Re: [obm-l] IME-95
On Fri, Dec 27, 2002 at 06:12:27PM -0300, João Gilberto Ponciano Pereira wrote: 6 esferas identicas de raio R encontram-se posicionadas no espaço de tal forma que cada uma delas seja tangente a exatamente 4 esferas.Desta forma,determine a aresta do cubo que tangencie todas as esferas. Não é óbvio se esta é a única configuração que satisfaz o enunciado; aliás eu nem tenho certeza se é ou não. Tenho a impressão de que nenhuma das soluções publicadas considerou esta questão. Só complementando a resposta do Nicolau, a configuração das esferas é única. Pelo enunciado, podemos concluir que se E1(esfera 1) e E2 não são tangentes, E3, E4, E5, E6 são tangentes a ambas. Como todas tem o mesmo raio, conclui-se que C3(centro de E3)...C6 pertencem um plano de simetria. Podemos fazer isso para os outros 2 pares restantes. Daí não é difícil provar que os 3 planos são ortogonais entre si, e que a configuração é única. Acho que você tem razão... Aceitando que as seis esferas ocupem as posições descritas, existem pelo menos oito cubos que tangenciam as seis esferas: os oito cubos têm as arestas paralelas aos eixos e vértices e escreverei ([x1,x2],[y1,y2],[z1,z2]) para denotar o cubo de vértices (x1,y1,z1), (x1,y1,z2), (x1,y2,z1), (x1,y2,z2), (x2,y1,z1), (x2,y1,z2), (x2,y2,z1), (x2,y2,z2). Os oito cubos são ([-c-R,c+R],[-c-R,c+R],[-c-R,c+R]) com aresta (2+2 sqrt(2))R (este parece ser o cubo encontrado nas outras soluções) ([-c-R,c-R],[-c-R,c-R],[-c-R,c-R]) ([-c-R,c-R],[-c-R,c-R],[-c+R,c+R]) ([-c-R,c-R],[-c+R,c+R],[-c-R,c-R]) ([-c-R,c-R],[-c+R,c+R],[-c+R,c+R]) ([-c+R,c+R],[-c-R,c-R],[-c-R,c-R]) ([-c+R,c+R],[-c-R,c-R],[-c+R,c+R]) ([-c+R,c+R],[-c+R,c+R],[-c-R,c-R]) ([-c+R,c+R],[-c+R,c+R],[-c+R,c+R]) todos com aresta 2 sqrt(2) R ([-c+R,c-R],[-c+R,c-R],[-c+R,c-R]) com aresta (- 2 + 2 sqrt(2)) R ...mas aqui há um erro besta, são 10 e não 8... Note que não foi dito se as tangências eram internas ou externas. Também não é óbvio se existe algum outro cubo satisfazendo o enunciado (possivelmente com as arestas não paralelas aos eixos) mas eu suspeito que não. ... e nesta outra parte eu me enganei na suspeita. Existem outros cubos sim. Uma forma de construir um tal cubo é tomar planos da forma x+y+z = const. para serem um par de faces paralelas... preciso pensar um pouco mais para decidir quantos e quais cubos serve. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RE: [obm-l] IME-95
6 esferas identicas de raio R encontram-se posicionadas no espaço de tal forma que cada uma delas seja tangente a exatamente 4 esferas.Desta forma,determine a aresta do cubo que tangencie todas as esferas. Não é óbvio se esta é a única configuração que satisfaz o enunciado; aliás eu nem tenho certeza se é ou não. Tenho a impressão de que nenhuma das soluções publicadas considerou esta questão. Só complementando a resposta do Nicolau, a configuração das esferas é única. Pelo enunciado, podemos concluir que se E1(esfera 1) e E2 não são tangentes, E3, E4, E5, E6 são tangentes a ambas. Como todas tem o mesmo raio, conclui-se que C3(centro de E3)...C6 pertencem um plano de simetria. Podemos fazer isso para os outros 2 pares restantes. Daí não é difícil provar que os 3 planos são ortogonais entre si, e que a configuração é única. Abraços! - Outras pessoas já mandaram soluções mas acho que elas eram incompletas de modo que quero comentar mesmo assim. Uma possível posição para as 6 esferas é que seus centros ocupem os vértices de um octaedro regular: (+-c,0,0), (0,+-c,0), (0,0,+-c). Verificamos facilmente que a distância entre dois centros é 2R = c sqrt(2) donde c = sqrt(2) R. Não é óbvio se esta é a única configuração que satisfaz o enunciado; aliás eu nem tenho certeza se é ou não. Tenho a impressão de que nenhuma das soluções publicadas considerou esta questão. Aceitando que as seis esferas ocupem as posições descritas, existem pelo menos oito cubos que tangenciam as seis esferas: os oito cubos têm as arestas paralelas aos eixos e vértices e escreverei ([x1,x2],[y1,y2],[z1,z2]) para denotar o cubo de vértices (x1,y1,z1), (x1,y1,z2), (x1,y2,z1), (x1,y2,z2), (x2,y1,z1), (x2,y1,z2), (x2,y2,z1), (x2,y2,z2). Os oito cubos são ([-c-R,c+R],[-c-R,c+R],[-c-R,c+R]) com aresta (2+2 sqrt(2))R (este parece ser o cubo encontrado nas outras