[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Provar que é irracional...
Sauda,c~oes,
Defina a sequencia f_0=0 e f_(n+1)=raiz(2+f_n) para n=0,1,2,...
A solução desta recorrência é f_n=2cos(pi/2^{n+1}). Logo,
cos(pi/4,8,16) são irracionais. E lim f_n=2.
Abs,
Luís
Date: Sun, 1 Apr 2012 16:02:54 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l]
RE: [obm-l] Provar que é irracional...
From: ralp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Bom, do jeito que eu escrevi seria f_0=0. Entao voce tinha razao quando disse
que eu estava errado. Eu acho. :) Abraco, Ralph
2012/4/1 marcone augusto araújo borges
Esqueça.claro,f_0=2.Obrigado.
From: marconeborge...@hotmail.com
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Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Provar que é
irracional...
Date: Sat, 31 Mar 2012 01:01:42 +
Era sim.
f_0=0,não?
Date: Sun, 25 Mar 2012 17:59:28 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Provar que é irracional...
From: ralp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Defina a sequencia f_0=2 e f_(n+1)=raiz(2+f_n) para n=0,1,2,...
Note que f_1=raiz(2) eh irracional (bom, espero que isto tenha sido demonstrado
anteriormente).
Agora, note que se f_(n+1) fosse RACIONAL, entao f_n=(f_(n+1))^2-2 tambem seria
RACIONAL. Ou seja, se f_n eh IRRACIONAL, entao f_(n+1) eh IRRACIONAL.
Assim, como f_1 eh irracional, por inducao, todos os f_n sao irracionais
(n=1,2,3,...).
Era isso?
Abraco,
Ralph
2012/3/24 marcone augusto araújo borges
Obrigado.Eu vi essa questão numa lista de indução.
Vejo uma idéia de indução ai,mas,se não for abusar da sua boa vontade,como
seria uma solução com um
procedimento mais explicito de indução?
From: joao_maldona...@hotmail.com
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Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Provar que é irracional...
Date: Sat, 24 Mar 2012 19:34:57 -0300
Bom, sendo f(x) = raiz(2 +raiz(2 + raiz(2+...), x vezes, é óbvio que f(x+1) >
f(x), Logo o valor máximo é f(infinito), mas se x tende ao infinito, temos que
f(x) = raiz(2 + f(x)), que elevando ao quadrado temos f(x) = 2, logo para
qualuqer x diferente do infinito (que é o caso), f(x) < 2, além disso f(x) > 0
e f(x) >= f(1) = raiz(2) =~ 1.4
Elevando ao quadrado desse modo:
f(x) = raiz(2 +raiz(2 + raiz(2+...) -> f(x)² - 2 = f(x-1) -> (f(x)²-2)²-2 =
f(x-2), repetindo isso x vezes temos ->
((f(x)²-2)²-2)²-2...²-2)=0, que expandindo tem coeficiente lider 1 e
termo independendo -2, logo pelo teorema das raízes racionais, se f(x) é
racional, é -2, -1, 1, ou 2, absurdo, logo f(x) é irracional.
[]'s
João
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Provar que é irracional...
Date: Sat, 24 Mar 2012 21:56:30 +
Como provar q raiz(2+raiz(2+raiz(2+...raiz(2)),generalizando para n raizes,é
irracional?
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Provar que é irracional...
Bom, do jeito que eu escrevi seria f_0=0. Entao voce tinha razao quando disse que eu estava errado. Eu acho. :) Abraco, Ralph 2012/4/1 marcone augusto araújo borges > Esqueça.claro,f_0=2.Obrigado. > > -- > From: marconeborge...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Provar > que é irracional... > Date: Sat, 31 Mar 2012 01:01:42 + > > Era sim. > f_0=0,não? > > -- > Date: Sun, 25 Mar 2012 17:59:28 -0300 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Provar que é > irracional... > From: ralp...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Defina a sequencia f_0=2 e f_(n+1)=raiz(2+f_n) para n=0,1,2,... > > Note que f_1=raiz(2) eh irracional (bom, espero que isto tenha sido > demonstrado anteriormente). > > Agora, note que se f_(n+1) fosse RACIONAL, entao f_n=(f_(n+1))^2-2 tambem > seria RACIONAL. Ou seja, se f_n eh IRRACIONAL, entao f_(n+1) eh IRRACIONAL. > > Assim, como f_1 eh irracional, por inducao, todos os f_n sao irracionais > (n=1,2,3,...). > > Era isso? > > Abraco, > Ralph > > 2012/3/24 marcone augusto araújo borges > > Obrigado.Eu vi essa questão numa lista de indução. > Vejo uma idéia de indução ai,mas,se não for abusar da sua boa vontade,como > seria uma solução com um > procedimento mais explicito de indução? > > > -- > From: joao_maldona...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Provar que é irracional... > Date: Sat, 24 Mar 2012 19:34:57 -0300 > > > Bom, sendo f(x) = raiz(2 +raiz(2 + raiz(2+...), x vezes, é óbvio que > f(x+1) > f(x), Logo o valor máximo é f(infinito), mas se x tende ao > infinito, temos que f(x) = raiz(2 + f(x)), que elevando ao quadrado temos > f(x) = 2, logo para qualuqer x diferente do infinito (que é o caso), f(x) < > 2, além disso f(x) > 0 e f(x) >= f(1) = raiz(2) =~ 1.4 > > Elevando ao quadrado desse modo: > f(x) = raiz(2 +raiz(2 + raiz(2+...) -> f(x)² - 2 = f(x-1) -> (f(x)²-2)²-2 > = f(x-2), repetindo isso x vezes temos -> > ((f(x)²-2)²-2)²-2...²-2)=0, que expandindo tem coeficiente lider > 1 e termo independendo -2, logo pelo teorema das raízes racionais, se f(x) > é racional, é -2, -1, 1, ou 2, absurdo, logo f(x) é irracional. > > []'s > João > > -- > From: marconeborge...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] Provar que é irracional... > Date: Sat, 24 Mar 2012 21:56:30 + > > Como provar q raiz(2+raiz(2+raiz(2+...raiz(2)),generalizando para n > raizes,é irracional? > > >
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Provar que é irracional...
