xn+Yn)/2 = B , para todo N= Xn = B
+ (B-Yn), para todo N. Para N suficientemente grante temosque B-Yn tende a zero
pois LIM Yn = B = para N suficientemente grandeXn A ... ABSURDO !
Assim, nao podendo ser A B ou A B segue que A=B, como queriamos demonstrar !
2) Sem perda de generalidade vou supor que a = b 0. Os detalhesdos casos em
que a=0 ou/e b=0 sao triviais e fica como exercicio.
Xn=(a^n+b^n)^(1/n) = [a^n(1+(b/a)^n]^(1/n)=a[(1+(b/a)^(1/n))^(1/n)Lim Xn =
a*LIM[(1+(b/a)^(1/n))^(1/n)
Note agora que a = b = (b/a) = 1 = (b/a)^N = 1 =1+(b/a)^N = 1+1
= 1 = 1+(b/a)^N = 2= 1 =[1+(b/a)^N]^(1/N) = 2^(1/N)Aplicando o
teorema do confronto ( teorema do sandwich ) temos que LIM [1+(b/a)^N]^(1/N) =
1. Logo :
LIm Xn= a*1 = a = max{a,b}
Fica com Deus !PSR, 51501092019
OBS : Da pra tornar mais claro os dois ultimos argumentos, sendotalvez mais
prolixo. Isso fica como exercicio.2009/1/15 Murilo Krell
murilo.kr...@gmail.com: prezados amigos da lista, Poderiam me ajudar com
algumas questões de séries? 1) dados a,b pertencente a R+ defina
indutivamente as sequências (xn) e (yn) pondo x1=(a.b)^(1/2) e y1 = (a+b)/2 e
xn+1=(xn.yn)^1/2 e yn+1= (xn+yn)/2. Prove que xn e yn convergem para o mesmo
limite. 2) seja a =0, b=0, prove que lim(a^n + b^n)^(1/n) = max { a, b}
abs, Murilo
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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