Olá Shine,
obrigado pelo esclarecimento. Contudo, ainda tenho algumas
dúvidas.
Como que eu construo f nos inteiros? Como eu acho f(2) , f(3), f(5)... tentei
aqui, mas num consegui não. E tb por que definiu-se f(p_n) = p_(n-1) p/ n par ;
1/p_(n+1) p/ n impar?
O que lhe chamou a atenção pra provar que f é multiplicativa?
Grato.
- Mensagem original
De: Carlos Yuzo Shine [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quarta-feira, 25 de Julho de 2007 19:00:30
Assunto: Re: [obm-l] Equacao funcional II
Oi Klaus,
O fato central que mostra que a função só precisa ser definida nos primos é que
a função é multiplicativa, ou seja, que f(xy) = f(x)f(y) (o que foi feito no
artigo). Assim, no seu exemplo, f(4) = f(2).f(2), e precisamos só definir
f(2), e 2 é primo.
Mas permita-me dar um argumento tentativamente mais convincente. Primeiro, vou
provar que só precisamos definir f nos inteiros: como f é de Q+ em Q+, então só
precisamos definir f(x), com x = m/n, m, n inteiros positivos (note que Q+ é o
conjunto dos racionais positivos). Note que nx = m, e como f é multiplicativa
f(m) = f(n)f(x) = f(x) = f(m)/f(n). Por exemplo, f(3/7) = f(3)/f(7). Assim,
encontrados os valores da função em Z+, encontramos os valores da função em Q+.
Agora, os primos. Primeiro, note que f(1) = f(1)f(1) e, sendo f de Q+ em Q+,
f(1) = 1 (note que f só assume valores racionais positivos, logo f(x) não pode
ser igual a zero). Agora, note que todo inteiro maior do que 1 pode ser escrito
como produto de primos. Por exemplo, 6000 = 2^4 . 3 . 5^3. Aí, como f é
multiplicativa, f(n) é igual ao produto da f dos primos de sua fatoração. No
nosso exemplo, f(6000) = (f(2))^4 . f(3) . (f(5))^3. Observe também que f(mnp)
= f(m)f(np) = f(m)f(n)f(p), ou seja, uma função multiplicativa a é para mais de
dois fatores também (a demonstração formal disso é por indução sobre a
quantidade de fatores, mas tenho certeza de que você consegue enxergá-la).
Bom, talvez a sua dúvida seja por que a função é multiplicativa. Para isso,
faça x = 1 para ver que f(f(y)) = f(1)/y e, sendo f(1) diferente de zero,
f(f(y)) é uma função bijetora e, portanto, f também é bijetora, em particular
injetora (a demonstração da injetividade é bem rápida: f(x) = f(y) = f(f(x)) =
f(f(y)) = f(1)/x = f(1)/y = x = y).
Agora, note que f(f(xy)) = f(1)/xy (é só trocar x por 1 e y por xy) e
f(f(x)f(y)) = f(f(x))/y = f(1)/xy (troque x por f(x) e lembre que f(f(x)) =
f(1)/x). Logo f(f(xy)) = f(f(x)f(y)) e, sendo f injetora, f(xy) = f(x)f(y).
[]'s
Shine
- Original Message
From: Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, July 25, 2007 5:54:36 PM
Subject: [obm-l] Equacao funcional II
No site da obm. http://www.obm.org.br/frameset-eureka.htm tem um artigo sobre
equações funcionais do Eduardo Tengan.
Nele tem um problema assim: Seja Q+ o conjunto dos racionais postivos. Construa
uma função f: Q+--Q+ tal que f(xf(y))=f(x)/y, para todo x,y E Q+. Tem a
solução logo abaixo, só no final ele diz assim Assim, basta construir a função
para os inteiros positivos. Mais ainda, basta defini-la para os primos. Por
quê? e outra, se eu quisesse saber por exemplo f(4) não daria. Ele só definiu
para os primos.
Grato.
Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais.
Need a vacation? Get great deals to amazing places on Yahoo! Travel.
Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê.
http://www.flickr.com.br/