Esqueça.claro,f_0=2.Obrigado. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Provar que é irracional... Date: Sat, 31 Mar 2012 01:01:42 + Era sim. f_0=0,não? Date: Sun, 25 Mar 2012 17:59:28 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Provar que é irracional... From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Defina a sequencia f_0=2 e f_(n+1)=raiz(2+f_n) para n=0,1,2,... Note que f_1=raiz(2) eh irracional (bom, espero que isto tenha sido demonstrado anteriormente). Agora, note que se f_(n+1) fosse RACIONAL, entao f_n=(f_(n+1))^2-2 tambem seria RACIONAL. Ou seja, se f_n eh IRRACIONAL, entao f_(n+1) eh IRRACIONAL. Assim, como f_1 eh irracional, por inducao, todos os f_n sao irracionais (n=1,2,3,...). Era isso? Abraco, Ralph 2012/3/24 marcone augusto araújo borges Obrigado.Eu vi essa questão numa lista de indução. Vejo uma idéia de indução ai,mas,se não for abusar da sua boa vontade,como seria uma solução com um procedimento mais explicito de indução? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Provar que é irracional... Date: Sat, 24 Mar 2012 19:34:57 -0300 Bom, sendo f(x) = raiz(2 +raiz(2 + raiz(2+...), x vezes, é óbvio que f(x+1) > f(x), Logo o valor máximo é f(infinito), mas se x tende ao infinito, temos que f(x) = raiz(2 + f(x)), que elevando ao quadrado temos f(x) = 2, logo para qualuqer x diferente do infinito (que é o caso), f(x) < 2, além disso f(x) > 0 e f(x) >= f(1) = raiz(2) =~ 1.4 Elevando ao quadrado desse modo: f(x) = raiz(2 +raiz(2 + raiz(2+...) -> f(x)² - 2 = f(x-1) -> (f(x)²-2)²-2 = f(x-2), repetindo isso x vezes temos -> ((f(x)²-2)²-2)²-2...²-2)=0, que expandindo tem coeficiente lider 1 e termo independendo -2, logo pelo teorema das raízes racionais, se f(x) é racional, é -2, -1, 1, ou 2, absurdo, logo f(x) é irracional. []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Provar que é irracional... Date: Sat, 24 Mar 2012 21:56:30 + Como provar q raiz(2+raiz(2+raiz(2+...raiz(2)),generalizando para n raizes,é irracional?
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Provar que é irracional...
Era sim. f_0=0,não? Date: Sun, 25 Mar 2012 17:59:28 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Provar que é irracional... From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Defina a sequencia f_0=2 e f_(n+1)=raiz(2+f_n) para n=0,1,2,... Note que f_1=raiz(2) eh irracional (bom, espero que isto tenha sido demonstrado anteriormente). Agora, note que se f_(n+1) fosse RACIONAL, entao f_n=(f_(n+1))^2-2 tambem seria RACIONAL. Ou seja, se f_n eh IRRACIONAL, entao f_(n+1) eh IRRACIONAL. Assim, como f_1 eh irracional, por inducao, todos os f_n sao irracionais (n=1,2,3,...). Era isso? Abraco, Ralph 2012/3/24 marcone augusto araújo borges Obrigado.Eu vi essa questão numa lista de indução. Vejo uma idéia de indução ai,mas,se não for abusar da sua boa vontade,como seria uma solução com um procedimento mais explicito de indução? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Provar que é irracional... Date: Sat, 24 Mar 2012 19:34:57 -0300 Bom, sendo f(x) = raiz(2 +raiz(2 + raiz(2+...), x vezes, é óbvio que f(x+1) > f(x), Logo o valor máximo é f(infinito), mas se x tende ao infinito, temos que f(x) = raiz(2 + f(x)), que elevando ao quadrado temos f(x) = 2, logo para qualuqer x diferente do infinito (que é o caso), f(x) < 2, além disso f(x) > 0 e f(x) >= f(1) = raiz(2) =~ 1.4 Elevando ao quadrado desse modo: f(x) = raiz(2 +raiz(2 + raiz(2+...) -> f(x)² - 2 = f(x-1) -> (f(x)²-2)²-2 = f(x-2), repetindo isso x vezes temos -> ((f(x)²-2)²-2)²-2...²-2)=0, que expandindo tem coeficiente lider 1 e termo independendo -2, logo pelo teorema das raízes racionais, se f(x) é racional, é -2, -1, 1, ou 2, absurdo, logo f(x) é irracional. []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Provar que é irracional... Date: Sat, 24 Mar 2012 21:56:30 + Como provar q raiz(2+raiz(2+raiz(2+...raiz(2)),generalizando para n raizes,é irracional?
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Provar que é irracional...
2012/3/25 João Maldonado : > Olá Marcelo, realmente esqueci de provar que converge. Enfim, a prova é > fácil > > sendo x finito, Vamos provar por indução que se f(x) < 2, f(x+1) < 2 > > temos f(x+1) = sqrt(2 + f(x)), < sqrt(2+2) = 2, e f(1) < 2, o que completa a > demonstração de que f(infinito) converge É verdade (e é bem legal ver para onde converge, exatamente como você fez), mas lembre que a única coisa que você precisava era que fosse justamente < 2 ;) -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
