Uma maneira simples de resolver é observar a razão entre as áreas:
x = AD, y = DC
S[AED]/S[ABC] = 1*x/3*(x+y)
1/2 = x/(3x+3y)
x = 3y
Logo, AD/DC = 3 => AD/AC = 3/4
1) Sendo o ano em que a neta nasceu igual a 1000 + 100A + 10B + C, sendo A, B e C algarismos, então a idade dela é 10B + C. Sendo o ano em que a avó nasceu igual a 1000 + 100X + 10Y + Z, sendo X, Y e Z algarismos, então a idade dela é 10Y + Z.
Assim, 10Y + Z > 10B + C.Também:10B + C = 1938 - (1000
Se a idade do cachorro é c, então, pelo que o pai disse:c + 5 = 2(c - 5) => c = 15
Vi no livro "Olimpíadas Matemáticas Rusas" outra solução para esse problema. A solução é parecida com isso:Admitindo as condições dadas como verdadeiras, e sabendo que a, b, -c e -d raízes do polinômio (x-a)(x-b)(x+c)(x+d) = x^4 + a1x^3 + a2x^2 + a3x + a4, então:
-a1 = a + b - c - d < 0a2 = ab + cd
Eu fiz assim:Seja a o primeiro termo, r a razão e l o último termo. Então:n[2a + (n-1)r]/2 = 50n(2a - r + nr) = 100 ... (1)Também:n[2l + (n-1)(-r)]/2 = 140n[2(a + 2nr) - nr + r] = 280n(2a + r + 3nr) = 280 ... (2)
Subtraindo (2) e (1):n(2r + 2nr) = 180nr(n + 1) = 90 = 2*(3^2)*5Como n e n + 1 são div
1) Desenhe as bissetrizes internas de um triângulo ABC e o encontro delas será o incentro. Desenhando os segmentos OA, OB e OC, teremos o triângulo AOB com os ângulos AOB, A/2 e B/2, o triângulo BOC com os ângulos BOC, C/2 e B/2, e o triângulo AOC com os ângulos AOC, A/2, B/2. Assim:
Do triângulo A
Seja A o ângulo formado com o chão (0 < A < pi/2) e F o módulo da força aplicada. A soma dos módulos dos componentes do vetor força é FsenA + FcosA. Essa soma é máxima se o quadrado de seu valor é máximo. Seu valor ao quadrado é F^2[sen^2(A) + 2senAcosA + cos^2(A)] = F^2[sen(2A) + 1], logo é máximo
Fazendo 2npi/(2n+1) = y, sabemos que sen(y) = sen(pi - y), logo:sen(2npi/(2n+1)) = sen(pi - 2npi/(2n+1)) = sen(pi/(2n+1))
Essa é a questão 37 do livro Geometria II de A. C. Morgado, E. Wagner e M. Jorge. Gostaria de uma ajuda para resolver:
"Em um triângulo ABC, BC = 16 e ha = 8, calcule a razão AB/AC sabendo que ela é máxima:
A) 2
B) 3
C) 3/2
D) 4/3
E) N.R.A"
Existe uma forma para resolver o problema sem usar relações métricas no triângulo?
Será que, sendo H a projeção de A sobre a reta suporte do segmento BC e D a intersecção da bissetriz do ângulo BAC com o segmento BC, então se a intersecção da bissetriz do ângulo DAH com o segmento DH é C, a razão DB/DC é máxima?
Na mensagem anterior, eu quis dizer que o ponto H é a projeção ortogonal do ponto A sobre a reta BC.
Finalmente consegui resolver a questão:Seja AB/AC = k. Consideremos dois pontos M e N que dividam harmonicamente o segmento BC na razão k. Assim, A pertence à circunferência de diâmetro MN (Círculo de Apolonius), portanto é necessário que o raio r dessa circunferência seja tal que
r =< ha, logo r =
Me confundi na mensagem anterior, r = k*BC/|k^2 - 1|.
Os triângulos ABE e BED são congruentes de tal forma que o ângulo AEB é igual ao ângulo BED, pois AB = BD e o ângulo ABE é igual ao ângulo EBD, além de terem o lado BE em comum. Sabendo que os ângulos BAE e ABC tem a mesma medida, e sendo o ângulo ABE alfa, o ângulo BEA é 180° - 3alfa e o ângulo BE
Pelo triângulo ABC, AC < AB + AC => AC < 6.Pelo triângulo ADC, AC > |AD - AC| => AC > 4.Pelo triângulo BDC, BD < 6.Pelo triângulo ABD, BD > 4.Assim, 4 < AC < 6 e 4 < BD < 6, logo a diagonal que tiver como medida um número inteiro deve medir 5.
Essa soma é igual a [(0 + 2 + 3 + ... + 9)*10^2 + 11] + [(0 + 2 + 3 +
... + 9)*10 + 101] + [(0 + 2 + 3 + ... + 9) + 110] = (4400 + 11) + (440
+ 101) + (44 + 110) = 4884 + 222 = 5106.
Corrigindo o e-mail anterior:Essa soma é igual a [(0 + 2 + 3 + ... + 9)*10^2 + 9*11] + [(0 + 2 + 3 +
... + 9)*10 + 9*101] + [(0 + 2 + 3 + ... + 9) + 9*110] = (4400 + 99) + (440
+ 909) + (44 + 990) = 4884 + 1998 = 6882.
Da situação I, você não pode concluir apenas que 1 = x^2 - 4, pois se
(x^2 - 2) = (x^2 - 4)*(x^2 - 2), então também pode ocorrer x^2 - 2 = 0, pois 0
= (x^2-4)*0. É por isso que na primeira solução não aparece a
possibilidade de x = -sqrt(2) ou x = sqrt(2).
Podemos reescrever a inequação como:21q < 30p < 22qLogo, existe múltiplo de 30 entre 21q e 22q, e para que isso aconteça o menor valor para q é 7.Resposta: B
As soluções que usei:1) Seja 2A o ângulo que a reta de equação y = 3x forma com a reta de equação y = 0 (0 3*(tgA)^2 + 2*tgA - 3 = 0. Para 02) Considerando o triângulo formado pelas retas dadas e a reta que une os pontos (1;3) e (sqrt(10);0), sabemos que ele é um triângulo isósceles, logo a bissetr
Como x-2 = x-1-1,f(x-1) = [sen(x-1-1)]^2Substituindo x-1 por x+1,f(x+1) = [sen(x+1-1)]^2f(x+1) = (senx)^2
A cada jogada teremos retirado mais um número ímpar de caroços, logo para retirarmos um número par de caroços devemos fazer um número par de jogadas. Logo, terminaremos de retirar os 2002 caroços em uma jogada de número par, portanto Barney ganhará.
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