soluções) ([-c-R,c-R],[-c-R,c-R],[-c-R,c-R]) ([-c-R,c-R],[-c-R,c-R],[-c+R,c+R]) ([-c-R,c-R],[-c+R,c+R],[-c-R,c-R]) ([-c-R,c-R],[-c+R,c+R],[-c+R,c+R]) ([-c+R,c+R],[-c-R,c-R],[-c-R,c-R]) ([-c+R,c+R],[-c-R,c-R],[-c+R,c+R]) ([-c+R,c+R],[-c+R,c+R],[-c-R,c-R]) ([-c+R,c+R],[-c+R,c+R],[-c+R,c+R]) todos com aresta 2 sqrt(2) R ([-c+R,c-R],[-c+R,c-R],[-c+R,c-R]) com aresta (- 2 + 2 sqrt(2)) R Note que não foi dito se as tangências eram internas ou externas. Também não é óbvio se existe algum outro cubo satisfazendo o enunciado (possivelmente com as arestas não paralelas aos eixos) mas eu suspeito que não. Em todo caso há pelo menos três respostas coerentes com o enunciado: (2+2 sqrt(2))R, 2 sqrt(2) R, (-2+2 sqrt(2))R. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] IME-95
Sou obrigado a admitir que não considerei tangências internas. Mas o lado bom é que, do jeito que eu pensei, os centros dos cubos também formavam um octaedro regular. Pensando nos dois tipos de tangência eu também encontrei as pelo menos 3 soluções cabíveis. A minha dúvida é: será que há um meio de provar que não existe uma outra configuração possível para os cubos? Pensando bem, eu acho que o IME pensou da forma mais natural (e ingênua) possível: a forma que eu pensei. Valeus, Helder. _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] IME-95
On Tue, Dec 24, 2002 at 06:58:13PM -0200, felipe mendona wrote: 6 esferas identicas de raio R encontram-se posicionadas no espaço de tal forma que cada uma delas seja tangente a exatamente 4 esferas.Desta forma,determine a aresta do cubo que tangencie todas as esferas. Outras pessoas já mandaram soluções mas acho que elas eram incompletas de modo que quero comentar mesmo assim. Uma possível posição para as 6 esferas é que seus centros ocupem os vértices de um octaedro regular: (+-c,0,0), (0,+-c,0), (0,0,+-c). Verificamos facilmente que a distância entre dois centros é 2R = c sqrt(2) donde c = sqrt(2) R. Não é óbvio se esta é a única configuração que satisfaz o enunciado; aliás eu nem tenho certeza se é ou não. Tenho a impressão de que nenhuma das soluções publicadas considerou esta questão. Aceitando que as seis esferas ocupem as posições descritas, existem pelo menos oito cubos que tangenciam as seis esferas: os oito cubos têm as arestas paralelas aos eixos e vértices e escreverei ([x1,x2],[y1,y2],[z1,z2]) para denotar o cubo de vértices (x1,y1,z1), (x1,y1,z2), (x1,y2,z1), (x1,y2,z2), (x2,y1,z1), (x2,y1,z2), (x2,y2,z1), (x2,y2,z2). Os oito cubos são ([-c-R,c+R],[-c-R,c+R],[-c-R,c+R]) com aresta (2+2 sqrt(2))R (este parece ser o cubo encontrado nas outras soluções) ([-c-R,c-R],[-c-R,c-R],[-c-R,c-R]) ([-c-R,c-R],[-c-R,c-R],[-c+R,c+R]) ([-c-R,c-R],[-c+R,c+R],[-c-R,c-R]) ([-c-R,c-R],[-c+R,c+R],[-c+R,c+R]) ([-c+R,c+R],[-c-R,c-R],[-c-R,c-R]) ([-c+R,c+R],[-c-R,c-R],[-c+R,c+R]) ([-c+R,c+R],[-c+R,c+R],[-c-R,c-R]) ([-c+R,c+R],[-c+R,c+R],[-c+R,c+R]) todos com aresta 2 sqrt(2) R ([-c+R,c-R],[-c+R,c-R],[-c+R,c-R]) com aresta (- 2 + 2 sqrt(2)) R Note que não foi dito se as tangências eram internas ou externas. Também não é óbvio se existe algum outro cubo satisfazendo o enunciado (possivelmente com as arestas não paralelas aos eixos) mas eu suspeito que não. Em todo caso há pelo menos três respostas coerentes com o enunciado: (2+2 sqrt(2))R, 2 sqrt(2) R, (-2+2 sqrt(2))R. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] IME 95
Pessoal, estou mandando esta mensagem de novo porque eu a mandei ontem e ainda não a recebi, não sei se os outros membros da lista receberam. --- felipe mendona [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi a todos da lista ! Pessoal, tem um problema de geometria espacial do IME-95 que nao consegui resolver,segue logo abaixo: 6 esferas identicas de raio R encontram-se posicionadas no espaço de tal forma que cada uma delas seja tangente a exatamente 4 esferas.Desta forma,determine a aresta do cubo que tangencie todas as esferas. Grato Felipe Mendonça. Vitória-ES Olá Felipe! Primeiro é bom você tentar imaginar como elas estão exatamente posicionadas e como o cubo as tangencia. Imagine que você coloca 4 esferas sobre um plano, cada uma tangente a outras duas, de tal maneira que seus centros formem um quadrado. então você coloca uma quinta esfera sobre essas 4 e uma sexta esfera sob elas. Anexei um desenhei que mostra, mais ou menos, isso visto de cima. Aproveitei pra já colocar como o cubo tem que ficar para tangenciar todas as esferas. Agora pela figura você pode ver que a linha azul tem a medida da aresta do cubo. E podemos ver que a linha azul é a soma de um raio, a diagonal do quadrado (vermelho) formado pelos centros das quatro esferas e mais um raio do outro lado. Como o quadrado formado pelos centros das esferas tem lado igual a dois raios, sua diagonal será: d = 2.R.raiz(2) Agora somando tudo temos a aresta do cubo: = R + d + R = R + 2.R.raiz(2) + R = 2R.[1 + raiz(2)] Um abraço e feliz natal a todos! Rafael. ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ inline: 6esferas.gif
Re: [obm-l] IME-95
Em 24 Dec 2002, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi a todos da lista ! Pessoal, tem um problema de geometria espacial do IME-95 que nao consegui resolver,segue logo abaixo: 6 esferas identicas de raio R encontram-se posicionadas no espaço de tal forma que cada uma delas seja tangente a exatamente 4 esferas.Desta forma,determine a aresta do cubo que tangencie todas as esferas. Grato Felipe Mendonça. Vitória-ES MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é = -- Tudo certo, Felipe Mendonça. É a primeira vez que tento ajudar alguém e espero estar ajudando. Leia e julgue depois. O jeito que eu pensei foi o seguinte: o problema deu a dica de que existe um cubo que é tangente a todas elas. Aí você pensa num cubo. Em cada face dele você coloca uma esfera tangente (por dentro) de forma que a esfera tangente a cada face do cubo seja tangente às esferas que, por sua vez, são tangentes às faces que possuem uma aresta em comum com a face da primeira esfera. Por exemplo, chame uma esfera de E tangente à face F do cubo. Logo devemos ter que E é tangente às esferas E1, E2, E3 e E4, onde Ei é a esfera tangente à face Fi do cubo, e a face Fi tem aresta em comum com a face F, p/ i = 1,2,3,4. Feito isso, tome um plano que passa pelo meio do cubo, perpendicular a 4 faces do cubo e paralelo às outras 2 (é como cortar um cubinho ao meio). Por esse plano vamos ficar com a figura de 4 circunferências (a de cima, de baixo, da frente e de trás) de raios R, respeitando as condições de tangência. Chamando os seus centros de C1, C2, C3 e C4 temos que o quadrilátero C1C2C3C4 é um quadrado, pois ele tem todos os seus lados medindo 2R e se você cortasse o cubo de outra forma, embaralhando assim C1, C2, C3, C4 (por exemplo ficando com C2C3C4C1) cairia no mesmo quadrilátero. Sua diagonal mede a-2R, onde a é a aresta do cubo, e seu lado 2R. Logo a-2R = 2R.sqrt2 e finalmente a = 2R(sqrt2+1). Obs: sqrt2 é a raiz quadrada de 2. Desculpe pelo texto longo, mas geometria espacial é horrível de se explicar desse jeito, na surra. Tente fazer alguma figura. Valeus, Helder. _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] IME-95
--- felipe mendona [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi a todos da lista ! Pessoal, tem um problema de geometria espacial do IME-95 que nao consegui resolver,segue logo abaixo: 6 esferas identicas de raio R encontram-se posicionadas no espaço de tal forma que cada uma delas seja tangente a exatamente 4 esferas.Desta forma,determine a aresta do cubo que tangencie todas as esferas. Grato Felipe Mendonça. Vitória-ES Olá Felipe! Primeiro é bom você tentar imaginar como elas estão exatamente posicionadas e como o cubo as tangencia. Imagine que você coloca 4 esferas sobre um plano, cada uma tangente a outras duas, de tal maneira que seus centros formem um quadrado. então você coloca uma quinta esfera sobre essas 4 e uma sexta esfera sob elas. Anexei um desenhei que mostra, mais ou menos, isso visto de cima. Aproveitei pra já colocar como o cubo tem que ficar para tangenciar todas as esferas. Agora pela figura você pode ver que a linha azul tem a medida da aresta do cubo. E podemos ver que a linha azul é a soma de um raio, a diagonal do quadrado (vermelho) formado pelos centros das quatro esferas e mais um raio do outro lado. Como o quadrado formado pelos centros das esferas tem lado igual a dois raios, sua diagonal será: d = 2.R.raiz(2) Agora somando tudo temos a aresta do cubo: = R + d + R = R + 2.R.raiz(2) + R = 2R.[1 + raiz(2)] Um abraço e feliz natal a todos! Rafael. ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ inline: 6esferas.gif
